Theorem fznlem 10110

Description: A finite set of sequential integers is empty if the bounds are reversed. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fznlem	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < M -> ( M ... N ) = (/) ) )

Proof of Theorem fznlem

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9324	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
2		zre 9324	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
3		lenlt 8097	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M <_ N <-> -. N < M ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N <-> -. N < M ) )
5	4	biimpd 144	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N -> -. N < M ) )
6	5	con2d 625	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < M -> -. M <_ N ) )
7	6	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) -> -. M <_ N )
8	7	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) /\ k e. ZZ ) -> -. M <_ N )
9		simplll 533	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) /\ k e. ZZ ) -> M e. ZZ )
10	9	zred 9442	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) /\ k e. ZZ ) -> M e. RR )
11		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) /\ k e. ZZ ) -> k e. ZZ )
12	11	zred 9442	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) /\ k e. ZZ ) -> k e. RR )
13		simpllr 534	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) /\ k e. ZZ ) -> N e. ZZ )
14	13	zred 9442	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) /\ k e. ZZ ) -> N e. RR )
15		letr 8104	. . . . . . 7 |- ( ( M e. RR /\ k e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( M <_ k /\ k <_ N ) -> M <_ N ) )
16	10, 12, 14, 15	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( M <_ k /\ k <_ N ) -> M <_ N ) )
17	8, 16	mtod 664	. . . . 5 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) /\ k e. ZZ ) -> -. ( M <_ k /\ k <_ N ) )
18	17	ralrimiva 2567	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) -> A. k e. ZZ -. ( M <_ k /\ k <_ N ) )
19		rabeq0 3477	. . . 4 |- ( { k e. ZZ | ( M <_ k /\ k <_ N ) } = (/) <-> A. k e. ZZ -. ( M <_ k /\ k <_ N ) )
20	18, 19	sylibr 134	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) -> { k e. ZZ | ( M <_ k /\ k <_ N ) } = (/) )
21		fzval 10079	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... N ) = { k e. ZZ | ( M <_ k /\ k <_ N ) } )
22	21	eqeq1d 2202	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M ... N ) = (/) <-> { k e. ZZ | ( M <_ k /\ k <_ N ) } = (/) ) )
23	22	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) -> ( ( M ... N ) = (/) <-> { k e. ZZ | ( M <_ k /\ k <_ N ) } = (/) ) )
24	20, 23	mpbird 167	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) -> ( M ... N ) = (/) )
25	24	ex 115	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < M -> ( M ... N ) = (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   {crab 2476   (/)c0 3447   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919   RRcr 7873   < clt 8056   <_ cle 8057   ZZcz 9320   ...cfz 10077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-pre-ltwlin 7987

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-neg 8195  df-z 9321  df-fz 10078

This theorem is referenced by:  fzn  10111