Theorem pr2ne 7169

Description: If an unordered pair has two elements they are different. (Contributed by FL, 14-Feb-2010.)

Assertion

Ref	Expression
pr2ne	|- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( { A , B } ~~ 2o <-> A =/= B ) )

Proof of Theorem pr2ne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preq2 3661	. . . . 5 |- ( B = A -> { A , B } = { A , A } )
2	1	eqcoms 2173	. . . 4 |- ( A = B -> { A , B } = { A , A } )
3		enpr1g 6776	. . . . . 6 |- ( A e. C -> { A , A } ~~ 1o )
4	3	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> { A , A } ~~ 1o )
5		prexg 4196	. . . . . . 7 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> { A , B } e. _V )
6		eqeng 6744	. . . . . . 7 |- ( { A , B } e. _V -> ( { A , B } = { A , A } -> { A , B } ~~ { A , A } ) )
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( { A , B } = { A , A } -> { A , B } ~~ { A , A } ) )
8		entr 6762	. . . . . . . . 9 |- ( ( { A , B } ~~ { A , A } /\ { A , A } ~~ 1o ) -> { A , B } ~~ 1o )
9		1nen2 6839	. . . . . . . . . . 11 |- -. 1o ~~ 2o
10		ensym 6759	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { A , B } ~~ 1o -> 1o ~~ { A , B } )
11		entr 6762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1o ~~ { A , B } /\ { A , B } ~~ 2o ) -> 1o ~~ 2o )
12	11	ex 114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1o ~~ { A , B } -> ( { A , B } ~~ 2o -> 1o ~~ 2o ) )
13	10, 12	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( { A , B } ~~ 1o -> ( { A , B } ~~ 2o -> 1o ~~ 2o ) )
14	9, 13	mtoi 659	. . . . . . . . . 10 |- ( { A , B } ~~ 1o -> -. { A , B } ~~ 2o )
15	14	a1d 22	. . . . . . . . 9 |- ( { A , B } ~~ 1o -> ( ( A e. C /\ B e. D ) -> -. { A , B } ~~ 2o ) )
16	8, 15	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( { A , B } ~~ { A , A } /\ { A , A } ~~ 1o ) -> ( ( A e. C /\ B e. D ) -> -. { A , B } ~~ 2o ) )
17	16	ex 114	. . . . . . 7 |- ( { A , B } ~~ { A , A } -> ( { A , A } ~~ 1o -> ( ( A e. C /\ B e. D ) -> -. { A , B } ~~ 2o ) ) )
18	17	com3r 79	. . . . . 6 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( { A , B } ~~ { A , A } -> ( { A , A } ~~ 1o -> -. { A , B } ~~ 2o ) ) )
19	7, 18	syld 45	. . . . 5 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( { A , B } = { A , A } -> ( { A , A } ~~ 1o -> -. { A , B } ~~ 2o ) ) )
20	4, 19	mpid 42	. . . 4 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( { A , B } = { A , A } -> -. { A , B } ~~ 2o ) )
21	2, 20	syl5 32	. . 3 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( A = B -> -. { A , B } ~~ 2o ) )
22	21	necon2ad 2397	. 2 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( { A , B } ~~ 2o -> A =/= B ) )
23		pr2nelem 7168	. . 3 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ A =/= B ) -> { A , B } ~~ 2o )
24	23	3expia 1200	. 2 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( A =/= B -> { A , B } ~~ 2o ) )
25	22, 24	impbid 128	1 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( { A , B } ~~ 2o <-> A =/= B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   =/= wne 2340   _Vcvv 2730   {cpr 3584   class class class wbr 3989   1oc1o 6388   2oc2o 6389   ~~ cen 6716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-1o 6395  df-2o 6396  df-er 6513  df-en 6719

This theorem is referenced by:  exmidonfinlem  7170  pw1dom2  7204  isprm2lem  12070