Theorem rabeq0 3524

Description: Condition for a restricted class abstraction to be empty. (Contributed by Jeff Madsen, 7-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
rabeq0	⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑)

Proof of Theorem rabeq0

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imnan 696	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝜑) ↔ ¬ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
2	1	albii 1518	. 2 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝜑) ↔ ∀𝑥 ¬ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
3		df-ral 2515	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝜑))
4		sbn 2005	. . . 4 ⊢ ([𝑦 / 𝑥] ¬ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ↔ ¬ [𝑦 / 𝑥](𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
5	4	albii 1518	. . 3 ⊢ (∀𝑦[𝑦 / 𝑥] ¬ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ↔ ∀𝑦 ¬ [𝑦 / 𝑥](𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
6		nfv 1576	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦 ¬ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)
7	6	sb8 1904	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ¬ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ↔ ∀𝑦[𝑦 / 𝑥] ¬ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
8		eq0 3513	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} = ∅ ↔ ∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑})
9		df-rab 2519	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)}
10	9	eleq2i 2298	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ↔ 𝑦 ∈ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)})
11		df-clab 2218	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ↔ [𝑦 / 𝑥](𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
12	10, 11	bitri 184	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ↔ [𝑦 / 𝑥](𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
13	12	notbii 674	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ↔ ¬ [𝑦 / 𝑥](𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
14	13	albii 1518	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ↔ ∀𝑦 ¬ [𝑦 / 𝑥](𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
15	8, 14	bitri 184	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} = ∅ ↔ ∀𝑦 ¬ [𝑦 / 𝑥](𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
16	5, 7, 15	3bitr4ri 213	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
17	2, 3, 16	3bitr4ri 213	1 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∀wal 1395   = wceq 1397  [wsb 1810   ∈ wcel 2202  {cab 2217  ∀wral 2510  {crab 2514  ∅c0 3494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-nul 3495

This theorem is referenced by:  rabnc  3527  rabrsndc  3739  exmidsssnc  4293  ssfilem  7061  ssfilemd  7063  diffitest  7075  ssfirab  7128  ctssexmid  7348  exmidonfinlem  7403  iooidg  10143  icc0r  10160  fznlem  10275  ioo0  10518  ico0  10520  ioc0  10521  phiprmpw  12793  hashgcdeq  12811  unennn  13017  znnen  13018  fczpsrbag  14684  lgsquadlem2  15806  pw0ss  15933  umgrnloop0  15967  lfgrnloopen  15983  vtxd0nedgbfi  16149  clwwlkn0  16258