ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pr2ne Unicode version

Theorem pr2ne 7048
Description: If an unordered pair has two elements they are different. (Contributed by FL, 14-Feb-2010.)
Assertion
Ref Expression
pr2ne  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( { A ,  B }  ~~  2o  <->  A  =/=  B ) )

Proof of Theorem pr2ne
StepHypRef Expression
1 preq2 3601 . . . . 5  |-  ( B  =  A  ->  { A ,  B }  =  { A ,  A }
)
21eqcoms 2142 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  { A ,  B }  =  { A ,  A }
)
3 enpr1g 6692 . . . . . 6  |-  ( A  e.  C  ->  { A ,  A }  ~~  1o )
43adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  { A ,  A }  ~~  1o )
5 prexg 4133 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  { A ,  B }  e.  _V )
6 eqeng 6660 . . . . . . 7  |-  ( { A ,  B }  e.  _V  ->  ( { A ,  B }  =  { A ,  A }  ->  { A ,  B }  ~~  { A ,  A } ) )
75, 6syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( { A ,  B }  =  { A ,  A }  ->  { A ,  B }  ~~  { A ,  A } ) )
8 entr 6678 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { A ,  B }  ~~  { A ,  A }  /\  { A ,  A }  ~~  1o )  ->  { A ,  B }  ~~  1o )
9 1nen2 6755 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  1o  ~~  2o
10 ensym 6675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { A ,  B }  ~~  1o  ->  1o  ~~  { A ,  B }
)
11 entr 6678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1o  ~~  { A ,  B }  /\  { A ,  B }  ~~  2o )  ->  1o  ~~  2o )
1211ex 114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1o 
~~  { A ,  B }  ->  ( { A ,  B }  ~~  2o  ->  1o  ~~  2o ) )
1310, 12syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { A ,  B }  ~~  1o  ->  ( { A ,  B }  ~~  2o  ->  1o  ~~  2o ) )
149, 13mtoi 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( { A ,  B }  ~~  1o  ->  -.  { A ,  B }  ~~  2o )
1514a1d 22 . . . . . . . . 9  |-  ( { A ,  B }  ~~  1o  ->  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  -.  { A ,  B }  ~~  2o ) )
168, 15syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( { A ,  B }  ~~  { A ,  A }  /\  { A ,  A }  ~~  1o )  ->  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  -.  { A ,  B }  ~~  2o ) )
1716ex 114 . . . . . . 7  |-  ( { A ,  B }  ~~  { A ,  A }  ->  ( { A ,  A }  ~~  1o  ->  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  -.  { A ,  B }  ~~  2o ) ) )
1817com3r 79 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( { A ,  B }  ~~  { A ,  A }  ->  ( { A ,  A }  ~~  1o  ->  -.  { A ,  B }  ~~  2o ) ) )
197, 18syld 45 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( { A ,  B }  =  { A ,  A }  ->  ( { A ,  A }  ~~  1o  ->  -. 
{ A ,  B }  ~~  2o ) ) )
204, 19mpid 42 . . . 4  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( { A ,  B }  =  { A ,  A }  ->  -.  { A ,  B }  ~~  2o ) )
212, 20syl5 32 . . 3  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( A  =  B  ->  -.  { A ,  B }  ~~  2o ) )
2221necon2ad 2365 . 2  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( { A ,  B }  ~~  2o  ->  A  =/=  B ) )
23 pr2nelem 7047 . . 3  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D  /\  A  =/=  B )  ->  { A ,  B }  ~~  2o )
24233expia 1183 . 2  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( A  =/=  B  ->  { A ,  B }  ~~  2o ) )
2522, 24impbid 128 1  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( { A ,  B }  ~~  2o  <->  A  =/=  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480    =/= wne 2308   _Vcvv 2686   {cpr 3528   class class class wbr 3929   1oc1o 6306   2oc2o 6307    ~~ cen 6632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-1o 6313  df-2o 6314  df-er 6429  df-en 6635
This theorem is referenced by:  exmidonfinlem  7049  isprm2lem  11797  pw1dom2  13190
  Copyright terms: Public domain W3C validator