Theorem pw1fin 6888

Description: Excluded middle is equivalent to the power set of 1o being finite. (Contributed by SN and Jim Kingdon, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pw1fin	|- (EXMID <-> ~P 1o e. Fin )

Proof of Theorem pw1fin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exmidpweq 6887	. . . 4 |- (EXMID <-> ~P 1o = 2o )
2	1	biimpi 119	. . 3 |- (EXMID -> ~P 1o = 2o )
3		2onn 6500	. . . 4 |- 2o e. om
4		nnfi 6850	. . . 4 |- ( 2o e. om -> 2o e. Fin )
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 |- 2o e. Fin
6	2, 5	eqeltrdi 2261	. 2 |- (EXMID -> ~P 1o e. Fin )
7		df1o2 6408	. . . . . 6 |- 1o = { (/) }
8	7	sseq2i 3174	. . . . 5 |- ( x C_ 1o <-> x C_ { (/) } )
9		velpw 3573	. . . . . 6 |- ( x e. ~P 1o <-> x C_ 1o )
10		1oex 6403	. . . . . . . 8 |- 1o e. _V
11	10	pwid 3581	. . . . . . 7 |- 1o e. ~P 1o
12		fidceq 6847	. . . . . . 7 |- ( ( ~P 1o e. Fin /\ x e. ~P 1o /\ 1o e. ~P 1o ) -> DECID x = 1o )
13	11, 12	mp3an3 1321	. . . . . 6 |- ( ( ~P 1o e. Fin /\ x e. ~P 1o ) -> DECID x = 1o )
14	9, 13	sylan2br 286	. . . . 5 |- ( ( ~P 1o e. Fin /\ x C_ 1o ) -> DECID x = 1o )
15	8, 14	sylan2br 286	. . . 4 |- ( ( ~P 1o e. Fin /\ x C_ { (/) } ) -> DECID x = 1o )
16	7	eqeq2i 2181	. . . . 5 |- ( x = 1o <-> x = { (/) } )
17	16	dcbii 835	. . . 4 |- (DECID x = 1o <-> DECID x = { (/) } )
18	15, 17	sylib 121	. . 3 |- ( ( ~P 1o e. Fin /\ x C_ { (/) } ) -> DECID x = { (/) } )
19	18	exmid1dc 4186	. 2 |- ( ~P 1o e. Fin -> EXMID )
20	6, 19	impbii 125	1 |- (EXMID <-> ~P 1o e. Fin )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104  DECID wdc 829   = wceq 1348   e. wcel 2141   C_ wss 3121   (/)c0 3414   ~Pcpw 3566   {csn 3583  EXMIDwem 4180   omcom 4574   1oc1o 6388   2oc2o 6389   Fincfn 6718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-tr 4088  df-exmid 4181  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-1o 6395  df-2o 6396  df-en 6719  df-fin 6721

This theorem is referenced by: (None)