ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pw1fin Unicode version

Theorem pw1fin 6852
Description: Excluded middle is equivalent to the power set of  1o being finite. (Contributed by SN and Jim Kingdon, 7-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
pw1fin  |-  (EXMID  <->  ~P 1o  e.  Fin )

Proof of Theorem pw1fin
StepHypRef Expression
1 exmidpweq 6851 . . . 4  |-  (EXMID  <->  ~P 1o  =  2o )
21biimpi 119 . . 3  |-  (EXMID  ->  ~P 1o  =  2o )
3 2onn 6465 . . . 4  |-  2o  e.  om
4 nnfi 6814 . . . 4  |-  ( 2o  e.  om  ->  2o  e.  Fin )
53, 4ax-mp 5 . . 3  |-  2o  e.  Fin
62, 5eqeltrdi 2248 . 2  |-  (EXMID  ->  ~P 1o  e.  Fin )
7 df1o2 6373 . . . . . 6  |-  1o  =  { (/) }
87sseq2i 3155 . . . . 5  |-  ( x 
C_  1o  <->  x  C_  { (/) } )
9 velpw 3550 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~P 1o  <->  x  C_  1o )
10 1oex 6368 . . . . . . . 8  |-  1o  e.  _V
1110pwid 3558 . . . . . . 7  |-  1o  e.  ~P 1o
12 fidceq 6811 . . . . . . 7  |-  ( ( ~P 1o  e.  Fin  /\  x  e.  ~P 1o  /\  1o  e.  ~P 1o )  -> DECID 
x  =  1o )
1311, 12mp3an3 1308 . . . . . 6  |-  ( ( ~P 1o  e.  Fin  /\  x  e.  ~P 1o )  -> DECID 
x  =  1o )
149, 13sylan2br 286 . . . . 5  |-  ( ( ~P 1o  e.  Fin  /\  x  C_  1o )  -> DECID  x  =  1o )
158, 14sylan2br 286 . . . 4  |-  ( ( ~P 1o  e.  Fin  /\  x  C_  { (/) } )  -> DECID 
x  =  1o )
167eqeq2i 2168 . . . . 5  |-  ( x  =  1o  <->  x  =  { (/) } )
1716dcbii 826 . . . 4  |-  (DECID  x  =  1o  <-> DECID  x  =  { (/) } )
1815, 17sylib 121 . . 3  |-  ( ( ~P 1o  e.  Fin  /\  x  C_  { (/) } )  -> DECID 
x  =  { (/) } )
1918exmid1dc 4161 . 2  |-  ( ~P 1o  e.  Fin  -> EXMID )
206, 19impbii 125 1  |-  (EXMID  <->  ~P 1o  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    <-> wb 104  DECID wdc 820    = wceq 1335    e. wcel 2128    C_ wss 3102   (/)c0 3394   ~Pcpw 3543   {csn 3560  EXMIDwem 4155   omcom 4548   1oc1o 6353   2oc2o 6354   Fincfn 6682
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-tr 4063  df-exmid 4156  df-id 4253  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-1o 6360  df-2o 6361  df-en 6683  df-fin 6685
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator