ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ctssexmid Unicode version

Theorem ctssexmid 6990
Description: The decidability condition in ctssdc 6964 is needed. More specifically, ctssdc 6964 minus that condition, plus the Limited Principle of Omniscience (LPO), implies excluded middle. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ctssexmid.1  |-  ( ( y  C_  om  /\  E. f  f : y
-onto-> x )  ->  E. f 
f : om -onto-> (
x 1o ) )
ctssexmid.lpo  |-  om  e. Omni
Assertion
Ref Expression
ctssexmid  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Distinct variable group:    ph, f, x, y

Proof of Theorem ctssexmid
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3150 . . 3  |-  { z  e.  om  |  ph }  C_  om
2 f1oi 5371 . . . 4  |-  (  _I  |`  { z  e.  om  |  ph } ) : { z  e.  om  |  ph } -1-1-onto-> { z  e.  om  |  ph }
3 f1ofo 5340 . . . 4  |-  ( (  _I  |`  { z  e.  om  |  ph }
) : { z  e.  om  |  ph }
-1-1-onto-> { z  e.  om  |  ph }  ->  (  _I  |`  { z  e. 
om  |  ph }
) : { z  e.  om  |  ph } -onto-> { z  e.  om  |  ph } )
4 ctssexmid.lpo . . . . . . . 8  |-  om  e. Omni
54elexi 2670 . . . . . . 7  |-  om  e.  _V
65rabex 4040 . . . . . 6  |-  { z  e.  om  |  ph }  e.  _V
7 resiexg 4832 . . . . . 6  |-  ( { z  e.  om  |  ph }  e.  _V  ->  (  _I  |`  { z  e.  om  |  ph }
)  e.  _V )
86, 7ax-mp 5 . . . . 5  |-  (  _I  |`  { z  e.  om  |  ph } )  e. 
_V
9 foeq1 5309 . . . . 5  |-  ( f  =  (  _I  |`  { z  e.  om  |  ph } )  ->  (
f : { z  e.  om  |  ph } -onto-> { z  e.  om  |  ph }  <->  (  _I  |` 
{ z  e.  om  |  ph } ) : { z  e.  om  |  ph } -onto-> { z  e.  om  |  ph } ) )
108, 9spcev 2752 . . . 4  |-  ( (  _I  |`  { z  e.  om  |  ph }
) : { z  e.  om  |  ph } -onto-> { z  e.  om  |  ph }  ->  E. f 
f : { z  e.  om  |  ph } -onto-> { z  e.  om  |  ph } )
112, 3, 10mp2b 8 . . 3  |-  E. f 
f : { z  e.  om  |  ph } -onto-> { z  e.  om  |  ph }
12 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  { z  e.  om  |  ph }  /\  y  =  {
z  e.  om  |  ph } )  ->  y  =  { z  e.  om  |  ph } )
1312sseq1d 3094 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  { z  e.  om  |  ph }  /\  y  =  {
z  e.  om  |  ph } )  ->  (
y  C_  om  <->  { z  e.  om  |  ph }  C_ 
om ) )
14 eqidd 2116 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  { z  e.  om  |  ph }  /\  y  =  {
z  e.  om  |  ph } )  ->  f  =  f )
15 simpl 108 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  { z  e.  om  |  ph }  /\  y  =  {
z  e.  om  |  ph } )  ->  x  =  { z  e.  om  |  ph } )
1614, 12, 15foeq123d 5329 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  { z  e.  om  |  ph }  /\  y  =  {
z  e.  om  |  ph } )  ->  (
f : y -onto-> x  <-> 
f : { z  e.  om  |  ph } -onto-> { z  e.  om  |  ph } ) )
1716exbidv 1779 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  { z  e.  om  |  ph }  /\  y  =  {
z  e.  om  |  ph } )  ->  ( E. f  f :
y -onto-> x  <->  E. f  f : { z  e.  om  |  ph } -onto-> { z  e.  om  |  ph } ) )
1813, 17anbi12d 462 . . . . 5  |-  ( ( x  =  { z  e.  om  |  ph }  /\  y  =  {
z  e.  om  |  ph } )  ->  (
( y  C_  om  /\  E. f  f : y
-onto-> x )  <->  ( {
z  e.  om  |  ph }  C_  om  /\  E. f  f : {
z  e.  om  |  ph } -onto-> { z  e.  om  |  ph } ) ) )
19 djueq1 6891 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { z  e. 
om  |  ph }  ->  ( x 1o )  =  ( { z  e.  om  |  ph } 1o ) )
20 foeq3 5311 . . . . . . 7  |-  ( ( x 1o )  =  ( { z  e.  om  |  ph } 1o )  ->  ( f : om -onto->
( x 1o )  <->  f : om -onto-> ( { z  e.  om  |  ph } 1o ) ) )
2115, 19, 203syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  { z  e.  om  |  ph }  /\  y  =  {
z  e.  om  |  ph } )  ->  (
f : om -onto-> (
x 1o )  <->  f : om -onto-> ( { z  e.  om  |  ph } 1o ) ) )
2221exbidv 1779 . . . . 5  |-  ( ( x  =  { z  e.  om  |  ph }  /\  y  =  {
z  e.  om  |  ph } )  ->  ( E. f  f : om -onto-> ( x 1o ) 
<->  E. f  f : om -onto-> ( { z  e.  om  |  ph } 1o ) ) )
2318, 22imbi12d 233 . . . 4  |-  ( ( x  =  { z  e.  om  |  ph }  /\  y  =  {
z  e.  om  |  ph } )  ->  (
( ( y  C_  om 
/\  E. f  f : y -onto-> x )  ->  E. f  f : om -onto-> ( x 1o ) )  <->  ( ( { z  e.  om  |  ph }  C_  om  /\  E. f  f : {
z  e.  om  |  ph } -onto-> { z  e.  om  |  ph } )  ->  E. f  f : om -onto-> ( { z  e.  om  |  ph } 1o ) ) ) )
24 ctssexmid.1 . . . 4  |-  ( ( y  C_  om  /\  E. f  f : y
-onto-> x )  ->  E. f 
f : om -onto-> (
x 1o ) )
256, 6, 23, 24vtocl2 2713 . . 3  |-  ( ( { z  e.  om  |  ph }  C_  om  /\  E. f  f : {
z  e.  om  |  ph } -onto-> { z  e.  om  |  ph } )  ->  E. f  f : om -onto-> ( { z  e.  om  |  ph } 1o ) )
261, 11, 25mp2an 420 . 2  |-  E. f 
f : om -onto-> ( { z  e.  om  |  ph } 1o )
274a1i 9 . . . 4  |-  ( f : om -onto-> ( { z  e.  om  |  ph } 1o )  ->  om  e. Omni )
28 id 19 . . . 4  |-  ( f : om -onto-> ( { z  e.  om  |  ph } 1o )  ->  f : om -onto-> ( { z  e.  om  |  ph } 1o ) )
2927, 28fodjuomni 6987 . . 3  |-  ( f : om -onto-> ( { z  e.  om  |  ph } 1o )  ->  ( E. w  w  e.  { z  e.  om  |  ph }  \/  { z  e.  om  |  ph }  =  (/) ) )
3029exlimiv 1560 . 2  |-  ( E. f  f : om -onto->
( { z  e. 
om  |  ph } 1o )  ->  ( E. w  w  e.  { z  e.  om  |  ph }  \/  { z  e.  om  |  ph }  =  (/) ) )
31 biidd 171 . . . . . 6  |-  ( z  =  w  ->  ( ph 
<-> 
ph ) )
3231elrab 2811 . . . . 5  |-  ( w  e.  { z  e. 
om  |  ph }  <->  ( w  e.  om  /\  ph ) )
3332simprbi 271 . . . 4  |-  ( w  e.  { z  e. 
om  |  ph }  ->  ph )
3433exlimiv 1560 . . 3  |-  ( E. w  w  e.  {
z  e.  om  |  ph }  ->  ph )
35 rabeq0 3360 . . . 4  |-  ( { z  e.  om  |  ph }  =  (/)  <->  A. z  e.  om  -.  ph )
36 peano1 4476 . . . . 5  |-  (/)  e.  om
37 elex2 2674 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  om  ->  E. u  u  e.  om )
38 r19.3rmv 3421 . . . . 5  |-  ( E. u  u  e.  om  ->  ( -.  ph  <->  A. z  e.  om  -.  ph )
)
3936, 37, 38mp2b 8 . . . 4  |-  ( -. 
ph 
<-> 
A. z  e.  om  -.  ph )
4035, 39sylbb2 137 . . 3  |-  ( { z  e.  om  |  ph }  =  (/)  ->  -.  ph )
4134, 40orim12i 731 . 2  |-  ( ( E. w  w  e. 
{ z  e.  om  |  ph }  \/  {
z  e.  om  |  ph }  =  (/) )  -> 
( ph  \/  -.  ph ) )
4226, 30, 41mp2b 8 1  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 680    = wceq 1314   E.wex 1451    e. wcel 1463   A.wral 2391   {crab 2395   _Vcvv 2658    C_ wss 3039   (/)c0 3331    _I cid 4178   omcom 4472    |` cres 4509   -onto->wfo 5089   -1-1-onto->wf1o 5090   1oc1o 6272   ⊔ cdju 6888  Omnicomni 6970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-1o 6279  df-2o 6280  df-map 6510  df-dju 6889  df-inl 6898  df-inr 6899  df-omni 6972
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator