Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ctssexmid Unicode version

Theorem ctssexmid 6990
 Description: The decidability condition in ctssdc 6964 is needed. More specifically, ctssdc 6964 minus that condition, plus the Limited Principle of Omniscience (LPO), implies excluded middle. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ctssexmid.1
ctssexmid.lpo Omni
Assertion
Ref Expression
ctssexmid
Distinct variable group:   ,,,

Proof of Theorem ctssexmid
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3150 . . 3
2 f1oi 5371 . . . 4
3 f1ofo 5340 . . . 4
4 ctssexmid.lpo . . . . . . . 8 Omni
54elexi 2670 . . . . . . 7
65rabex 4040 . . . . . 6
7 resiexg 4832 . . . . . 6
86, 7ax-mp 5 . . . . 5
9 foeq1 5309 . . . . 5
108, 9spcev 2752 . . . 4
112, 3, 10mp2b 8 . . 3
12 simpr 109 . . . . . . 7
1312sseq1d 3094 . . . . . 6
14 eqidd 2116 . . . . . . . 8
15 simpl 108 . . . . . . . 8
1614, 12, 15foeq123d 5329 . . . . . . 7
1716exbidv 1779 . . . . . 6
1813, 17anbi12d 462 . . . . 5
19 djueq1 6891 . . . . . . 7
20 foeq3 5311 . . . . . . 7
2115, 19, 203syl 17 . . . . . 6
2221exbidv 1779 . . . . 5
2318, 22imbi12d 233 . . . 4
24 ctssexmid.1 . . . 4
256, 6, 23, 24vtocl2 2713 . . 3
261, 11, 25mp2an 420 . 2
274a1i 9 . . . 4 Omni
28 id 19 . . . 4
2927, 28fodjuomni 6987 . . 3
3029exlimiv 1560 . 2
31 biidd 171 . . . . . 6
3231elrab 2811 . . . . 5
3332simprbi 271 . . . 4
3433exlimiv 1560 . . 3
35 rabeq0 3360 . . . 4
36 peano1 4476 . . . . 5
37 elex2 2674 . . . . 5
38 r19.3rmv 3421 . . . . 5
3936, 37, 38mp2b 8 . . . 4
4035, 39sylbb2 137 . . 3
4134, 40orim12i 731 . 2
4226, 30, 41mp2b 8 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 103   wb 104   wo 680   wceq 1314  wex 1451   wcel 1463  wral 2391  crab 2395  cvv 2658   wss 3039  c0 3331   cid 4178  com 4472   cres 4509  wfo 5089  wf1o 5090  c1o 6272   ⊔ cdju 6888  Omnicomni 6970 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-1o 6279  df-2o 6280  df-map 6510  df-dju 6889  df-inl 6898  df-inr 6899  df-omni 6972 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator