Theorem pw1ninf 17226

Description: The powerset of 1o is not infinite. Since we cannot prove it is finite (see pw1fin 7221), this provides a concrete example of a set which we cannot show to be finite or infinite, as seen another way at inffiexmid 7217. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
pw1ninf	|- -. om ~<_ ~P 1o

Proof of Theorem pw1ninf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw1ndom3 17225	. 2 |- -. 3o ~<_ ~P 1o
2		3onn 6799	. . . 4 |- 3o e. om
3		nnfi 7178	. . . 4 |- ( 3o e. om -> 3o e. Fin )
4		fict 7174	. . . 4 |- ( 3o e. Fin -> 3o ~<_ om )
5	2, 3, 4	mp2b 8	. . 3 |- 3o ~<_ om
6		domtr 7076	. . 3 |- ( ( 3o ~<_ om /\ om ~<_ ~P 1o ) -> 3o ~<_ ~P 1o )
7	5, 6	mpan 428	. 2 |- ( om ~<_ ~P 1o -> 3o ~<_ ~P 1o )
8	1, 7	mto 672	1 |- -. om ~<_ ~P 1o

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   e. wcel 2209   ~Pcpw 3688   class class class wbr 4131   omcom 4739   1oc1o 6684   3oc3o 6686   ~<_ cdom 7025   Fincfn 7026

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-1o 6691  df-2o 6692  df-3o 6693  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029

This theorem is used by: (None)