Theorem phival 11454

Description: Value of the Euler phi function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
phival	|- ( N e. NN -> ( phi ` N ) = (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )

Distinct variable group:   x, N

Proof of Theorem phival

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phivalfi 11453	. . 3 |- ( N e. NN -> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } e. Fin )
2		hashcl 10177	. . 3 |- ( { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } e. Fin -> (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) e. NN0 )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( N e. NN -> (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) e. NN0 )
4		oveq2 5652	. . . . 5 |- ( n = N -> ( 1 ... n ) = ( 1 ... N ) )
5		oveq2 5652	. . . . . 6 |- ( n = N -> ( x gcd n ) = ( x gcd N ) )
6	5	eqeq1d 2096	. . . . 5 |- ( n = N -> ( ( x gcd n ) = 1 <-> ( x gcd N ) = 1 ) )
7	4, 6	rabeqbidv 2614	. . . 4 |- ( n = N -> { x e. ( 1 ... n ) | ( x gcd n ) = 1 } = { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } )
8	7	fveq2d 5303	. . 3 |- ( n = N -> (♯ ` { x e. ( 1 ... n ) | ( x gcd n ) = 1 } ) = (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
9		df-phi 11452	. . 3 |- phi = ( n e. NN |-> (♯ ` { x e. ( 1 ... n ) | ( x gcd n ) = 1 } ) )
10	8, 9	fvmptg 5374	. 2 |- ( ( N e. NN /\ (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) e. NN0 ) -> ( phi ` N ) = (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
11	3, 10	mpdan 412	1 |- ( N e. NN -> ( phi ` N ) = (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1289   e. wcel 1438   {crab 2363   ` cfv 5010  (class class class)co 5644   Fincfn 6447   1c1 7341   NNcn 8412   NN0cn0 8663   ...cfz 9414  ♯chash 10171   gcd cgcd 11203   phicphi 11451

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3952  ax-sep 3955  ax-nul 3963  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-un 4258  ax-setind 4351  ax-iinf 4401  ax-cnex 7426  ax-resscn 7427  ax-1cn 7428  ax-1re 7429  ax-icn 7430  ax-addcl 7431  ax-addrcl 7432  ax-mulcl 7433  ax-mulrcl 7434  ax-addcom 7435  ax-mulcom 7436  ax-addass 7437  ax-mulass 7438  ax-distr 7439  ax-i2m1 7440  ax-0lt1 7441  ax-1rid 7442  ax-0id 7443  ax-rnegex 7444  ax-precex 7445  ax-cnre 7446  ax-pre-ltirr 7447  ax-pre-ltwlin 7448  ax-pre-lttrn 7449  ax-pre-apti 7450  ax-pre-ltadd 7451  ax-pre-mulgt0 7452  ax-pre-mulext 7453  ax-arch 7454  ax-caucvg 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3392  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-int 3687  df-iun 3730  df-br 3844  df-opab 3898  df-mpt 3899  df-tr 3935  df-id 4118  df-po 4121  df-iso 4122  df-iord 4191  df-on 4193  df-ilim 4194  df-suc 4196  df-iom 4404  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-rn 4447  df-res 4448  df-ima 4449  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fn 5013  df-f 5014  df-f1 5015  df-fo 5016  df-f1o 5017  df-fv 5018  df-riota 5600  df-ov 5647  df-oprab 5648  df-mpt2 5649  df-1st 5903  df-2nd 5904  df-recs 6062  df-frec 6148  df-1o 6173  df-er 6282  df-en 6448  df-dom 6449  df-fin 6450  df-sup 6669  df-pnf 7514  df-mnf 7515  df-xr 7516  df-ltxr 7517  df-le 7518  df-sub 7645  df-neg 7646  df-reap 8042  df-ap 8049  df-div 8130  df-inn 8413  df-2 8471  df-3 8472  df-4 8473  df-n0 8664  df-z 8741  df-uz 9010  df-q 9095  df-rp 9125  df-fz 9415  df-fzo 9542  df-fl 9665  df-mod 9718  df-iseq 9841  df-seq3 9842  df-exp 9943  df-ihash 10172  df-cj 10264  df-re 10265  df-im 10266  df-rsqrt 10419  df-abs 10420  df-dvds 11062  df-gcd 11204  df-phi 11452

This theorem is referenced by:  phicl2  11455  phibnd  11458  dfphi2  11461  phiprmpw  11463