ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pr2ne Unicode version

Theorem pr2ne 7127
Description: If an unordered pair has two elements they are different. (Contributed by FL, 14-Feb-2010.)
Assertion
Ref Expression
pr2ne  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( { A ,  B }  ~~  2o  <->  A  =/=  B ) )

Proof of Theorem pr2ne
StepHypRef Expression
1 preq2 3637 . . . . 5  |-  ( B  =  A  ->  { A ,  B }  =  { A ,  A }
)
21eqcoms 2160 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  { A ,  B }  =  { A ,  A }
)
3 enpr1g 6743 . . . . . 6  |-  ( A  e.  C  ->  { A ,  A }  ~~  1o )
43adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  { A ,  A }  ~~  1o )
5 prexg 4171 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  { A ,  B }  e.  _V )
6 eqeng 6711 . . . . . . 7  |-  ( { A ,  B }  e.  _V  ->  ( { A ,  B }  =  { A ,  A }  ->  { A ,  B }  ~~  { A ,  A } ) )
75, 6syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( { A ,  B }  =  { A ,  A }  ->  { A ,  B }  ~~  { A ,  A } ) )
8 entr 6729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { A ,  B }  ~~  { A ,  A }  /\  { A ,  A }  ~~  1o )  ->  { A ,  B }  ~~  1o )
9 1nen2 6806 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  1o  ~~  2o
10 ensym 6726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { A ,  B }  ~~  1o  ->  1o  ~~  { A ,  B }
)
11 entr 6729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1o  ~~  { A ,  B }  /\  { A ,  B }  ~~  2o )  ->  1o  ~~  2o )
1211ex 114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1o 
~~  { A ,  B }  ->  ( { A ,  B }  ~~  2o  ->  1o  ~~  2o ) )
1310, 12syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { A ,  B }  ~~  1o  ->  ( { A ,  B }  ~~  2o  ->  1o  ~~  2o ) )
149, 13mtoi 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( { A ,  B }  ~~  1o  ->  -.  { A ,  B }  ~~  2o )
1514a1d 22 . . . . . . . . 9  |-  ( { A ,  B }  ~~  1o  ->  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  -.  { A ,  B }  ~~  2o ) )
168, 15syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( { A ,  B }  ~~  { A ,  A }  /\  { A ,  A }  ~~  1o )  ->  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  -.  { A ,  B }  ~~  2o ) )
1716ex 114 . . . . . . 7  |-  ( { A ,  B }  ~~  { A ,  A }  ->  ( { A ,  A }  ~~  1o  ->  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  -.  { A ,  B }  ~~  2o ) ) )
1817com3r 79 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( { A ,  B }  ~~  { A ,  A }  ->  ( { A ,  A }  ~~  1o  ->  -.  { A ,  B }  ~~  2o ) ) )
197, 18syld 45 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( { A ,  B }  =  { A ,  A }  ->  ( { A ,  A }  ~~  1o  ->  -. 
{ A ,  B }  ~~  2o ) ) )
204, 19mpid 42 . . . 4  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( { A ,  B }  =  { A ,  A }  ->  -.  { A ,  B }  ~~  2o ) )
212, 20syl5 32 . . 3  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( A  =  B  ->  -.  { A ,  B }  ~~  2o ) )
2221necon2ad 2384 . 2  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( { A ,  B }  ~~  2o  ->  A  =/=  B ) )
23 pr2nelem 7126 . . 3  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D  /\  A  =/=  B )  ->  { A ,  B }  ~~  2o )
24233expia 1187 . 2  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( A  =/=  B  ->  { A ,  B }  ~~  2o ) )
2522, 24impbid 128 1  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( { A ,  B }  ~~  2o  <->  A  =/=  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1335    e. wcel 2128    =/= wne 2327   _Vcvv 2712   {cpr 3561   class class class wbr 3965   1oc1o 6356   2oc2o 6357    ~~ cen 6683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-tr 4063  df-id 4253  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-1o 6363  df-2o 6364  df-er 6480  df-en 6686
This theorem is referenced by:  exmidonfinlem  7128  pw1dom2  7162  isprm2lem  11993
  Copyright terms: Public domain W3C validator