ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dfphi2 Unicode version

Theorem dfphi2 12203
Description: Alternate definition of the Euler  phi function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
dfphi2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( phi `  N )  =  ( `  { x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } ) )
Distinct variable group:    x, N

Proof of Theorem dfphi2
StepHypRef Expression
1 elnn1uz2 9596 . 2  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  =  1  \/  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
2 phi1 12202 . . . . 5  |-  ( phi `  1 )  =  1
3 0z 9253 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
4 hashsng 10762 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  ( `  { 0 } )  =  1 )
53, 4ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( `  {
0 } )  =  1
6 rabid2 2653 . . . . . . 7  |-  ( { 0 }  =  {
x  e.  { 0 }  |  ( x  gcd  1 )  =  1 }  <->  A. x  e.  { 0 }  (
x  gcd  1 )  =  1 )
7 elsni 3609 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  { 0 }  ->  x  =  0 )
87oveq1d 5884 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  { 0 }  ->  ( x  gcd  1 )  =  ( 0  gcd  1 ) )
9 gcd1 11971 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0  gcd  1 )  =  1 )
103, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( 0  gcd  1 )  =  1
118, 10eqtrdi 2226 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { 0 }  ->  ( x  gcd  1 )  =  1 )
126, 11mprgbir 2535 . . . . . 6  |-  { 0 }  =  { x  e.  { 0 }  | 
( x  gcd  1
)  =  1 }
1312fveq2i 5514 . . . . 5  |-  ( `  {
0 } )  =  ( `  { x  e.  { 0 }  | 
( x  gcd  1
)  =  1 } )
142, 5, 133eqtr2i 2204 . . . 4  |-  ( phi `  1 )  =  ( `  { x  e.  { 0 }  | 
( x  gcd  1
)  =  1 } )
15 fveq2 5511 . . . 4  |-  ( N  =  1  ->  ( phi `  N )  =  ( phi `  1
) )
16 oveq2 5877 . . . . . . 7  |-  ( N  =  1  ->  (
0..^ N )  =  ( 0..^ 1 ) )
17 fzo01 10202 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ 1 )  =  {
0 }
1816, 17eqtrdi 2226 . . . . . 6  |-  ( N  =  1  ->  (
0..^ N )  =  { 0 } )
19 oveq2 5877 . . . . . . 7  |-  ( N  =  1  ->  (
x  gcd  N )  =  ( x  gcd  1 ) )
2019eqeq1d 2186 . . . . . 6  |-  ( N  =  1  ->  (
( x  gcd  N
)  =  1  <->  (
x  gcd  1 )  =  1 ) )
2118, 20rabeqbidv 2732 . . . . 5  |-  ( N  =  1  ->  { x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  =  { x  e. 
{ 0 }  | 
( x  gcd  1
)  =  1 } )
2221fveq2d 5515 . . . 4  |-  ( N  =  1  ->  ( `  { x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 } )  =  ( `  {
x  e.  { 0 }  |  ( x  gcd  1 )  =  1 } ) )
2314, 15, 223eqtr4a 2236 . . 3  |-  ( N  =  1  ->  ( phi `  N )  =  ( `  { x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } ) )
24 eluz2nn 9555 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  NN )
25 phival 12196 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( phi `  N )  =  ( `  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 } ) )
2624, 25syl 14 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( phi `  N )  =  ( `  { x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } ) )
27 fzossfz 10151 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1..^ N )  C_  (
1 ... N )
2827a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1..^ N )  C_  (
1 ... N ) )
29 sseqin2 3354 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1..^ N )  C_  ( 1 ... N
)  <->  ( ( 1 ... N )  i^i  ( 1..^ N ) )  =  ( 1..^ N ) )
3028, 29sylib 122 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
1 ... N )  i^i  ( 1..^ N ) )  =  ( 1..^ N ) )
31 fzo0ss1 10160 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1..^ N )  C_  (
0..^ N )
32 sseqin2 3354 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1..^ N )  C_  ( 0..^ N )  <->  ( (
0..^ N )  i^i  ( 1..^ N ) )  =  ( 1..^ N ) )
3331, 32mpbi 145 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0..^ N )  i^i  ( 1..^ N ) )  =  ( 1..^ N )
3430, 33eqtr4di 2228 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
1 ... N )  i^i  ( 1..^ N ) )  =  ( ( 0..^ N )  i^i  ( 1..^ N ) ) )
3534rabeqdv 2731 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  { x  e.  ( ( 1 ... N )  i^i  (
1..^ N ) )  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  =  { x  e.  ( ( 0..^ N )  i^i  ( 1..^ N ) )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 } )
36 inrab2 3408 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 }  i^i  ( 1..^ N ) )  =  {
x  e.  ( ( 1 ... N )  i^i  ( 1..^ N ) )  |  ( x  gcd  N )  =  1 }
37 inrab2 3408 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  i^i  ( 1..^ N ) )  =  { x  e.  ( ( 0..^ N )  i^i  ( 1..^ N ) )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 }
3835, 36, 373eqtr4g 2235 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( {
x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 }  i^i  ( 1..^ N ) )  =  ( { x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 }  i^i  ( 1..^ N ) ) )
39 phibndlem 12199 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  C_  (
1 ... ( N  - 
1 ) ) )
40 eluzelz 9526 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  ZZ )
41 fzoval 10134 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1..^ N )  =  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )
4240, 41syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1..^ N )  =  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )
4339, 42sseqtrrd 3194 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  C_  (
1..^ N ) )
44 df-ss 3142 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 } 
C_  ( 1..^ N )  <->  ( { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  i^i  (
1..^ N ) )  =  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )
4543, 44sylib 122 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( {
x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 }  i^i  ( 1..^ N ) )  =  {
x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 } )
46 gcd0id 11963 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  gcd  N )  =  ( abs `  N
) )
4740, 46syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 0  gcd  N )  =  ( abs `  N
) )
48 eluzelre 9527 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  RR )
49 eluzge2nn0 9558 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  NN0 )
5049nn0ge0d 9221 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <_  N )
5148, 50absidd 11160 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( abs `  N )  =  N )
5247, 51eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 0  gcd  N )  =  N )
53 eluz2b3 9593 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  N  =/=  1 ) )
5453simprbi 275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  =/=  1 )
5552, 54eqnetrd 2371 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 0  gcd  N )  =/=  1 )
5655adantr 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  x  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( 0  gcd  N )  =/=  1 )
577oveq1d 5884 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  { 0 }  ->  ( x  gcd  N )  =  ( 0  gcd  N ) )
5857, 17eleq2s 2272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 0..^ 1 )  ->  ( x  gcd  N )  =  ( 0  gcd  N ) )
5958neeq1d 2365 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0..^ 1 )  ->  ( (
x  gcd  N )  =/=  1  <->  ( 0  gcd 
N )  =/=  1
) )
6056, 59syl5ibrcom 157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  x  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( 0..^ 1 )  ->  ( x  gcd  N )  =/=  1 ) )
6160necon2bd 2405 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  x  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( (
x  gcd  N )  =  1  ->  -.  x  e.  ( 0..^ 1 ) ) )
62 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  x  e.  ( 0..^ N ) )  ->  x  e.  ( 0..^ N ) )
63 1z 9268 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ZZ
64 fzospliti 10162 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ N )  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  ( 0..^ 1 )  \/  x  e.  ( 1..^ N ) ) )
6562, 63, 64sylancl 413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  x  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( 0..^ 1 )  \/  x  e.  ( 1..^ N ) ) )
6665ord 724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  x  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( -.  x  e.  ( 0..^ 1 )  ->  x  e.  ( 1..^ N ) ) )
6761, 66syld 45 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  x  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( (
x  gcd  N )  =  1  ->  x  e.  ( 1..^ N ) ) )
6867ralrimiva 2550 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A. x  e.  ( 0..^ N ) ( ( x  gcd  N )  =  1  ->  x  e.  ( 1..^ N ) ) )
69 rabss 3232 . . . . . . . 8  |-  ( { x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  C_  ( 1..^ N )  <->  A. x  e.  ( 0..^ N ) ( ( x  gcd  N )  =  1  ->  x  e.  ( 1..^ N ) ) )
7068, 69sylibr 134 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  { x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } 
C_  ( 1..^ N ) )
71 df-ss 3142 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  C_  ( 1..^ N )  <->  ( {
x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  i^i  ( 1..^ N ) )  =  { x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )
7270, 71sylib 122 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( {
x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  i^i  ( 1..^ N ) )  =  { x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )
7338, 45, 723eqtr3d 2218 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  =  {
x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )
7473fveq2d 5515 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( `  {
x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 } )  =  ( `  {
x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } ) )
7526, 74eqtrd 2210 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( phi `  N )  =  ( `  { x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 } ) )
7623, 75jaoi 716 . 2  |-  ( ( N  =  1  \/  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( phi `  N
)  =  ( `  {
x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } ) )
771, 76sylbi 121 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( phi `  N )  =  ( `  { x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    \/ wo 708    = wceq 1353    e. wcel 2148    =/= wne 2347   A.wral 2455   {crab 2459    i^i cin 3128    C_ wss 3129   {csn 3591   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   0cc0 7802   1c1 7803    - cmin 8118   NNcn 8908   2c2 8959   ZZcz 9242   ZZ>=cuz 9517   ...cfz 9995  ..^cfzo 10128  ♯chash 10739   abscabs 10990    gcd cgcd 11926   phicphi 12192
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-1o 6411  df-er 6529  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-sup 6977  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-fl 10256  df-mod 10309  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-ihash 10740  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-dvds 11779  df-gcd 11927  df-phi 12194
This theorem is referenced by:  phimullem  12208  eulerth  12216  hashgcdeq  12222
  Copyright terms: Public domain W3C validator