Theorem ctssexmid 7348

Description: The decidability condition in ctssdc 7311 is needed. More specifically, ctssdc 7311 minus that condition, plus the Limited Principle of Omniscience (LPO), implies excluded middle. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ctssexmid.1	|- ( ( y C_ om /\ E. f f : y -onto-> x ) -> E. f f : om -onto-> ( x ⊔ 1o ) )
ctssexmid.lpo	|- om e. Omni

Assertion

Ref	Expression
ctssexmid	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable group:   ph, f, x, y

Proof of Theorem ctssexmid

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3312	. . 3 |- { z e. om | ph } C_ om
2		f1oi 5623	. . . 4 |- ( _I |` { z e. om | ph } ) : { z e. om | ph } -1-1-onto-> { z e. om | ph }
3		f1ofo 5590	. . . 4 |- ( ( _I |` { z e. om | ph } ) : { z e. om | ph } -1-1-onto-> { z e. om | ph } -> ( _I |` { z e. om | ph } ) : { z e. om | ph } -onto-> { z e. om | ph } )
4		ctssexmid.lpo	. . . . . . . 8 |- om e. Omni
5	4	elexi 2815	. . . . . . 7 |- om e. _V
6	5	rabex 4234	. . . . . 6 |- { z e. om | ph } e. _V
7		resiexg 5058	. . . . . 6 |- ( { z e. om | ph } e. _V -> ( _I |` { z e. om | ph } ) e. _V )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( _I |` { z e. om | ph } ) e. _V
9		foeq1 5555	. . . . 5 |- ( f = ( _I |` { z e. om | ph } ) -> ( f : { z e. om | ph } -onto-> { z e. om | ph } <-> ( _I |` { z e. om | ph } ) : { z e. om | ph } -onto-> { z e. om | ph } ) )
10	8, 9	spcev 2901	. . . 4 |- ( ( _I |` { z e. om | ph } ) : { z e. om | ph } -onto-> { z e. om | ph } -> E. f f : { z e. om | ph } -onto-> { z e. om | ph } )
11	2, 3, 10	mp2b 8	. . 3 |- E. f f : { z e. om | ph } -onto-> { z e. om | ph }
12		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( x = { z e. om | ph } /\ y = { z e. om | ph } ) -> y = { z e. om | ph } )
13	12	sseq1d 3256	. . . . . 6 |- ( ( x = { z e. om | ph } /\ y = { z e. om | ph } ) -> ( y C_ om <-> { z e. om | ph } C_ om ) )
14		eqidd 2232	. . . . . . . 8 |- ( ( x = { z e. om | ph } /\ y = { z e. om | ph } ) -> f = f )
15		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( x = { z e. om | ph } /\ y = { z e. om | ph } ) -> x = { z e. om | ph } )
16	14, 12, 15	foeq123d 5576	. . . . . . 7 |- ( ( x = { z e. om | ph } /\ y = { z e. om | ph } ) -> ( f : y -onto-> x <-> f : { z e. om | ph } -onto-> { z e. om | ph } ) )
17	16	exbidv 1873	. . . . . 6 |- ( ( x = { z e. om | ph } /\ y = { z e. om | ph } ) -> ( E. f f : y -onto-> x <-> E. f f : { z e. om | ph } -onto-> { z e. om | ph } ) )
18	13, 17	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( ( x = { z e. om | ph } /\ y = { z e. om | ph } ) -> ( ( y C_ om /\ E. f f : y -onto-> x ) <-> ( { z e. om | ph } C_ om /\ E. f f : { z e. om | ph } -onto-> { z e. om | ph } ) ) )
19		djueq1 7238	. . . . . . 7 |- ( x = { z e. om | ph } -> ( x ⊔ 1o ) = ( { z e. om | ph } ⊔ 1o ) )
20		foeq3 5557	. . . . . . 7 |- ( ( x ⊔ 1o ) = ( { z e. om | ph } ⊔ 1o ) -> ( f : om -onto-> ( x ⊔ 1o ) <-> f : om -onto-> ( { z e. om | ph } ⊔ 1o ) ) )
21	15, 19, 20	3syl 17	. . . . . 6 |- ( ( x = { z e. om | ph } /\ y = { z e. om | ph } ) -> ( f : om -onto-> ( x ⊔ 1o ) <-> f : om -onto-> ( { z e. om | ph } ⊔ 1o ) ) )
22	21	exbidv 1873	. . . . 5 |- ( ( x = { z e. om | ph } /\ y = { z e. om | ph } ) -> ( E. f f : om -onto-> ( x ⊔ 1o ) <-> E. f f : om -onto-> ( { z e. om | ph } ⊔ 1o ) ) )
23	18, 22	imbi12d 234	. . . 4 |- ( ( x = { z e. om | ph } /\ y = { z e. om | ph } ) -> ( ( ( y C_ om /\ E. f f : y -onto-> x ) -> E. f f : om -onto-> ( x ⊔ 1o ) ) <-> ( ( { z e. om | ph } C_ om /\ E. f f : { z e. om | ph } -onto-> { z e. om | ph } ) -> E. f f : om -onto-> ( { z e. om | ph } ⊔ 1o ) ) ) )
24		ctssexmid.1	. . . 4 |- ( ( y C_ om /\ E. f f : y -onto-> x ) -> E. f f : om -onto-> ( x ⊔ 1o ) )
25	6, 6, 23, 24	vtocl2 2859	. . 3 |- ( ( { z e. om | ph } C_ om /\ E. f f : { z e. om | ph } -onto-> { z e. om | ph } ) -> E. f f : om -onto-> ( { z e. om | ph } ⊔ 1o ) )
26	1, 11, 25	mp2an 426	. 2 |- E. f f : om -onto-> ( { z e. om | ph } ⊔ 1o )
27	4	a1i 9	. . . 4 |- ( f : om -onto-> ( { z e. om | ph } ⊔ 1o ) -> om e. Omni )
28		id 19	. . . 4 |- ( f : om -onto-> ( { z e. om | ph } ⊔ 1o ) -> f : om -onto-> ( { z e. om | ph } ⊔ 1o ) )
29	27, 28	fodjuomni 7347	. . 3 |- ( f : om -onto-> ( { z e. om | ph } ⊔ 1o ) -> ( E. w w e. { z e. om | ph } \/ { z e. om | ph } = (/) ) )
30	29	exlimiv 1646	. 2 |- ( E. f f : om -onto-> ( { z e. om | ph } ⊔ 1o ) -> ( E. w w e. { z e. om | ph } \/ { z e. om | ph } = (/) ) )
31		biidd 172	. . . . . 6 |- ( z = w -> ( ph <-> ph ) )
32	31	elrab 2962	. . . . 5 |- ( w e. { z e. om | ph } <-> ( w e. om /\ ph ) )
33	32	simprbi 275	. . . 4 |- ( w e. { z e. om | ph } -> ph )
34	33	exlimiv 1646	. . 3 |- ( E. w w e. { z e. om | ph } -> ph )
35		rabeq0 3524	. . . 4 |- ( { z e. om | ph } = (/) <-> A. z e. om -. ph )
36		peano1 4692	. . . . 5 |- (/) e. om
37		elex2 2819	. . . . 5 |- ( (/) e. om -> E. u u e. om )
38		r19.3rmv 3585	. . . . 5 |- ( E. u u e. om -> ( -. ph <-> A. z e. om -. ph ) )
39	36, 37, 38	mp2b 8	. . . 4 |- ( -. ph <-> A. z e. om -. ph )
40	35, 39	sylbb2 138	. . 3 |- ( { z e. om | ph } = (/) -> -. ph )
41	34, 40	orim12i 766	. 2 |- ( ( E. w w e. { z e. om | ph } \/ { z e. om | ph } = (/) ) -> ( ph \/ -. ph ) )
42	26, 30, 41	mp2b 8	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   A.wral 2510   {crab 2514   _Vcvv 2802   C_ wss 3200   (/)c0 3494   _I cid 4385   omcom 4688   |` cres 4727   -onto->wfo 5324   -1-1-onto->wf1o 5325   1oc1o 6574   ⊔ cdju 7235  Omnicomni 7332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-1o 6581  df-2o 6582  df-map 6818  df-dju 7236  df-inl 7245  df-inr 7246  df-omni 7333

This theorem is referenced by: (None)