Theorem hashgcdeq 12148

Description: Number of initial positive integers with specified divisors. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashgcdeq	|- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> (♯ ` { x e. ( 0..^ M ) | ( x gcd M ) = N } ) = if ( N || M , ( phi ` ( M / N ) ) , 0 ) )

Distinct variable groups:   x, M   x, N

Proof of Theorem hashgcdeq

Dummy variables z y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 2174	. 2 |- ( ( phi ` ( M / N ) ) = if ( N || M , ( phi ` ( M / N ) ) , 0 ) -> ( (♯ ` { x e. ( 0..^ M ) | ( x gcd M ) = N } ) = ( phi ` ( M / N ) ) <-> (♯ ` { x e. ( 0..^ M ) | ( x gcd M ) = N } ) = if ( N || M , ( phi ` ( M / N ) ) , 0 ) ) )
2		eqeq2 2174	. 2 |- ( 0 = if ( N || M , ( phi ` ( M / N ) ) , 0 ) -> ( (♯ ` { x e. ( 0..^ M ) | ( x gcd M ) = N } ) = 0 <-> (♯ ` { x e. ( 0..^ M ) | ( x gcd M ) = N } ) = if ( N || M , ( phi ` ( M / N ) ) , 0 ) ) )
3		nndivdvds 11722	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( N || M <-> ( M / N ) e. NN ) )
4	3	biimpa 294	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ N || M ) -> ( M / N ) e. NN )
5		dfphi2 12129	. . . 4 |- ( ( M / N ) e. NN -> ( phi ` ( M / N ) ) = (♯ ` { y e. ( 0..^ ( M / N ) ) | ( y gcd ( M / N ) ) = 1 } ) )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ N || M ) -> ( phi ` ( M / N ) ) = (♯ ` { y e. ( 0..^ ( M / N ) ) | ( y gcd ( M / N ) ) = 1 } ) )
7		0z 9193	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
8	4	nnzd 9303	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ N || M ) -> ( M / N ) e. ZZ )
9		fzofig 10357	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( M / N ) e. ZZ ) -> ( 0..^ ( M / N ) ) e. Fin )
10	7, 8, 9	sylancr 411	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ N || M ) -> ( 0..^ ( M / N ) ) e. Fin )
11		elfzoelz 10072	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( 0..^ ( M / N ) ) -> y e. ZZ )
12	11	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ N || M ) /\ y e. ( 0..^ ( M / N ) ) ) -> y e. ZZ )
13	8	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ N || M ) /\ y e. ( 0..^ ( M / N ) ) ) -> ( M / N ) e. ZZ )
14	12, 13	gcdcld 11886	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ N || M ) /\ y e. ( 0..^ ( M / N ) ) ) -> ( y gcd ( M / N ) ) e. NN0 )
15	14	nn0zd 9302	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ N || M ) /\ y e. ( 0..^ ( M / N ) ) ) -> ( y gcd ( M / N ) ) e. ZZ )
16		1zzd 9209	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ N || M ) /\ y e. ( 0..^ ( M / N ) ) ) -> 1 e. ZZ )
17		zdceq 9257	. . . . . . 7 |- ( ( ( y gcd ( M / N ) ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID ( y gcd ( M / N ) ) = 1 )
18	15, 16, 17	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ N || M ) /\ y e. ( 0..^ ( M / N ) ) ) -> DECID ( y gcd ( M / N ) ) = 1 )
19	18	ralrimiva 2537	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ N || M ) -> A. y e. ( 0..^ ( M / N ) )DECID ( y gcd ( M / N ) ) = 1 )
20	10, 19	ssfirab 6890	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ N || M ) -> { y e. ( 0..^ ( M / N ) ) | ( y gcd ( M / N ) ) = 1 } e. Fin )
21		eqid 2164	. . . . . 6 |- { y e. ( 0..^ ( M / N ) ) | ( y gcd ( M / N ) ) = 1 } = { y e. ( 0..^ ( M / N ) ) | ( y gcd ( M / N ) ) = 1 }
22		eqid 2164	. . . . . 6 |- { x e. ( 0..^ M ) | ( x gcd M ) = N } = { x e. ( 0..^ M ) | ( x gcd M ) = N }
23		eqid 2164	. . . . . 6 |- ( z e. { y e. ( 0..^ ( M / N ) ) | ( y gcd ( M / N ) ) = 1 } |-> ( z x. N ) ) = ( z e. { y e. ( 0..^ ( M / N ) ) | ( y gcd ( M / N ) ) = 1 } |-> ( z x. N ) )
24	21, 22, 23	hashgcdlem 12147	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> ( z e. { y e. ( 0..^ ( M / N ) ) | ( y gcd ( M / N ) ) = 1 } |-> ( z x. N ) ) : { y e. ( 0..^ ( M / N ) ) | ( y gcd ( M / N ) ) = 1 } -1-1-onto-> { x e. ( 0..^ M ) | ( x gcd M ) = N } )
25	24	3expa 1192	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ N || M ) -> ( z e. { y e. ( 0..^ ( M / N ) ) | ( y gcd ( M / N ) ) = 1 } |-> ( z x. N ) ) : { y e. ( 0..^ ( M / N ) ) | ( y gcd ( M / N ) ) = 1 } -1-1-onto-> { x e. ( 0..^ M ) | ( x gcd M ) = N } )
26	20, 25	fihasheqf1od 10692	. . 3 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ N || M ) -> (♯ ` { y e. ( 0..^ ( M / N ) ) | ( y gcd ( M / N ) ) = 1 } ) = (♯ ` { x e. ( 0..^ M ) | ( x gcd M ) = N } ) )
27	6, 26	eqtr2d 2198	. 2 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ N || M ) -> (♯ ` { x e. ( 0..^ M ) | ( x gcd M ) = N } ) = ( phi ` ( M / N ) ) )
28		simprr 522	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( x e. ( 0..^ M ) /\ ( x gcd M ) = N ) ) -> ( x gcd M ) = N )
29		elfzoelz 10072	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 0..^ M ) -> x e. ZZ )
30	29	ad2antrl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( x e. ( 0..^ M ) /\ ( x gcd M ) = N ) ) -> x e. ZZ )
31		nnz 9201	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. NN -> M e. ZZ )
32	31	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( x e. ( 0..^ M ) /\ ( x gcd M ) = N ) ) -> M e. ZZ )
33		gcddvds 11881	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( x gcd M ) || x /\ ( x gcd M ) || M ) )
34	30, 32, 33	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( x e. ( 0..^ M ) /\ ( x gcd M ) = N ) ) -> ( ( x gcd M ) || x /\ ( x gcd M ) || M ) )
35	34	simprd 113	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( x e. ( 0..^ M ) /\ ( x gcd M ) = N ) ) -> ( x gcd M ) || M )
36	28, 35	eqbrtrrd 4000	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( x e. ( 0..^ M ) /\ ( x gcd M ) = N ) ) -> N || M )
37	36	expr 373	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ x e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( x gcd M ) = N -> N || M ) )
38	37	con3d 621	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ x e. ( 0..^ M ) ) -> ( -. N || M -> -. ( x gcd M ) = N ) )
39	38	impancom 258	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ -. N || M ) -> ( x e. ( 0..^ M ) -> -. ( x gcd M ) = N ) )
40	39	ralrimiv 2536	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ -. N || M ) -> A. x e. ( 0..^ M ) -. ( x gcd M ) = N )
41		rabeq0 3433	. . . . 5 |- ( { x e. ( 0..^ M ) | ( x gcd M ) = N } = (/) <-> A. x e. ( 0..^ M ) -. ( x gcd M ) = N )
42	40, 41	sylibr 133	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ -. N || M ) -> { x e. ( 0..^ M ) | ( x gcd M ) = N } = (/) )
43	42	fveq2d 5484	. . 3 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ -. N || M ) -> (♯ ` { x e. ( 0..^ M ) | ( x gcd M ) = N } ) = (♯ ` (/) ) )
44		hash0 10699	. . 3 |- (♯ ` (/) ) = 0
45	43, 44	eqtrdi 2213	. 2 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ -. N || M ) -> (♯ ` { x e. ( 0..^ M ) | ( x gcd M ) = N } ) = 0 )
46		dvdsdc 11724	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ M e. ZZ ) -> DECID N || M )
47	31, 46	sylan2 284	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> DECID N || M )
48	47	ancoms 266	. 2 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> DECID N || M )
49	1, 2, 27, 45, 48	ifbothdadc 3546	1 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> (♯ ` { x e. ( 0..^ M ) | ( x gcd M ) = N } ) = if ( N || M , ( phi ` ( M / N ) ) , 0 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103  DECID wdc 824   = wceq 1342   e. wcel 2135   A.wral 2442   {crab 2446   (/)c0 3404   ifcif 3515   class class class wbr 3976   |-> cmpt 4037   -1-1-onto->wf1o 5181   ` cfv 5182  (class class class)co 5836   Fincfn 6697   0cc0 7744   1c1 7745   x. cmul 7749   / cdiv 8559   NNcn 8848   ZZcz 9182  ..^cfzo 10067  ♯chash 10677   || cdvds 11713   gcd cgcd 11860   phicphi 12118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-iinf 4559  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-mulrcl 7843  ax-addcom 7844  ax-mulcom 7845  ax-addass 7846  ax-mulass 7847  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-1rid 7851  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-precex 7854  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-apti 7859  ax-pre-ltadd 7860  ax-pre-mulgt0 7861  ax-pre-mulext 7862  ax-arch 7863  ax-caucvg 7864

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rmo 2450  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-if 3516  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4075  df-id 4265  df-po 4268  df-iso 4269  df-iord 4338  df-on 4340  df-ilim 4341  df-suc 4343  df-iom 4562  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-recs 6264  df-frec 6350  df-1o 6375  df-er 6492  df-en 6698  df-dom 6699  df-fin 6700  df-sup 6940  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-sub 8062  df-neg 8063  df-reap 8464  df-ap 8471  df-div 8560  df-inn 8849  df-2 8907  df-3 8908  df-4 8909  df-n0 9106  df-z 9183  df-uz 9458  df-q 9549  df-rp 9581  df-fz 9936  df-fzo 10068  df-fl 10195  df-mod 10248  df-seqfrec 10371  df-exp 10445  df-ihash 10678  df-cj 10770  df-re 10771  df-im 10772  df-rsqrt 10926  df-abs 10927  df-dvds 11714  df-gcd 11861  df-phi 12120

This theorem is referenced by:  phisum  12149