Theorem pr2ne 7127

Description: If an unordered pair has two elements they are different. (Contributed by FL, 14-Feb-2010.)

Assertion

Ref	Expression
pr2ne	|- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( { A , B } ~~ 2o <-> A =/= B ) )

Proof of Theorem pr2ne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preq2 3637	. . . . 5 |- ( B = A -> { A , B } = { A , A } )
2	1	eqcoms 2160	. . . 4 |- ( A = B -> { A , B } = { A , A } )
3		enpr1g 6743	. . . . . 6 |- ( A e. C -> { A , A } ~~ 1o )
4	3	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> { A , A } ~~ 1o )
5		prexg 4171	. . . . . . 7 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> { A , B } e. _V )
6		eqeng 6711	. . . . . . 7 |- ( { A , B } e. _V -> ( { A , B } = { A , A } -> { A , B } ~~ { A , A } ) )
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( { A , B } = { A , A } -> { A , B } ~~ { A , A } ) )
8		entr 6729	. . . . . . . . 9 |- ( ( { A , B } ~~ { A , A } /\ { A , A } ~~ 1o ) -> { A , B } ~~ 1o )
9		1nen2 6806	. . . . . . . . . . 11 |- -. 1o ~~ 2o
10		ensym 6726	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { A , B } ~~ 1o -> 1o ~~ { A , B } )
11		entr 6729	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1o ~~ { A , B } /\ { A , B } ~~ 2o ) -> 1o ~~ 2o )
12	11	ex 114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1o ~~ { A , B } -> ( { A , B } ~~ 2o -> 1o ~~ 2o ) )
13	10, 12	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( { A , B } ~~ 1o -> ( { A , B } ~~ 2o -> 1o ~~ 2o ) )
14	9, 13	mtoi 654	. . . . . . . . . 10 |- ( { A , B } ~~ 1o -> -. { A , B } ~~ 2o )
15	14	a1d 22	. . . . . . . . 9 |- ( { A , B } ~~ 1o -> ( ( A e. C /\ B e. D ) -> -. { A , B } ~~ 2o ) )
16	8, 15	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( { A , B } ~~ { A , A } /\ { A , A } ~~ 1o ) -> ( ( A e. C /\ B e. D ) -> -. { A , B } ~~ 2o ) )
17	16	ex 114	. . . . . . 7 |- ( { A , B } ~~ { A , A } -> ( { A , A } ~~ 1o -> ( ( A e. C /\ B e. D ) -> -. { A , B } ~~ 2o ) ) )
18	17	com3r 79	. . . . . 6 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( { A , B } ~~ { A , A } -> ( { A , A } ~~ 1o -> -. { A , B } ~~ 2o ) ) )
19	7, 18	syld 45	. . . . 5 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( { A , B } = { A , A } -> ( { A , A } ~~ 1o -> -. { A , B } ~~ 2o ) ) )
20	4, 19	mpid 42	. . . 4 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( { A , B } = { A , A } -> -. { A , B } ~~ 2o ) )
21	2, 20	syl5 32	. . 3 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( A = B -> -. { A , B } ~~ 2o ) )
22	21	necon2ad 2384	. 2 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( { A , B } ~~ 2o -> A =/= B ) )
23		pr2nelem 7126	. . 3 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ A =/= B ) -> { A , B } ~~ 2o )
24	23	3expia 1187	. 2 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( A =/= B -> { A , B } ~~ 2o ) )
25	22, 24	impbid 128	1 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( { A , B } ~~ 2o <-> A =/= B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1335   e. wcel 2128   =/= wne 2327   _Vcvv 2712   {cpr 3561   class class class wbr 3965   1oc1o 6356   2oc2o 6357   ~~ cen 6683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-tr 4063  df-id 4253  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-1o 6363  df-2o 6364  df-er 6480  df-en 6686

This theorem is referenced by:  exmidonfinlem  7128  pw1dom2  7162  isprm2lem  11993