Theorem ctssexmid 7317

Description: The decidability condition in ctssdc 7280 is needed. More specifically, ctssdc 7280 minus that condition, plus the Limited Principle of Omniscience (LPO), implies excluded middle. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ctssexmid.1	|- ( ( y C_ om /\ E. f f : y -onto-> x ) -> E. f f : om -onto-> ( x ⊔ 1o ) )
ctssexmid.lpo	|- om e. Omni

Assertion

Ref	Expression
ctssexmid	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable group:   ph, f, x, y

Proof of Theorem ctssexmid

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3309	. . 3 |- { z e. om | ph } C_ om
2		f1oi 5611	. . . 4 |- ( _I |` { z e. om | ph } ) : { z e. om | ph } -1-1-onto-> { z e. om | ph }
3		f1ofo 5579	. . . 4 |- ( ( _I |` { z e. om | ph } ) : { z e. om | ph } -1-1-onto-> { z e. om | ph } -> ( _I |` { z e. om | ph } ) : { z e. om | ph } -onto-> { z e. om | ph } )
4		ctssexmid.lpo	. . . . . . . 8 |- om e. Omni
5	4	elexi 2812	. . . . . . 7 |- om e. _V
6	5	rabex 4228	. . . . . 6 |- { z e. om | ph } e. _V
7		resiexg 5050	. . . . . 6 |- ( { z e. om | ph } e. _V -> ( _I |` { z e. om | ph } ) e. _V )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( _I |` { z e. om | ph } ) e. _V
9		foeq1 5544	. . . . 5 |- ( f = ( _I |` { z e. om | ph } ) -> ( f : { z e. om | ph } -onto-> { z e. om | ph } <-> ( _I |` { z e. om | ph } ) : { z e. om | ph } -onto-> { z e. om | ph } ) )
10	8, 9	spcev 2898	. . . 4 |- ( ( _I |` { z e. om | ph } ) : { z e. om | ph } -onto-> { z e. om | ph } -> E. f f : { z e. om | ph } -onto-> { z e. om | ph } )
11	2, 3, 10	mp2b 8	. . 3 |- E. f f : { z e. om | ph } -onto-> { z e. om | ph }
12		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( x = { z e. om | ph } /\ y = { z e. om | ph } ) -> y = { z e. om | ph } )
13	12	sseq1d 3253	. . . . . 6 |- ( ( x = { z e. om | ph } /\ y = { z e. om | ph } ) -> ( y C_ om <-> { z e. om | ph } C_ om ) )
14		eqidd 2230	. . . . . . . 8 |- ( ( x = { z e. om | ph } /\ y = { z e. om | ph } ) -> f = f )
15		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( x = { z e. om | ph } /\ y = { z e. om | ph } ) -> x = { z e. om | ph } )
16	14, 12, 15	foeq123d 5565	. . . . . . 7 |- ( ( x = { z e. om | ph } /\ y = { z e. om | ph } ) -> ( f : y -onto-> x <-> f : { z e. om | ph } -onto-> { z e. om | ph } ) )
17	16	exbidv 1871	. . . . . 6 |- ( ( x = { z e. om | ph } /\ y = { z e. om | ph } ) -> ( E. f f : y -onto-> x <-> E. f f : { z e. om | ph } -onto-> { z e. om | ph } ) )
18	13, 17	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( ( x = { z e. om | ph } /\ y = { z e. om | ph } ) -> ( ( y C_ om /\ E. f f : y -onto-> x ) <-> ( { z e. om | ph } C_ om /\ E. f f : { z e. om | ph } -onto-> { z e. om | ph } ) ) )
19		djueq1 7207	. . . . . . 7 |- ( x = { z e. om | ph } -> ( x ⊔ 1o ) = ( { z e. om | ph } ⊔ 1o ) )
20		foeq3 5546	. . . . . . 7 |- ( ( x ⊔ 1o ) = ( { z e. om | ph } ⊔ 1o ) -> ( f : om -onto-> ( x ⊔ 1o ) <-> f : om -onto-> ( { z e. om | ph } ⊔ 1o ) ) )
21	15, 19, 20	3syl 17	. . . . . 6 |- ( ( x = { z e. om | ph } /\ y = { z e. om | ph } ) -> ( f : om -onto-> ( x ⊔ 1o ) <-> f : om -onto-> ( { z e. om | ph } ⊔ 1o ) ) )
22	21	exbidv 1871	. . . . 5 |- ( ( x = { z e. om | ph } /\ y = { z e. om | ph } ) -> ( E. f f : om -onto-> ( x ⊔ 1o ) <-> E. f f : om -onto-> ( { z e. om | ph } ⊔ 1o ) ) )
23	18, 22	imbi12d 234	. . . 4 |- ( ( x = { z e. om | ph } /\ y = { z e. om | ph } ) -> ( ( ( y C_ om /\ E. f f : y -onto-> x ) -> E. f f : om -onto-> ( x ⊔ 1o ) ) <-> ( ( { z e. om | ph } C_ om /\ E. f f : { z e. om | ph } -onto-> { z e. om | ph } ) -> E. f f : om -onto-> ( { z e. om | ph } ⊔ 1o ) ) ) )
24		ctssexmid.1	. . . 4 |- ( ( y C_ om /\ E. f f : y -onto-> x ) -> E. f f : om -onto-> ( x ⊔ 1o ) )
25	6, 6, 23, 24	vtocl2 2856	. . 3 |- ( ( { z e. om | ph } C_ om /\ E. f f : { z e. om | ph } -onto-> { z e. om | ph } ) -> E. f f : om -onto-> ( { z e. om | ph } ⊔ 1o ) )
26	1, 11, 25	mp2an 426	. 2 |- E. f f : om -onto-> ( { z e. om | ph } ⊔ 1o )
27	4	a1i 9	. . . 4 |- ( f : om -onto-> ( { z e. om | ph } ⊔ 1o ) -> om e. Omni )
28		id 19	. . . 4 |- ( f : om -onto-> ( { z e. om | ph } ⊔ 1o ) -> f : om -onto-> ( { z e. om | ph } ⊔ 1o ) )
29	27, 28	fodjuomni 7316	. . 3 |- ( f : om -onto-> ( { z e. om | ph } ⊔ 1o ) -> ( E. w w e. { z e. om | ph } \/ { z e. om | ph } = (/) ) )
30	29	exlimiv 1644	. 2 |- ( E. f f : om -onto-> ( { z e. om | ph } ⊔ 1o ) -> ( E. w w e. { z e. om | ph } \/ { z e. om | ph } = (/) ) )
31		biidd 172	. . . . . 6 |- ( z = w -> ( ph <-> ph ) )
32	31	elrab 2959	. . . . 5 |- ( w e. { z e. om | ph } <-> ( w e. om /\ ph ) )
33	32	simprbi 275	. . . 4 |- ( w e. { z e. om | ph } -> ph )
34	33	exlimiv 1644	. . 3 |- ( E. w w e. { z e. om | ph } -> ph )
35		rabeq0 3521	. . . 4 |- ( { z e. om | ph } = (/) <-> A. z e. om -. ph )
36		peano1 4686	. . . . 5 |- (/) e. om
37		elex2 2816	. . . . 5 |- ( (/) e. om -> E. u u e. om )
38		r19.3rmv 3582	. . . . 5 |- ( E. u u e. om -> ( -. ph <-> A. z e. om -. ph ) )
39	36, 37, 38	mp2b 8	. . . 4 |- ( -. ph <-> A. z e. om -. ph )
40	35, 39	sylbb2 138	. . 3 |- ( { z e. om | ph } = (/) -> -. ph )
41	34, 40	orim12i 764	. 2 |- ( ( E. w w e. { z e. om | ph } \/ { z e. om | ph } = (/) ) -> ( ph \/ -. ph ) )
42	26, 30, 41	mp2b 8	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   A.wral 2508   {crab 2512   _Vcvv 2799   C_ wss 3197   (/)c0 3491   _I cid 4379   omcom 4682   |` cres 4721   -onto->wfo 5316   -1-1-onto->wf1o 5317   1oc1o 6555   ⊔ cdju 7204  Omnicomni 7301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-1o 6562  df-2o 6563  df-map 6797  df-dju 7205  df-inl 7214  df-inr 7215  df-omni 7302

This theorem is referenced by: (None)