Theorem isnsg 14064

Description: Property of being a normal subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isnsg.1	|- X = ( Base ` G )
isnsg.2	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
isnsg	|- ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, G   x, .+ , y   x, S, y   x, X, y

Proof of Theorem isnsg

Dummy variables g b p s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nsg 14033	. . 3 |- NrmSGrp = ( g e. Grp |-> { s e. (SubGrp ` g ) | [. ( Base ` g ) / b ]. [. ( +g ` g ) / p ]. A. x e. b A. y e. b ( ( x p y ) e. s <-> ( y p x ) e. s ) } )
2	1	mptrcl 5791	. 2 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) -> G e. Grp )
3		subgrcl 14041	. . 3 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )
4	3	adantr 276	. 2 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) ) -> G e. Grp )
5		fveq2 5698	. . . . . 6 |- ( g = G -> (SubGrp ` g ) = (SubGrp ` G ) )
6		basfn 13469	. . . . . . . . . 10 |- Base Fn _V
7		funfvex 5715	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun Base /\ g e. dom Base ) -> ( Base ` g ) e. _V )
8	7	funfni 5486	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Base Fn _V /\ g e. _V ) -> ( Base ` g ) e. _V )
9	6, 8	mpan 428	. . . . . . . . 9 |- ( g e. _V -> ( Base ` g ) e. _V )
10	9	elv 2825	. . . . . . . 8 |- ( Base ` g ) e. _V
11	10	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( g = G -> ( Base ` g ) e. _V )
12		fveq2 5698	. . . . . . . 8 |- ( g = G -> ( Base ` g ) = ( Base ` G ) )
13		isnsg.1	. . . . . . . 8 |- X = ( Base ` G )
14	12, 13	eqtr4di 2289	. . . . . . 7 |- ( g = G -> ( Base ` g ) = X )
15		plusgslid 13525	. . . . . . . . . . 11 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
16	15	slotex 13437	. . . . . . . . . 10 |- ( g e. _V -> ( +g ` g ) e. _V )
17	16	elv 2825	. . . . . . . . 9 |- ( +g ` g ) e. _V
18	17	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( g = G /\ b = X ) -> ( +g ` g ) e. _V )
19		simpl 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g = G /\ b = X ) -> g = G )
20	19	fveq2d 5702	. . . . . . . . 9 |- ( ( g = G /\ b = X ) -> ( +g ` g ) = ( +g ` G ) )
21		isnsg.2	. . . . . . . . 9 |- .+ = ( +g ` G )
22	20, 21	eqtr4di 2289	. . . . . . . 8 |- ( ( g = G /\ b = X ) -> ( +g ` g ) = .+ )
23		simplr 533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> b = X )
24		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> p = .+ )
25	24	oveqd 6105	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> ( x p y ) = ( x .+ y ) )
26	25	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> ( ( x p y ) e. s <-> ( x .+ y ) e. s ) )
27	24	oveqd 6105	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> ( y p x ) = ( y .+ x ) )
28	27	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> ( ( y p x ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) )
29	26, 28	bibi12d 235	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> ( ( ( x p y ) e. s <-> ( y p x ) e. s ) <-> ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) ) )
30	23, 29	raleqbidv 2765	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> ( A. y e. b ( ( x p y ) e. s <-> ( y p x ) e. s ) <-> A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) ) )
31	23, 30	raleqbidv 2765	. . . . . . . 8 |- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> ( A. x e. b A. y e. b ( ( x p y ) e. s <-> ( y p x ) e. s ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) ) )
32	18, 22, 31	sbcied2 3089	. . . . . . 7 |- ( ( g = G /\ b = X ) -> ( [. ( +g ` g ) / p ]. A. x e. b A. y e. b ( ( x p y ) e. s <-> ( y p x ) e. s ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) ) )
33	11, 14, 32	sbcied2 3089	. . . . . 6 |- ( g = G -> ( [. ( Base ` g ) / b ]. [. ( +g ` g ) / p ]. A. x e. b A. y e. b ( ( x p y ) e. s <-> ( y p x ) e. s ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) ) )
34	5, 33	rabeqbidv 2816	. . . . 5 |- ( g = G -> { s e. (SubGrp ` g ) | [. ( Base ` g ) / b ]. [. ( +g ` g ) / p ]. A. x e. b A. y e. b ( ( x p y ) e. s <-> ( y p x ) e. s ) } = { s e. (SubGrp ` G ) | A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) } )
35		id 19	. . . . 5 |- ( G e. Grp -> G e. Grp )
36		subgex 14038	. . . . . 6 |- ( G e. Grp -> (SubGrp ` G ) e. _V )
37		rabexg 4281	. . . . . 6 |- ( (SubGrp ` G ) e. _V -> { s e. (SubGrp ` G ) | A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) } e. _V )
38	36, 37	syl 14	. . . . 5 |- ( G e. Grp -> { s e. (SubGrp ` G ) | A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) } e. _V )
39	1, 34, 35, 38	fvmptd3 5802	. . . 4 |- ( G e. Grp -> (NrmSGrp ` G ) = { s e. (SubGrp ` G ) | A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) } )
40	39	eleq2d 2308	. . 3 |- ( G e. Grp -> ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> S e. { s e. (SubGrp ` G ) | A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) } ) )
41		eleq2 2302	. . . . . 6 |- ( s = S -> ( ( x .+ y ) e. s <-> ( x .+ y ) e. S ) )
42		eleq2 2302	. . . . . 6 |- ( s = S -> ( ( y .+ x ) e. s <-> ( y .+ x ) e. S ) )
43	41, 42	bibi12d 235	. . . . 5 |- ( s = S -> ( ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) <-> ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) ) )
44	43	2ralbidv 2574	. . . 4 |- ( s = S -> ( A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) ) )
45	44	elrab 2982	. . 3 |- ( S e. { s e. (SubGrp ` G ) | A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) } <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) ) )
46	40, 45	bitrdi 196	. 2 |- ( G e. Grp -> ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) ) ) )
47	2, 4, 46	pm5.21nii 716	1 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   {crab 2532   _Vcvv 2821   [.wsbc 3051   Fn wfn 5375   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Basecbs 13410   +g cplusg 13490   Grpcgrp 13864  SubGrpcsubg 14029  NrmSGrpcnsg 14030

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-fv 5388  df-ov 6091  df-inn 9314  df-2 9372  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-plusg 13503  df-subg 14032  df-nsg 14033

This theorem is used by:  isnsg2  14065  nsgbi  14066  nsgsubg  14067  isnsg4  14074  nmznsg  14075  ablnsg  14228