Theorem ctssexmid 7095

Description: The decidability condition in ctssdc 7059 is needed. More specifically, ctssdc 7059 minus that condition, plus the Limited Principle of Omniscience (LPO), implies excluded middle. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ctssexmid.1	|- ( ( y C_ om /\ E. f f : y -onto-> x ) -> E. f f : om -onto-> ( x ⊔ 1o ) )
ctssexmid.lpo	|- om e. Omni

Assertion

Ref	Expression
ctssexmid	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable group:   ph, f, x, y

Proof of Theorem ctssexmid

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3213	. . 3 |- { z e. om | ph } C_ om
2		f1oi 5454	. . . 4 |- ( _I |` { z e. om | ph } ) : { z e. om | ph } -1-1-onto-> { z e. om | ph }
3		f1ofo 5423	. . . 4 |- ( ( _I |` { z e. om | ph } ) : { z e. om | ph } -1-1-onto-> { z e. om | ph } -> ( _I |` { z e. om | ph } ) : { z e. om | ph } -onto-> { z e. om | ph } )
4		ctssexmid.lpo	. . . . . . . 8 |- om e. Omni
5	4	elexi 2724	. . . . . . 7 |- om e. _V
6	5	rabex 4110	. . . . . 6 |- { z e. om | ph } e. _V
7		resiexg 4913	. . . . . 6 |- ( { z e. om | ph } e. _V -> ( _I |` { z e. om | ph } ) e. _V )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( _I |` { z e. om | ph } ) e. _V
9		foeq1 5390	. . . . 5 |- ( f = ( _I |` { z e. om | ph } ) -> ( f : { z e. om | ph } -onto-> { z e. om | ph } <-> ( _I |` { z e. om | ph } ) : { z e. om | ph } -onto-> { z e. om | ph } ) )
10	8, 9	spcev 2807	. . . 4 |- ( ( _I |` { z e. om | ph } ) : { z e. om | ph } -onto-> { z e. om | ph } -> E. f f : { z e. om | ph } -onto-> { z e. om | ph } )
11	2, 3, 10	mp2b 8	. . 3 |- E. f f : { z e. om | ph } -onto-> { z e. om | ph }
12		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( x = { z e. om | ph } /\ y = { z e. om | ph } ) -> y = { z e. om | ph } )
13	12	sseq1d 3157	. . . . . 6 |- ( ( x = { z e. om | ph } /\ y = { z e. om | ph } ) -> ( y C_ om <-> { z e. om | ph } C_ om ) )
14		eqidd 2158	. . . . . . . 8 |- ( ( x = { z e. om | ph } /\ y = { z e. om | ph } ) -> f = f )
15		simpl 108	. . . . . . . 8 |- ( ( x = { z e. om | ph } /\ y = { z e. om | ph } ) -> x = { z e. om | ph } )
16	14, 12, 15	foeq123d 5410	. . . . . . 7 |- ( ( x = { z e. om | ph } /\ y = { z e. om | ph } ) -> ( f : y -onto-> x <-> f : { z e. om | ph } -onto-> { z e. om | ph } ) )
17	16	exbidv 1805	. . . . . 6 |- ( ( x = { z e. om | ph } /\ y = { z e. om | ph } ) -> ( E. f f : y -onto-> x <-> E. f f : { z e. om | ph } -onto-> { z e. om | ph } ) )
18	13, 17	anbi12d 465	. . . . 5 |- ( ( x = { z e. om | ph } /\ y = { z e. om | ph } ) -> ( ( y C_ om /\ E. f f : y -onto-> x ) <-> ( { z e. om | ph } C_ om /\ E. f f : { z e. om | ph } -onto-> { z e. om | ph } ) ) )
19		djueq1 6986	. . . . . . 7 |- ( x = { z e. om | ph } -> ( x ⊔ 1o ) = ( { z e. om | ph } ⊔ 1o ) )
20		foeq3 5392	. . . . . . 7 |- ( ( x ⊔ 1o ) = ( { z e. om | ph } ⊔ 1o ) -> ( f : om -onto-> ( x ⊔ 1o ) <-> f : om -onto-> ( { z e. om | ph } ⊔ 1o ) ) )
21	15, 19, 20	3syl 17	. . . . . 6 |- ( ( x = { z e. om | ph } /\ y = { z e. om | ph } ) -> ( f : om -onto-> ( x ⊔ 1o ) <-> f : om -onto-> ( { z e. om | ph } ⊔ 1o ) ) )
22	21	exbidv 1805	. . . . 5 |- ( ( x = { z e. om | ph } /\ y = { z e. om | ph } ) -> ( E. f f : om -onto-> ( x ⊔ 1o ) <-> E. f f : om -onto-> ( { z e. om | ph } ⊔ 1o ) ) )
23	18, 22	imbi12d 233	. . . 4 |- ( ( x = { z e. om | ph } /\ y = { z e. om | ph } ) -> ( ( ( y C_ om /\ E. f f : y -onto-> x ) -> E. f f : om -onto-> ( x ⊔ 1o ) ) <-> ( ( { z e. om | ph } C_ om /\ E. f f : { z e. om | ph } -onto-> { z e. om | ph } ) -> E. f f : om -onto-> ( { z e. om | ph } ⊔ 1o ) ) ) )
24		ctssexmid.1	. . . 4 |- ( ( y C_ om /\ E. f f : y -onto-> x ) -> E. f f : om -onto-> ( x ⊔ 1o ) )
25	6, 6, 23, 24	vtocl2 2767	. . 3 |- ( ( { z e. om | ph } C_ om /\ E. f f : { z e. om | ph } -onto-> { z e. om | ph } ) -> E. f f : om -onto-> ( { z e. om | ph } ⊔ 1o ) )
26	1, 11, 25	mp2an 423	. 2 |- E. f f : om -onto-> ( { z e. om | ph } ⊔ 1o )
27	4	a1i 9	. . . 4 |- ( f : om -onto-> ( { z e. om | ph } ⊔ 1o ) -> om e. Omni )
28		id 19	. . . 4 |- ( f : om -onto-> ( { z e. om | ph } ⊔ 1o ) -> f : om -onto-> ( { z e. om | ph } ⊔ 1o ) )
29	27, 28	fodjuomni 7094	. . 3 |- ( f : om -onto-> ( { z e. om | ph } ⊔ 1o ) -> ( E. w w e. { z e. om | ph } \/ { z e. om | ph } = (/) ) )
30	29	exlimiv 1578	. 2 |- ( E. f f : om -onto-> ( { z e. om | ph } ⊔ 1o ) -> ( E. w w e. { z e. om | ph } \/ { z e. om | ph } = (/) ) )
31		biidd 171	. . . . . 6 |- ( z = w -> ( ph <-> ph ) )
32	31	elrab 2868	. . . . 5 |- ( w e. { z e. om | ph } <-> ( w e. om /\ ph ) )
33	32	simprbi 273	. . . 4 |- ( w e. { z e. om | ph } -> ph )
34	33	exlimiv 1578	. . 3 |- ( E. w w e. { z e. om | ph } -> ph )
35		rabeq0 3424	. . . 4 |- ( { z e. om | ph } = (/) <-> A. z e. om -. ph )
36		peano1 4555	. . . . 5 |- (/) e. om
37		elex2 2728	. . . . 5 |- ( (/) e. om -> E. u u e. om )
38		r19.3rmv 3485	. . . . 5 |- ( E. u u e. om -> ( -. ph <-> A. z e. om -. ph ) )
39	36, 37, 38	mp2b 8	. . . 4 |- ( -. ph <-> A. z e. om -. ph )
40	35, 39	sylbb2 137	. . 3 |- ( { z e. om | ph } = (/) -> -. ph )
41	34, 40	orim12i 749	. 2 |- ( ( E. w w e. { z e. om | ph } \/ { z e. om | ph } = (/) ) -> ( ph \/ -. ph ) )
42	26, 30, 41	mp2b 8	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   = wceq 1335   E.wex 1472   e. wcel 2128   A.wral 2435   {crab 2439   _Vcvv 2712   C_ wss 3102   (/)c0 3395   _I cid 4250   omcom 4551   |` cres 4590   -onto->wfo 5170   -1-1-onto->wf1o 5171   1oc1o 6358   ⊔ cdju 6983  Omnicomni 7079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-nul 4092  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-if 3507  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-br 3968  df-opab 4028  df-mpt 4029  df-tr 4065  df-id 4255  df-iord 4328  df-on 4330  df-suc 4333  df-iom 4552  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176  df-f1 5177  df-fo 5178  df-f1o 5179  df-fv 5180  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-1st 6090  df-2nd 6091  df-1o 6365  df-2o 6366  df-map 6597  df-dju 6984  df-inl 6993  df-inr 6994  df-omni 7080

This theorem is referenced by: (None)