ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dfphi2 Unicode version

Theorem dfphi2 12187
Description: Alternate definition of the Euler  phi function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
dfphi2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( phi `  N )  =  ( `  { x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } ) )
Distinct variable group:    x, N

Proof of Theorem dfphi2
StepHypRef Expression
1 elnn1uz2 9580 . 2  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  =  1  \/  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
2 phi1 12186 . . . . 5  |-  ( phi `  1 )  =  1
3 0z 9237 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
4 hashsng 10746 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  ( `  { 0 } )  =  1 )
53, 4ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( `  {
0 } )  =  1
6 rabid2 2651 . . . . . . 7  |-  ( { 0 }  =  {
x  e.  { 0 }  |  ( x  gcd  1 )  =  1 }  <->  A. x  e.  { 0 }  (
x  gcd  1 )  =  1 )
7 elsni 3607 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  { 0 }  ->  x  =  0 )
87oveq1d 5880 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  { 0 }  ->  ( x  gcd  1 )  =  ( 0  gcd  1 ) )
9 gcd1 11955 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0  gcd  1 )  =  1 )
103, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( 0  gcd  1 )  =  1
118, 10eqtrdi 2224 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { 0 }  ->  ( x  gcd  1 )  =  1 )
126, 11mprgbir 2533 . . . . . 6  |-  { 0 }  =  { x  e.  { 0 }  | 
( x  gcd  1
)  =  1 }
1312fveq2i 5510 . . . . 5  |-  ( `  {
0 } )  =  ( `  { x  e.  { 0 }  | 
( x  gcd  1
)  =  1 } )
142, 5, 133eqtr2i 2202 . . . 4  |-  ( phi `  1 )  =  ( `  { x  e.  { 0 }  | 
( x  gcd  1
)  =  1 } )
15 fveq2 5507 . . . 4  |-  ( N  =  1  ->  ( phi `  N )  =  ( phi `  1
) )
16 oveq2 5873 . . . . . . 7  |-  ( N  =  1  ->  (
0..^ N )  =  ( 0..^ 1 ) )
17 fzo01 10186 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ 1 )  =  {
0 }
1816, 17eqtrdi 2224 . . . . . 6  |-  ( N  =  1  ->  (
0..^ N )  =  { 0 } )
19 oveq2 5873 . . . . . . 7  |-  ( N  =  1  ->  (
x  gcd  N )  =  ( x  gcd  1 ) )
2019eqeq1d 2184 . . . . . 6  |-  ( N  =  1  ->  (
( x  gcd  N
)  =  1  <->  (
x  gcd  1 )  =  1 ) )
2118, 20rabeqbidv 2730 . . . . 5  |-  ( N  =  1  ->  { x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  =  { x  e. 
{ 0 }  | 
( x  gcd  1
)  =  1 } )
2221fveq2d 5511 . . . 4  |-  ( N  =  1  ->  ( `  { x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 } )  =  ( `  {
x  e.  { 0 }  |  ( x  gcd  1 )  =  1 } ) )
2314, 15, 223eqtr4a 2234 . . 3  |-  ( N  =  1  ->  ( phi `  N )  =  ( `  { x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } ) )
24 eluz2nn 9539 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  NN )
25 phival 12180 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( phi `  N )  =  ( `  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 } ) )
2624, 25syl 14 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( phi `  N )  =  ( `  { x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } ) )
27 fzossfz 10135 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1..^ N )  C_  (
1 ... N )
2827a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1..^ N )  C_  (
1 ... N ) )
29 sseqin2 3352 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1..^ N )  C_  ( 1 ... N
)  <->  ( ( 1 ... N )  i^i  ( 1..^ N ) )  =  ( 1..^ N ) )
3028, 29sylib 122 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
1 ... N )  i^i  ( 1..^ N ) )  =  ( 1..^ N ) )
31 fzo0ss1 10144 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1..^ N )  C_  (
0..^ N )
32 sseqin2 3352 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1..^ N )  C_  ( 0..^ N )  <->  ( (
0..^ N )  i^i  ( 1..^ N ) )  =  ( 1..^ N ) )
3331, 32mpbi 145 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0..^ N )  i^i  ( 1..^ N ) )  =  ( 1..^ N )
3430, 33eqtr4di 2226 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
1 ... N )  i^i  ( 1..^ N ) )  =  ( ( 0..^ N )  i^i  ( 1..^ N ) ) )
3534rabeqdv 2729 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  { x  e.  ( ( 1 ... N )  i^i  (
1..^ N ) )  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  =  { x  e.  ( ( 0..^ N )  i^i  ( 1..^ N ) )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 } )
36 inrab2 3406 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 }  i^i  ( 1..^ N ) )  =  {
x  e.  ( ( 1 ... N )  i^i  ( 1..^ N ) )  |  ( x  gcd  N )  =  1 }
37 inrab2 3406 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  i^i  ( 1..^ N ) )  =  { x  e.  ( ( 0..^ N )  i^i  ( 1..^ N ) )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 }
3835, 36, 373eqtr4g 2233 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( {
x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 }  i^i  ( 1..^ N ) )  =  ( { x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 }  i^i  ( 1..^ N ) ) )
39 phibndlem 12183 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  C_  (
1 ... ( N  - 
1 ) ) )
40 eluzelz 9510 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  ZZ )
41 fzoval 10118 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1..^ N )  =  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )
4240, 41syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1..^ N )  =  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )
4339, 42sseqtrrd 3192 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  C_  (
1..^ N ) )
44 df-ss 3140 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 } 
C_  ( 1..^ N )  <->  ( { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  i^i  (
1..^ N ) )  =  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )
4543, 44sylib 122 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( {
x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 }  i^i  ( 1..^ N ) )  =  {
x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 } )
46 gcd0id 11947 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  gcd  N )  =  ( abs `  N
) )
4740, 46syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 0  gcd  N )  =  ( abs `  N
) )
48 eluzelre 9511 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  RR )
49 eluzge2nn0 9542 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  NN0 )
5049nn0ge0d 9205 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <_  N )
5148, 50absidd 11144 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( abs `  N )  =  N )
5247, 51eqtrd 2208 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 0  gcd  N )  =  N )
53 eluz2b3 9577 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  N  =/=  1 ) )
5453simprbi 275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  =/=  1 )
5552, 54eqnetrd 2369 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 0  gcd  N )  =/=  1 )
5655adantr 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  x  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( 0  gcd  N )  =/=  1 )
577oveq1d 5880 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  { 0 }  ->  ( x  gcd  N )  =  ( 0  gcd  N ) )
5857, 17eleq2s 2270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 0..^ 1 )  ->  ( x  gcd  N )  =  ( 0  gcd  N ) )
5958neeq1d 2363 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0..^ 1 )  ->  ( (
x  gcd  N )  =/=  1  <->  ( 0  gcd 
N )  =/=  1
) )
6056, 59syl5ibrcom 157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  x  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( 0..^ 1 )  ->  ( x  gcd  N )  =/=  1 ) )
6160necon2bd 2403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  x  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( (
x  gcd  N )  =  1  ->  -.  x  e.  ( 0..^ 1 ) ) )
62 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  x  e.  ( 0..^ N ) )  ->  x  e.  ( 0..^ N ) )
63 1z 9252 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ZZ
64 fzospliti 10146 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ N )  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  ( 0..^ 1 )  \/  x  e.  ( 1..^ N ) ) )
6562, 63, 64sylancl 413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  x  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( 0..^ 1 )  \/  x  e.  ( 1..^ N ) ) )
6665ord 724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  x  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( -.  x  e.  ( 0..^ 1 )  ->  x  e.  ( 1..^ N ) ) )
6761, 66syld 45 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  x  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( (
x  gcd  N )  =  1  ->  x  e.  ( 1..^ N ) ) )
6867ralrimiva 2548 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A. x  e.  ( 0..^ N ) ( ( x  gcd  N )  =  1  ->  x  e.  ( 1..^ N ) ) )
69 rabss 3230 . . . . . . . 8  |-  ( { x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  C_  ( 1..^ N )  <->  A. x  e.  ( 0..^ N ) ( ( x  gcd  N )  =  1  ->  x  e.  ( 1..^ N ) ) )
7068, 69sylibr 134 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  { x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } 
C_  ( 1..^ N ) )
71 df-ss 3140 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  C_  ( 1..^ N )  <->  ( {
x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  i^i  ( 1..^ N ) )  =  { x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )
7270, 71sylib 122 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( {
x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  i^i  ( 1..^ N ) )  =  { x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )
7338, 45, 723eqtr3d 2216 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  =  {
x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )
7473fveq2d 5511 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( `  {
x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 } )  =  ( `  {
x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } ) )
7526, 74eqtrd 2208 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( phi `  N )  =  ( `  { x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 } ) )
7623, 75jaoi 716 . 2  |-  ( ( N  =  1  \/  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( phi `  N
)  =  ( `  {
x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } ) )
771, 76sylbi 121 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( phi `  N )  =  ( `  { x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    \/ wo 708    = wceq 1353    e. wcel 2146    =/= wne 2345   A.wral 2453   {crab 2457    i^i cin 3126    C_ wss 3127   {csn 3589   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   0cc0 7786   1c1 7787    - cmin 8102   NNcn 8892   2c2 8943   ZZcz 9226   ZZ>=cuz 9501   ...cfz 9979  ..^cfzo 10112  ♯chash 10723   abscabs 10974    gcd cgcd 11910   phicphi 12176
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-1o 6407  df-er 6525  df-en 6731  df-dom 6732  df-fin 6733  df-sup 6973  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-inn 8893  df-2 8951  df-3 8952  df-4 8953  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-q 9593  df-rp 9625  df-fz 9980  df-fzo 10113  df-fl 10240  df-mod 10293  df-seqfrec 10416  df-exp 10490  df-ihash 10724  df-cj 10819  df-re 10820  df-im 10821  df-rsqrt 10975  df-abs 10976  df-dvds 11763  df-gcd 11911  df-phi 12178
This theorem is referenced by:  phimullem  12192  eulerth  12200  hashgcdeq  12206
  Copyright terms: Public domain W3C validator