ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ctssexmid Unicode version

Theorem ctssexmid 7148
Description: The decidability condition in ctssdc 7112 is needed. More specifically, ctssdc 7112 minus that condition, plus the Limited Principle of Omniscience (LPO), implies excluded middle. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ctssexmid.1  |-  ( ( y  C_  om  /\  E. f  f : y
-onto-> x )  ->  E. f 
f : om -onto-> (
x 1o ) )
ctssexmid.lpo  |-  om  e. Omni
Assertion
Ref Expression
ctssexmid  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Distinct variable group:    ph, f, x, y

Proof of Theorem ctssexmid
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3241 . . 3  |-  { z  e.  om  |  ph }  C_  om
2 f1oi 5500 . . . 4  |-  (  _I  |`  { z  e.  om  |  ph } ) : { z  e.  om  |  ph } -1-1-onto-> { z  e.  om  |  ph }
3 f1ofo 5469 . . . 4  |-  ( (  _I  |`  { z  e.  om  |  ph }
) : { z  e.  om  |  ph }
-1-1-onto-> { z  e.  om  |  ph }  ->  (  _I  |`  { z  e. 
om  |  ph }
) : { z  e.  om  |  ph } -onto-> { z  e.  om  |  ph } )
4 ctssexmid.lpo . . . . . . . 8  |-  om  e. Omni
54elexi 2750 . . . . . . 7  |-  om  e.  _V
65rabex 4148 . . . . . 6  |-  { z  e.  om  |  ph }  e.  _V
7 resiexg 4953 . . . . . 6  |-  ( { z  e.  om  |  ph }  e.  _V  ->  (  _I  |`  { z  e.  om  |  ph }
)  e.  _V )
86, 7ax-mp 5 . . . . 5  |-  (  _I  |`  { z  e.  om  |  ph } )  e. 
_V
9 foeq1 5435 . . . . 5  |-  ( f  =  (  _I  |`  { z  e.  om  |  ph } )  ->  (
f : { z  e.  om  |  ph } -onto-> { z  e.  om  |  ph }  <->  (  _I  |` 
{ z  e.  om  |  ph } ) : { z  e.  om  |  ph } -onto-> { z  e.  om  |  ph } ) )
108, 9spcev 2833 . . . 4  |-  ( (  _I  |`  { z  e.  om  |  ph }
) : { z  e.  om  |  ph } -onto-> { z  e.  om  |  ph }  ->  E. f 
f : { z  e.  om  |  ph } -onto-> { z  e.  om  |  ph } )
112, 3, 10mp2b 8 . . 3  |-  E. f 
f : { z  e.  om  |  ph } -onto-> { z  e.  om  |  ph }
12 simpr 110 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  { z  e.  om  |  ph }  /\  y  =  {
z  e.  om  |  ph } )  ->  y  =  { z  e.  om  |  ph } )
1312sseq1d 3185 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  { z  e.  om  |  ph }  /\  y  =  {
z  e.  om  |  ph } )  ->  (
y  C_  om  <->  { z  e.  om  |  ph }  C_ 
om ) )
14 eqidd 2178 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  { z  e.  om  |  ph }  /\  y  =  {
z  e.  om  |  ph } )  ->  f  =  f )
15 simpl 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  { z  e.  om  |  ph }  /\  y  =  {
z  e.  om  |  ph } )  ->  x  =  { z  e.  om  |  ph } )
1614, 12, 15foeq123d 5455 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  { z  e.  om  |  ph }  /\  y  =  {
z  e.  om  |  ph } )  ->  (
f : y -onto-> x  <-> 
f : { z  e.  om  |  ph } -onto-> { z  e.  om  |  ph } ) )
1716exbidv 1825 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  { z  e.  om  |  ph }  /\  y  =  {
z  e.  om  |  ph } )  ->  ( E. f  f :
y -onto-> x  <->  E. f  f : { z  e.  om  |  ph } -onto-> { z  e.  om  |  ph } ) )
1813, 17anbi12d 473 . . . . 5  |-  ( ( x  =  { z  e.  om  |  ph }  /\  y  =  {
z  e.  om  |  ph } )  ->  (
( y  C_  om  /\  E. f  f : y
-onto-> x )  <->  ( {
z  e.  om  |  ph }  C_  om  /\  E. f  f : {
z  e.  om  |  ph } -onto-> { z  e.  om  |  ph } ) ) )
19 djueq1 7039 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { z  e. 
om  |  ph }  ->  ( x 1o )  =  ( { z  e.  om  |  ph } 1o ) )
20 foeq3 5437 . . . . . . 7  |-  ( ( x 1o )  =  ( { z  e.  om  |  ph } 1o )  ->  ( f : om -onto->
( x 1o )  <->  f : om -onto-> ( { z  e.  om  |  ph } 1o ) ) )
2115, 19, 203syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  { z  e.  om  |  ph }  /\  y  =  {
z  e.  om  |  ph } )  ->  (
f : om -onto-> (
x 1o )  <->  f : om -onto-> ( { z  e.  om  |  ph } 1o ) ) )
2221exbidv 1825 . . . . 5  |-  ( ( x  =  { z  e.  om  |  ph }  /\  y  =  {
z  e.  om  |  ph } )  ->  ( E. f  f : om -onto-> ( x 1o ) 
<->  E. f  f : om -onto-> ( { z  e.  om  |  ph } 1o ) ) )
2318, 22imbi12d 234 . . . 4  |-  ( ( x  =  { z  e.  om  |  ph }  /\  y  =  {
z  e.  om  |  ph } )  ->  (
( ( y  C_  om 
/\  E. f  f : y -onto-> x )  ->  E. f  f : om -onto-> ( x 1o ) )  <->  ( ( { z  e.  om  |  ph }  C_  om  /\  E. f  f : {
z  e.  om  |  ph } -onto-> { z  e.  om  |  ph } )  ->  E. f  f : om -onto-> ( { z  e.  om  |  ph } 1o ) ) ) )
24 ctssexmid.1 . . . 4  |-  ( ( y  C_  om  /\  E. f  f : y
-onto-> x )  ->  E. f 
f : om -onto-> (
x 1o ) )
256, 6, 23, 24vtocl2 2793 . . 3  |-  ( ( { z  e.  om  |  ph }  C_  om  /\  E. f  f : {
z  e.  om  |  ph } -onto-> { z  e.  om  |  ph } )  ->  E. f  f : om -onto-> ( { z  e.  om  |  ph } 1o ) )
261, 11, 25mp2an 426 . 2  |-  E. f 
f : om -onto-> ( { z  e.  om  |  ph } 1o )
274a1i 9 . . . 4  |-  ( f : om -onto-> ( { z  e.  om  |  ph } 1o )  ->  om  e. Omni )
28 id 19 . . . 4  |-  ( f : om -onto-> ( { z  e.  om  |  ph } 1o )  ->  f : om -onto-> ( { z  e.  om  |  ph } 1o ) )
2927, 28fodjuomni 7147 . . 3  |-  ( f : om -onto-> ( { z  e.  om  |  ph } 1o )  ->  ( E. w  w  e.  { z  e.  om  |  ph }  \/  { z  e.  om  |  ph }  =  (/) ) )
3029exlimiv 1598 . 2  |-  ( E. f  f : om -onto->
( { z  e. 
om  |  ph } 1o )  ->  ( E. w  w  e.  { z  e.  om  |  ph }  \/  { z  e.  om  |  ph }  =  (/) ) )
31 biidd 172 . . . . . 6  |-  ( z  =  w  ->  ( ph 
<-> 
ph ) )
3231elrab 2894 . . . . 5  |-  ( w  e.  { z  e. 
om  |  ph }  <->  ( w  e.  om  /\  ph ) )
3332simprbi 275 . . . 4  |-  ( w  e.  { z  e. 
om  |  ph }  ->  ph )
3433exlimiv 1598 . . 3  |-  ( E. w  w  e.  {
z  e.  om  |  ph }  ->  ph )
35 rabeq0 3453 . . . 4  |-  ( { z  e.  om  |  ph }  =  (/)  <->  A. z  e.  om  -.  ph )
36 peano1 4594 . . . . 5  |-  (/)  e.  om
37 elex2 2754 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  om  ->  E. u  u  e.  om )
38 r19.3rmv 3514 . . . . 5  |-  ( E. u  u  e.  om  ->  ( -.  ph  <->  A. z  e.  om  -.  ph )
)
3936, 37, 38mp2b 8 . . . 4  |-  ( -. 
ph 
<-> 
A. z  e.  om  -.  ph )
4035, 39sylbb2 138 . . 3  |-  ( { z  e.  om  |  ph }  =  (/)  ->  -.  ph )
4134, 40orim12i 759 . 2  |-  ( ( E. w  w  e. 
{ z  e.  om  |  ph }  \/  {
z  e.  om  |  ph }  =  (/) )  -> 
( ph  \/  -.  ph ) )
4226, 30, 41mp2b 8 1  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 708    = wceq 1353   E.wex 1492    e. wcel 2148   A.wral 2455   {crab 2459   _Vcvv 2738    C_ wss 3130   (/)c0 3423    _I cid 4289   omcom 4590    |` cres 4629   -onto->wfo 5215   -1-1-onto->wf1o 5216   1oc1o 6410   ⊔ cdju 7036  Omnicomni 7132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-1o 6417  df-2o 6418  df-map 6650  df-dju 7037  df-inl 7046  df-inr 7047  df-omni 7133
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator