Theorem hashgcdeq 11904

Description: Number of initial positive integers with specified divisors. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashgcdeq	|- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> (♯ ` { x e. ( 0..^ M ) | ( x gcd M ) = N } ) = if ( N || M , ( phi ` ( M / N ) ) , 0 ) )

Distinct variable groups:   x, M   x, N

Proof of Theorem hashgcdeq

Dummy variables z y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 2149	. 2 |- ( ( phi ` ( M / N ) ) = if ( N || M , ( phi ` ( M / N ) ) , 0 ) -> ( (♯ ` { x e. ( 0..^ M ) | ( x gcd M ) = N } ) = ( phi ` ( M / N ) ) <-> (♯ ` { x e. ( 0..^ M ) | ( x gcd M ) = N } ) = if ( N || M , ( phi ` ( M / N ) ) , 0 ) ) )
2		eqeq2 2149	. 2 |- ( 0 = if ( N || M , ( phi ` ( M / N ) ) , 0 ) -> ( (♯ ` { x e. ( 0..^ M ) | ( x gcd M ) = N } ) = 0 <-> (♯ ` { x e. ( 0..^ M ) | ( x gcd M ) = N } ) = if ( N || M , ( phi ` ( M / N ) ) , 0 ) ) )
3		nndivdvds 11499	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( N || M <-> ( M / N ) e. NN ) )
4	3	biimpa 294	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ N || M ) -> ( M / N ) e. NN )
5		dfphi2 11896	. . . 4 |- ( ( M / N ) e. NN -> ( phi ` ( M / N ) ) = (♯ ` { y e. ( 0..^ ( M / N ) ) | ( y gcd ( M / N ) ) = 1 } ) )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ N || M ) -> ( phi ` ( M / N ) ) = (♯ ` { y e. ( 0..^ ( M / N ) ) | ( y gcd ( M / N ) ) = 1 } ) )
7		0z 9065	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
8	4	nnzd 9172	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ N || M ) -> ( M / N ) e. ZZ )
9		fzofig 10205	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( M / N ) e. ZZ ) -> ( 0..^ ( M / N ) ) e. Fin )
10	7, 8, 9	sylancr 410	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ N || M ) -> ( 0..^ ( M / N ) ) e. Fin )
11		elfzoelz 9924	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( 0..^ ( M / N ) ) -> y e. ZZ )
12	11	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ N || M ) /\ y e. ( 0..^ ( M / N ) ) ) -> y e. ZZ )
13	8	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ N || M ) /\ y e. ( 0..^ ( M / N ) ) ) -> ( M / N ) e. ZZ )
14	12, 13	gcdcld 11657	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ N || M ) /\ y e. ( 0..^ ( M / N ) ) ) -> ( y gcd ( M / N ) ) e. NN0 )
15	14	nn0zd 9171	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ N || M ) /\ y e. ( 0..^ ( M / N ) ) ) -> ( y gcd ( M / N ) ) e. ZZ )
16		1zzd 9081	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ N || M ) /\ y e. ( 0..^ ( M / N ) ) ) -> 1 e. ZZ )
17		zdceq 9126	. . . . . . 7 |- ( ( ( y gcd ( M / N ) ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID ( y gcd ( M / N ) ) = 1 )
18	15, 16, 17	syl2anc 408	. . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ N || M ) /\ y e. ( 0..^ ( M / N ) ) ) -> DECID ( y gcd ( M / N ) ) = 1 )
19	18	ralrimiva 2505	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ N || M ) -> A. y e. ( 0..^ ( M / N ) )DECID ( y gcd ( M / N ) ) = 1 )
20	10, 19	ssfirab 6822	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ N || M ) -> { y e. ( 0..^ ( M / N ) ) | ( y gcd ( M / N ) ) = 1 } e. Fin )
21		eqid 2139	. . . . . 6 |- { y e. ( 0..^ ( M / N ) ) | ( y gcd ( M / N ) ) = 1 } = { y e. ( 0..^ ( M / N ) ) | ( y gcd ( M / N ) ) = 1 }
22		eqid 2139	. . . . . 6 |- { x e. ( 0..^ M ) | ( x gcd M ) = N } = { x e. ( 0..^ M ) | ( x gcd M ) = N }
23		eqid 2139	. . . . . 6 |- ( z e. { y e. ( 0..^ ( M / N ) ) | ( y gcd ( M / N ) ) = 1 } |-> ( z x. N ) ) = ( z e. { y e. ( 0..^ ( M / N ) ) | ( y gcd ( M / N ) ) = 1 } |-> ( z x. N ) )
24	21, 22, 23	hashgcdlem 11903	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> ( z e. { y e. ( 0..^ ( M / N ) ) | ( y gcd ( M / N ) ) = 1 } |-> ( z x. N ) ) : { y e. ( 0..^ ( M / N ) ) | ( y gcd ( M / N ) ) = 1 } -1-1-onto-> { x e. ( 0..^ M ) | ( x gcd M ) = N } )
25	24	3expa 1181	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ N || M ) -> ( z e. { y e. ( 0..^ ( M / N ) ) | ( y gcd ( M / N ) ) = 1 } |-> ( z x. N ) ) : { y e. ( 0..^ ( M / N ) ) | ( y gcd ( M / N ) ) = 1 } -1-1-onto-> { x e. ( 0..^ M ) | ( x gcd M ) = N } )
26	20, 25	fihasheqf1od 10536	. . 3 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ N || M ) -> (♯ ` { y e. ( 0..^ ( M / N ) ) | ( y gcd ( M / N ) ) = 1 } ) = (♯ ` { x e. ( 0..^ M ) | ( x gcd M ) = N } ) )
27	6, 26	eqtr2d 2173	. 2 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ N || M ) -> (♯ ` { x e. ( 0..^ M ) | ( x gcd M ) = N } ) = ( phi ` ( M / N ) ) )
28		simprr 521	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( x e. ( 0..^ M ) /\ ( x gcd M ) = N ) ) -> ( x gcd M ) = N )
29		elfzoelz 9924	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 0..^ M ) -> x e. ZZ )
30	29	ad2antrl 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( x e. ( 0..^ M ) /\ ( x gcd M ) = N ) ) -> x e. ZZ )
31		nnz 9073	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. NN -> M e. ZZ )
32	31	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( x e. ( 0..^ M ) /\ ( x gcd M ) = N ) ) -> M e. ZZ )
33		gcddvds 11652	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( x gcd M ) || x /\ ( x gcd M ) || M ) )
34	30, 32, 33	syl2anc 408	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( x e. ( 0..^ M ) /\ ( x gcd M ) = N ) ) -> ( ( x gcd M ) || x /\ ( x gcd M ) || M ) )
35	34	simprd 113	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( x e. ( 0..^ M ) /\ ( x gcd M ) = N ) ) -> ( x gcd M ) || M )
36	28, 35	eqbrtrrd 3952	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( x e. ( 0..^ M ) /\ ( x gcd M ) = N ) ) -> N || M )
37	36	expr 372	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ x e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( x gcd M ) = N -> N || M ) )
38	37	con3d 620	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ x e. ( 0..^ M ) ) -> ( -. N || M -> -. ( x gcd M ) = N ) )
39	38	impancom 258	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ -. N || M ) -> ( x e. ( 0..^ M ) -> -. ( x gcd M ) = N ) )
40	39	ralrimiv 2504	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ -. N || M ) -> A. x e. ( 0..^ M ) -. ( x gcd M ) = N )
41		rabeq0 3392	. . . . 5 |- ( { x e. ( 0..^ M ) | ( x gcd M ) = N } = (/) <-> A. x e. ( 0..^ M ) -. ( x gcd M ) = N )
42	40, 41	sylibr 133	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ -. N || M ) -> { x e. ( 0..^ M ) | ( x gcd M ) = N } = (/) )
43	42	fveq2d 5425	. . 3 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ -. N || M ) -> (♯ ` { x e. ( 0..^ M ) | ( x gcd M ) = N } ) = (♯ ` (/) ) )
44		hash0 10543	. . 3 |- (♯ ` (/) ) = 0
45	43, 44	syl6eq 2188	. 2 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ -. N || M ) -> (♯ ` { x e. ( 0..^ M ) | ( x gcd M ) = N } ) = 0 )
46		dvdsdc 11501	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ M e. ZZ ) -> DECID N || M )
47	31, 46	sylan2 284	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> DECID N || M )
48	47	ancoms 266	. 2 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> DECID N || M )
49	1, 2, 27, 45, 48	ifbothdadc 3503	1 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> (♯ ` { x e. ( 0..^ M ) | ( x gcd M ) = N } ) = if ( N || M , ( phi ` ( M / N ) ) , 0 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103  DECID wdc 819   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   {crab 2420   (/)c0 3363   ifcif 3474   class class class wbr 3929   |-> cmpt 3989   -1-1-onto->wf1o 5122   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   Fincfn 6634   0cc0 7620   1c1 7621   x. cmul 7625   / cdiv 8432   NNcn 8720   ZZcz 9054  ..^cfzo 9919  ♯chash 10521   || cdvds 11493   gcd cgcd 11635   phicphi 11886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-1o 6313  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-sup 6871  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-fl 10043  df-mod 10096  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-ihash 10522  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-dvds 11494  df-gcd 11636  df-phi 11887

This theorem is referenced by: (None)