Theorem pr2ne 7538

Description: If an unordered pair has two elements they are different. (Contributed by FL, 14-Feb-2010.)

Assertion

Ref	Expression
pr2ne	|- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( { A , B } ~~ 2o <-> A =/= B ) )

Proof of Theorem pr2ne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preq2 3789	. . . . 5 |- ( B = A -> { A , B } = { A , A } )
2	1	eqcoms 2241	. . . 4 |- ( A = B -> { A , B } = { A , A } )
3		enpr1g 7085	. . . . . 6 |- ( A e. C -> { A , A } ~~ 1o )
4	3	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> { A , A } ~~ 1o )
5		prexg 4349	. . . . . . 7 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> { A , B } e. _V )
6		eqeng 7052	. . . . . . 7 |- ( { A , B } e. _V -> ( { A , B } = { A , A } -> { A , B } ~~ { A , A } ) )
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( { A , B } = { A , A } -> { A , B } ~~ { A , A } ) )
8		entr 7071	. . . . . . . . 9 |- ( ( { A , B } ~~ { A , A } /\ { A , A } ~~ 1o ) -> { A , B } ~~ 1o )
9		1nen2 7162	. . . . . . . . . . 11 |- -. 1o ~~ 2o
10		ensym 7068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { A , B } ~~ 1o -> 1o ~~ { A , B } )
11		entr 7071	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1o ~~ { A , B } /\ { A , B } ~~ 2o ) -> 1o ~~ 2o )
12	11	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1o ~~ { A , B } -> ( { A , B } ~~ 2o -> 1o ~~ 2o ) )
13	10, 12	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( { A , B } ~~ 1o -> ( { A , B } ~~ 2o -> 1o ~~ 2o ) )
14	9, 13	mtoi 674	. . . . . . . . . 10 |- ( { A , B } ~~ 1o -> -. { A , B } ~~ 2o )
15	14	a1d 22	. . . . . . . . 9 |- ( { A , B } ~~ 1o -> ( ( A e. C /\ B e. D ) -> -. { A , B } ~~ 2o ) )
16	8, 15	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( { A , B } ~~ { A , A } /\ { A , A } ~~ 1o ) -> ( ( A e. C /\ B e. D ) -> -. { A , B } ~~ 2o ) )
17	16	ex 115	. . . . . . 7 |- ( { A , B } ~~ { A , A } -> ( { A , A } ~~ 1o -> ( ( A e. C /\ B e. D ) -> -. { A , B } ~~ 2o ) ) )
18	17	com3r 79	. . . . . 6 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( { A , B } ~~ { A , A } -> ( { A , A } ~~ 1o -> -. { A , B } ~~ 2o ) ) )
19	7, 18	syld 45	. . . . 5 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( { A , B } = { A , A } -> ( { A , A } ~~ 1o -> -. { A , B } ~~ 2o ) ) )
20	4, 19	mpid 42	. . . 4 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( { A , B } = { A , A } -> -. { A , B } ~~ 2o ) )
21	2, 20	syl5 32	. . 3 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( A = B -> -. { A , B } ~~ 2o ) )
22	21	necon2ad 2477	. 2 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( { A , B } ~~ 2o -> A =/= B ) )
23		pr2nelem 7537	. . 3 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ A =/= B ) -> { A , B } ~~ 2o )
24	23	3expia 1236	. 2 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( A =/= B -> { A , B } ~~ 2o ) )
25	22, 24	impbid 129	1 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( { A , B } ~~ 2o <-> A =/= B ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   _Vcvv 2821   {cpr 3710   class class class wbr 4130   1oc1o 6680   2oc2o 6681   ~~ cen 7020

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-1o 6687  df-2o 6688  df-er 6807  df-en 7023

This theorem is used by:  en2prde  7539  pr1or2  7540  exmidonfinlem  7545  pw1dom2  7586  isprm2lem  12894  umgrbien  16351  umgrnloopv  16355  upgr1een  16365  umgredgne  16391  usgr1e  16482  vdegp1aid  16555  vdegp1bid  16556  konigsberglem1  16729