Theorem isnsg 13067

Description: Property of being a normal subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isnsg.1	|- X = ( Base ` G )
isnsg.2	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
isnsg	|- ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, G   x, .+ , y   x, S, y   x, X, y

Proof of Theorem isnsg

Dummy variables g b p s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nsg 13036	. . 3 |- NrmSGrp = ( g e. Grp |-> { s e. (SubGrp ` g ) | [. ( Base ` g ) / b ]. [. ( +g ` g ) / p ]. A. x e. b A. y e. b ( ( x p y ) e. s <-> ( y p x ) e. s ) } )
2	1	mptrcl 5600	. 2 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) -> G e. Grp )
3		subgrcl 13044	. . 3 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )
4	3	adantr 276	. 2 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) ) -> G e. Grp )
5		fveq2 5517	. . . . . 6 |- ( g = G -> (SubGrp ` g ) = (SubGrp ` G ) )
6		basfn 12522	. . . . . . . . . 10 |- Base Fn _V
7		funfvex 5534	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun Base /\ g e. dom Base ) -> ( Base ` g ) e. _V )
8	7	funfni 5318	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Base Fn _V /\ g e. _V ) -> ( Base ` g ) e. _V )
9	6, 8	mpan 424	. . . . . . . . 9 |- ( g e. _V -> ( Base ` g ) e. _V )
10	9	elv 2743	. . . . . . . 8 |- ( Base ` g ) e. _V
11	10	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( g = G -> ( Base ` g ) e. _V )
12		fveq2 5517	. . . . . . . 8 |- ( g = G -> ( Base ` g ) = ( Base ` G ) )
13		isnsg.1	. . . . . . . 8 |- X = ( Base ` G )
14	12, 13	eqtr4di 2228	. . . . . . 7 |- ( g = G -> ( Base ` g ) = X )
15		plusgslid 12573	. . . . . . . . . . 11 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
16	15	slotex 12491	. . . . . . . . . 10 |- ( g e. _V -> ( +g ` g ) e. _V )
17	16	elv 2743	. . . . . . . . 9 |- ( +g ` g ) e. _V
18	17	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( g = G /\ b = X ) -> ( +g ` g ) e. _V )
19		simpl 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g = G /\ b = X ) -> g = G )
20	19	fveq2d 5521	. . . . . . . . 9 |- ( ( g = G /\ b = X ) -> ( +g ` g ) = ( +g ` G ) )
21		isnsg.2	. . . . . . . . 9 |- .+ = ( +g ` G )
22	20, 21	eqtr4di 2228	. . . . . . . 8 |- ( ( g = G /\ b = X ) -> ( +g ` g ) = .+ )
23		simplr 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> b = X )
24		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> p = .+ )
25	24	oveqd 5894	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> ( x p y ) = ( x .+ y ) )
26	25	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> ( ( x p y ) e. s <-> ( x .+ y ) e. s ) )
27	24	oveqd 5894	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> ( y p x ) = ( y .+ x ) )
28	27	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> ( ( y p x ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) )
29	26, 28	bibi12d 235	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> ( ( ( x p y ) e. s <-> ( y p x ) e. s ) <-> ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) ) )
30	23, 29	raleqbidv 2685	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> ( A. y e. b ( ( x p y ) e. s <-> ( y p x ) e. s ) <-> A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) ) )
31	23, 30	raleqbidv 2685	. . . . . . . 8 |- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> ( A. x e. b A. y e. b ( ( x p y ) e. s <-> ( y p x ) e. s ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) ) )
32	18, 22, 31	sbcied2 3002	. . . . . . 7 |- ( ( g = G /\ b = X ) -> ( [. ( +g ` g ) / p ]. A. x e. b A. y e. b ( ( x p y ) e. s <-> ( y p x ) e. s ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) ) )
33	11, 14, 32	sbcied2 3002	. . . . . 6 |- ( g = G -> ( [. ( Base ` g ) / b ]. [. ( +g ` g ) / p ]. A. x e. b A. y e. b ( ( x p y ) e. s <-> ( y p x ) e. s ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) ) )
34	5, 33	rabeqbidv 2734	. . . . 5 |- ( g = G -> { s e. (SubGrp ` g ) | [. ( Base ` g ) / b ]. [. ( +g ` g ) / p ]. A. x e. b A. y e. b ( ( x p y ) e. s <-> ( y p x ) e. s ) } = { s e. (SubGrp ` G ) | A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) } )
35		id 19	. . . . 5 |- ( G e. Grp -> G e. Grp )
36		subgex 13041	. . . . . 6 |- ( G e. Grp -> (SubGrp ` G ) e. _V )
37		rabexg 4148	. . . . . 6 |- ( (SubGrp ` G ) e. _V -> { s e. (SubGrp ` G ) | A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) } e. _V )
38	36, 37	syl 14	. . . . 5 |- ( G e. Grp -> { s e. (SubGrp ` G ) | A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) } e. _V )
39	1, 34, 35, 38	fvmptd3 5611	. . . 4 |- ( G e. Grp -> (NrmSGrp ` G ) = { s e. (SubGrp ` G ) | A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) } )
40	39	eleq2d 2247	. . 3 |- ( G e. Grp -> ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> S e. { s e. (SubGrp ` G ) | A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) } ) )
41		eleq2 2241	. . . . . 6 |- ( s = S -> ( ( x .+ y ) e. s <-> ( x .+ y ) e. S ) )
42		eleq2 2241	. . . . . 6 |- ( s = S -> ( ( y .+ x ) e. s <-> ( y .+ x ) e. S ) )
43	41, 42	bibi12d 235	. . . . 5 |- ( s = S -> ( ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) <-> ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) ) )
44	43	2ralbidv 2501	. . . 4 |- ( s = S -> ( A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) ) )
45	44	elrab 2895	. . 3 |- ( S e. { s e. (SubGrp ` G ) | A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) } <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) ) )
46	40, 45	bitrdi 196	. 2 |- ( G e. Grp -> ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) ) ) )
47	2, 4, 46	pm5.21nii 704	1 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   {crab 2459   _Vcvv 2739   [.wsbc 2964   Fn wfn 5213   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   Basecbs 12464   +g cplusg 12538   Grpcgrp 12882  SubGrpcsubg 13032  NrmSGrpcnsg 13033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1re 7907  ax-addrcl 7910

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226  df-ov 5880  df-inn 8922  df-2 8980  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-plusg 12551  df-subg 13035  df-nsg 13036

This theorem is referenced by:  isnsg2  13068  nsgbi  13069  nsgsubg  13070  isnsg4  13077  nmznsg  13078