ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pr2ne Unicode version

Theorem pr2ne 6820
Description: If an unordered pair has two elements they are different. (Contributed by FL, 14-Feb-2010.)
Assertion
Ref Expression
pr2ne  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( { A ,  B }  ~~  2o  <->  A  =/=  B ) )

Proof of Theorem pr2ne
StepHypRef Expression
1 preq2 3520 . . . . 5  |-  ( B  =  A  ->  { A ,  B }  =  { A ,  A }
)
21eqcoms 2091 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  { A ,  B }  =  { A ,  A }
)
3 enpr1g 6515 . . . . . 6  |-  ( A  e.  C  ->  { A ,  A }  ~~  1o )
43adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  { A ,  A }  ~~  1o )
5 prexg 4038 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  { A ,  B }  e.  _V )
6 eqeng 6483 . . . . . . 7  |-  ( { A ,  B }  e.  _V  ->  ( { A ,  B }  =  { A ,  A }  ->  { A ,  B }  ~~  { A ,  A } ) )
75, 6syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( { A ,  B }  =  { A ,  A }  ->  { A ,  B }  ~~  { A ,  A } ) )
8 entr 6501 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { A ,  B }  ~~  { A ,  A }  /\  { A ,  A }  ~~  1o )  ->  { A ,  B }  ~~  1o )
9 1nen2 6577 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  1o  ~~  2o
10 ensym 6498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { A ,  B }  ~~  1o  ->  1o  ~~  { A ,  B }
)
11 entr 6501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1o  ~~  { A ,  B }  /\  { A ,  B }  ~~  2o )  ->  1o  ~~  2o )
1211ex 113 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1o 
~~  { A ,  B }  ->  ( { A ,  B }  ~~  2o  ->  1o  ~~  2o ) )
1310, 12syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { A ,  B }  ~~  1o  ->  ( { A ,  B }  ~~  2o  ->  1o  ~~  2o ) )
149, 13mtoi 625 . . . . . . . . . 10  |-  ( { A ,  B }  ~~  1o  ->  -.  { A ,  B }  ~~  2o )
1514a1d 22 . . . . . . . . 9  |-  ( { A ,  B }  ~~  1o  ->  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  -.  { A ,  B }  ~~  2o ) )
168, 15syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( { A ,  B }  ~~  { A ,  A }  /\  { A ,  A }  ~~  1o )  ->  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  -.  { A ,  B }  ~~  2o ) )
1716ex 113 . . . . . . 7  |-  ( { A ,  B }  ~~  { A ,  A }  ->  ( { A ,  A }  ~~  1o  ->  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  -.  { A ,  B }  ~~  2o ) ) )
1817com3r 78 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( { A ,  B }  ~~  { A ,  A }  ->  ( { A ,  A }  ~~  1o  ->  -.  { A ,  B }  ~~  2o ) ) )
197, 18syld 44 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( { A ,  B }  =  { A ,  A }  ->  ( { A ,  A }  ~~  1o  ->  -. 
{ A ,  B }  ~~  2o ) ) )
204, 19mpid 41 . . . 4  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( { A ,  B }  =  { A ,  A }  ->  -.  { A ,  B }  ~~  2o ) )
212, 20syl5 32 . . 3  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( A  =  B  ->  -.  { A ,  B }  ~~  2o ) )
2221necon2ad 2312 . 2  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( { A ,  B }  ~~  2o  ->  A  =/=  B ) )
23 pr2nelem 6819 . . 3  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D  /\  A  =/=  B )  ->  { A ,  B }  ~~  2o )
24233expia 1145 . 2  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( A  =/=  B  ->  { A ,  B }  ~~  2o ) )
2522, 24impbid 127 1  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( { A ,  B }  ~~  2o  <->  A  =/=  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289    e. wcel 1438    =/= wne 2255   _Vcvv 2619   {cpr 3447   class class class wbr 3845   1oc1o 6174   2oc2o 6175    ~~ cen 6455
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-1o 6181  df-2o 6182  df-er 6292  df-en 6458
This theorem is referenced by:  isprm2lem  11376  pw1dom2  11889
  Copyright terms: Public domain W3C validator