Theorem pw1fin 6852

Description: Excluded middle is equivalent to the power set of 1o being finite. (Contributed by SN and Jim Kingdon, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pw1fin	|- (EXMID <-> ~P 1o e. Fin )

Proof of Theorem pw1fin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exmidpweq 6851	. . . 4 |- (EXMID <-> ~P 1o = 2o )
2	1	biimpi 119	. . 3 |- (EXMID -> ~P 1o = 2o )
3		2onn 6465	. . . 4 |- 2o e. om
4		nnfi 6814	. . . 4 |- ( 2o e. om -> 2o e. Fin )
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 |- 2o e. Fin
6	2, 5	eqeltrdi 2248	. 2 |- (EXMID -> ~P 1o e. Fin )
7		df1o2 6373	. . . . . 6 |- 1o = { (/) }
8	7	sseq2i 3155	. . . . 5 |- ( x C_ 1o <-> x C_ { (/) } )
9		velpw 3550	. . . . . 6 |- ( x e. ~P 1o <-> x C_ 1o )
10		1oex 6368	. . . . . . . 8 |- 1o e. _V
11	10	pwid 3558	. . . . . . 7 |- 1o e. ~P 1o
12		fidceq 6811	. . . . . . 7 |- ( ( ~P 1o e. Fin /\ x e. ~P 1o /\ 1o e. ~P 1o ) -> DECID x = 1o )
13	11, 12	mp3an3 1308	. . . . . 6 |- ( ( ~P 1o e. Fin /\ x e. ~P 1o ) -> DECID x = 1o )
14	9, 13	sylan2br 286	. . . . 5 |- ( ( ~P 1o e. Fin /\ x C_ 1o ) -> DECID x = 1o )
15	8, 14	sylan2br 286	. . . 4 |- ( ( ~P 1o e. Fin /\ x C_ { (/) } ) -> DECID x = 1o )
16	7	eqeq2i 2168	. . . . 5 |- ( x = 1o <-> x = { (/) } )
17	16	dcbii 826	. . . 4 |- (DECID x = 1o <-> DECID x = { (/) } )
18	15, 17	sylib 121	. . 3 |- ( ( ~P 1o e. Fin /\ x C_ { (/) } ) -> DECID x = { (/) } )
19	18	exmid1dc 4161	. 2 |- ( ~P 1o e. Fin -> EXMID )
20	6, 19	impbii 125	1 |- (EXMID <-> ~P 1o e. Fin )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104  DECID wdc 820   = wceq 1335   e. wcel 2128   C_ wss 3102   (/)c0 3394   ~Pcpw 3543   {csn 3560  EXMIDwem 4155   omcom 4548   1oc1o 6353   2oc2o 6354   Fincfn 6682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-tr 4063  df-exmid 4156  df-id 4253  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-1o 6360  df-2o 6361  df-en 6683  df-fin 6685

This theorem is referenced by: (None)