Theorem rabeq0 3358

Description: Condition for a restricted class abstraction to be empty. (Contributed by Jeff Madsen, 7-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
rabeq0	⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑)

Proof of Theorem rabeq0

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imnan 662	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝜑) ↔ ¬ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
2	1	albii 1429	. 2 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝜑) ↔ ∀𝑥 ¬ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
3		df-ral 2395	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝜑))
4		sbn 1901	. . . 4 ⊢ ([𝑦 / 𝑥] ¬ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ↔ ¬ [𝑦 / 𝑥](𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
5	4	albii 1429	. . 3 ⊢ (∀𝑦[𝑦 / 𝑥] ¬ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ↔ ∀𝑦 ¬ [𝑦 / 𝑥](𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
6		nfv 1491	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦 ¬ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)
7	6	sb8 1810	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ¬ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ↔ ∀𝑦[𝑦 / 𝑥] ¬ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
8		eq0 3347	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} = ∅ ↔ ∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑})
9		df-rab 2399	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)}
10	9	eleq2i 2181	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ↔ 𝑦 ∈ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)})
11		df-clab 2102	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ↔ [𝑦 / 𝑥](𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
12	10, 11	bitri 183	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ↔ [𝑦 / 𝑥](𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
13	12	notbii 640	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ↔ ¬ [𝑦 / 𝑥](𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
14	13	albii 1429	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ↔ ∀𝑦 ¬ [𝑦 / 𝑥](𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
15	8, 14	bitri 183	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} = ∅ ↔ ∀𝑦 ¬ [𝑦 / 𝑥](𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
16	5, 7, 15	3bitr4ri 212	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
17	2, 3, 16	3bitr4ri 212	1 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104  ∀wal 1312   = wceq 1314   ∈ wcel 1463  [wsb 1718  {cab 2101  ∀wral 2390  {crab 2394  ∅c0 3329

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ral 2395  df-rab 2399  df-v 2659  df-dif 3039  df-nul 3330

This theorem is referenced by:  rabnc  3361  rabrsndc  3557  exmidsssnc  4086  ssfilem  6722  diffitest  6734  ssfirab  6774  ctssexmid  6974  iooidg  9585  icc0r  9602  fznlem  9714  ioo0  9930  ico0  9932  ioc0  9933  phiprmpw  11743  hashgcdeq  11749  unennn  11755  znnen  11756