Theorem pw1fin 6912

Description: Excluded middle is equivalent to the power set of 1o being finite. (Contributed by SN and Jim Kingdon, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pw1fin	|- (EXMID <-> ~P 1o e. Fin )

Proof of Theorem pw1fin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exmidpweq 6911	. . . 4 |- (EXMID <-> ~P 1o = 2o )
2	1	biimpi 120	. . 3 |- (EXMID -> ~P 1o = 2o )
3		2onn 6524	. . . 4 |- 2o e. om
4		nnfi 6874	. . . 4 |- ( 2o e. om -> 2o e. Fin )
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 |- 2o e. Fin
6	2, 5	eqeltrdi 2268	. 2 |- (EXMID -> ~P 1o e. Fin )
7		df1o2 6432	. . . . . 6 |- 1o = { (/) }
8	7	sseq2i 3184	. . . . 5 |- ( x C_ 1o <-> x C_ { (/) } )
9		velpw 3584	. . . . . 6 |- ( x e. ~P 1o <-> x C_ 1o )
10		1oex 6427	. . . . . . . 8 |- 1o e. _V
11	10	pwid 3592	. . . . . . 7 |- 1o e. ~P 1o
12		fidceq 6871	. . . . . . 7 |- ( ( ~P 1o e. Fin /\ x e. ~P 1o /\ 1o e. ~P 1o ) -> DECID x = 1o )
13	11, 12	mp3an3 1326	. . . . . 6 |- ( ( ~P 1o e. Fin /\ x e. ~P 1o ) -> DECID x = 1o )
14	9, 13	sylan2br 288	. . . . 5 |- ( ( ~P 1o e. Fin /\ x C_ 1o ) -> DECID x = 1o )
15	8, 14	sylan2br 288	. . . 4 |- ( ( ~P 1o e. Fin /\ x C_ { (/) } ) -> DECID x = 1o )
16	7	eqeq2i 2188	. . . . 5 |- ( x = 1o <-> x = { (/) } )
17	16	dcbii 840	. . . 4 |- (DECID x = 1o <-> DECID x = { (/) } )
18	15, 17	sylib 122	. . 3 |- ( ( ~P 1o e. Fin /\ x C_ { (/) } ) -> DECID x = { (/) } )
19	18	exmid1dc 4202	. 2 |- ( ~P 1o e. Fin -> EXMID )
20	6, 19	impbii 126	1 |- (EXMID <-> ~P 1o e. Fin )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 834   = wceq 1353   e. wcel 2148   C_ wss 3131   (/)c0 3424   ~Pcpw 3577   {csn 3594  EXMIDwem 4196   omcom 4591   1oc1o 6412   2oc2o 6413   Fincfn 6742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-tr 4104  df-exmid 4197  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-1o 6419  df-2o 6420  df-en 6743  df-fin 6745

This theorem is referenced by: (None)