Theorem pr2ne 7365

Description: If an unordered pair has two elements they are different. (Contributed by FL, 14-Feb-2010.)

Assertion

Ref	Expression
pr2ne	|- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( { A , B } ~~ 2o <-> A =/= B ) )

Proof of Theorem pr2ne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preq2 3744	. . . . 5 |- ( B = A -> { A , B } = { A , A } )
2	1	eqcoms 2232	. . . 4 |- ( A = B -> { A , B } = { A , A } )
3		enpr1g 6950	. . . . . 6 |- ( A e. C -> { A , A } ~~ 1o )
4	3	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> { A , A } ~~ 1o )
5		prexg 4295	. . . . . . 7 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> { A , B } e. _V )
6		eqeng 6917	. . . . . . 7 |- ( { A , B } e. _V -> ( { A , B } = { A , A } -> { A , B } ~~ { A , A } ) )
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( { A , B } = { A , A } -> { A , B } ~~ { A , A } ) )
8		entr 6936	. . . . . . . . 9 |- ( ( { A , B } ~~ { A , A } /\ { A , A } ~~ 1o ) -> { A , B } ~~ 1o )
9		1nen2 7022	. . . . . . . . . . 11 |- -. 1o ~~ 2o
10		ensym 6933	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { A , B } ~~ 1o -> 1o ~~ { A , B } )
11		entr 6936	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1o ~~ { A , B } /\ { A , B } ~~ 2o ) -> 1o ~~ 2o )
12	11	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1o ~~ { A , B } -> ( { A , B } ~~ 2o -> 1o ~~ 2o ) )
13	10, 12	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( { A , B } ~~ 1o -> ( { A , B } ~~ 2o -> 1o ~~ 2o ) )
14	9, 13	mtoi 668	. . . . . . . . . 10 |- ( { A , B } ~~ 1o -> -. { A , B } ~~ 2o )
15	14	a1d 22	. . . . . . . . 9 |- ( { A , B } ~~ 1o -> ( ( A e. C /\ B e. D ) -> -. { A , B } ~~ 2o ) )
16	8, 15	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( { A , B } ~~ { A , A } /\ { A , A } ~~ 1o ) -> ( ( A e. C /\ B e. D ) -> -. { A , B } ~~ 2o ) )
17	16	ex 115	. . . . . . 7 |- ( { A , B } ~~ { A , A } -> ( { A , A } ~~ 1o -> ( ( A e. C /\ B e. D ) -> -. { A , B } ~~ 2o ) ) )
18	17	com3r 79	. . . . . 6 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( { A , B } ~~ { A , A } -> ( { A , A } ~~ 1o -> -. { A , B } ~~ 2o ) ) )
19	7, 18	syld 45	. . . . 5 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( { A , B } = { A , A } -> ( { A , A } ~~ 1o -> -. { A , B } ~~ 2o ) ) )
20	4, 19	mpid 42	. . . 4 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( { A , B } = { A , A } -> -. { A , B } ~~ 2o ) )
21	2, 20	syl5 32	. . 3 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( A = B -> -. { A , B } ~~ 2o ) )
22	21	necon2ad 2457	. 2 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( { A , B } ~~ 2o -> A =/= B ) )
23		pr2nelem 7364	. . 3 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ A =/= B ) -> { A , B } ~~ 2o )
24	23	3expia 1229	. 2 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( A =/= B -> { A , B } ~~ 2o ) )
25	22, 24	impbid 129	1 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( { A , B } ~~ 2o <-> A =/= B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   _Vcvv 2799   {cpr 3667   class class class wbr 4083   1oc1o 6555   2oc2o 6556   ~~ cen 6885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-1o 6562  df-2o 6563  df-er 6680  df-en 6888

This theorem is referenced by:  en2prde  7366  pr1or2  7367  exmidonfinlem  7371  pw1dom2  7412  isprm2lem  12638  umgrbien  15910  umgrnloopv  15914  umgredgne  15948