Theorem pw1fin 6876

Description: Excluded middle is equivalent to the power set of 1o being finite. (Contributed by SN and Jim Kingdon, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pw1fin	|- (EXMID <-> ~P 1o e. Fin )

Proof of Theorem pw1fin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exmidpweq 6875	. . . 4 |- (EXMID <-> ~P 1o = 2o )
2	1	biimpi 119	. . 3 |- (EXMID -> ~P 1o = 2o )
3		2onn 6489	. . . 4 |- 2o e. om
4		nnfi 6838	. . . 4 |- ( 2o e. om -> 2o e. Fin )
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 |- 2o e. Fin
6	2, 5	eqeltrdi 2257	. 2 |- (EXMID -> ~P 1o e. Fin )
7		df1o2 6397	. . . . . 6 |- 1o = { (/) }
8	7	sseq2i 3169	. . . . 5 |- ( x C_ 1o <-> x C_ { (/) } )
9		velpw 3566	. . . . . 6 |- ( x e. ~P 1o <-> x C_ 1o )
10		1oex 6392	. . . . . . . 8 |- 1o e. _V
11	10	pwid 3574	. . . . . . 7 |- 1o e. ~P 1o
12		fidceq 6835	. . . . . . 7 |- ( ( ~P 1o e. Fin /\ x e. ~P 1o /\ 1o e. ~P 1o ) -> DECID x = 1o )
13	11, 12	mp3an3 1316	. . . . . 6 |- ( ( ~P 1o e. Fin /\ x e. ~P 1o ) -> DECID x = 1o )
14	9, 13	sylan2br 286	. . . . 5 |- ( ( ~P 1o e. Fin /\ x C_ 1o ) -> DECID x = 1o )
15	8, 14	sylan2br 286	. . . 4 |- ( ( ~P 1o e. Fin /\ x C_ { (/) } ) -> DECID x = 1o )
16	7	eqeq2i 2176	. . . . 5 |- ( x = 1o <-> x = { (/) } )
17	16	dcbii 830	. . . 4 |- (DECID x = 1o <-> DECID x = { (/) } )
18	15, 17	sylib 121	. . 3 |- ( ( ~P 1o e. Fin /\ x C_ { (/) } ) -> DECID x = { (/) } )
19	18	exmid1dc 4179	. 2 |- ( ~P 1o e. Fin -> EXMID )
20	6, 19	impbii 125	1 |- (EXMID <-> ~P 1o e. Fin )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104  DECID wdc 824   = wceq 1343   e. wcel 2136   C_ wss 3116   (/)c0 3409   ~Pcpw 3559   {csn 3576  EXMIDwem 4173   omcom 4567   1oc1o 6377   2oc2o 6378   Fincfn 6706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-tr 4081  df-exmid 4174  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-1o 6384  df-2o 6385  df-en 6707  df-fin 6709

This theorem is referenced by: (None)