Theorem dfphi2 12187

Description: Alternate definition of the Euler phi function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dfphi2	|- ( N e. NN -> ( phi ` N ) = (♯ ` { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )

Distinct variable group:   x, N

Proof of Theorem dfphi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn1uz2 9580	. 2 |- ( N e. NN <-> ( N = 1 \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
2		phi1 12186	. . . . 5 |- ( phi ` 1 ) = 1
3		0z 9237	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
4		hashsng 10746	. . . . . 6 |- ( 0 e. ZZ -> (♯ ` { 0 } ) = 1 )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 |- (♯ ` { 0 } ) = 1
6		rabid2 2651	. . . . . . 7 |- ( { 0 } = { x e. { 0 } | ( x gcd 1 ) = 1 } <-> A. x e. { 0 } ( x gcd 1 ) = 1 )
7		elsni 3607	. . . . . . . . 9 |- ( x e. { 0 } -> x = 0 )
8	7	oveq1d 5880	. . . . . . . 8 |- ( x e. { 0 } -> ( x gcd 1 ) = ( 0 gcd 1 ) )
9		gcd1 11955	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. ZZ -> ( 0 gcd 1 ) = 1 )
10	3, 9	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( 0 gcd 1 ) = 1
11	8, 10	eqtrdi 2224	. . . . . . 7 |- ( x e. { 0 } -> ( x gcd 1 ) = 1 )
12	6, 11	mprgbir 2533	. . . . . 6 |- { 0 } = { x e. { 0 } | ( x gcd 1 ) = 1 }
13	12	fveq2i 5510	. . . . 5 |- (♯ ` { 0 } ) = (♯ ` { x e. { 0 } | ( x gcd 1 ) = 1 } )
14	2, 5, 13	3eqtr2i 2202	. . . 4 |- ( phi ` 1 ) = (♯ ` { x e. { 0 } | ( x gcd 1 ) = 1 } )
15		fveq2 5507	. . . 4 |- ( N = 1 -> ( phi ` N ) = ( phi ` 1 ) )
16		oveq2 5873	. . . . . . 7 |- ( N = 1 -> ( 0..^ N ) = ( 0..^ 1 ) )
17		fzo01 10186	. . . . . . 7 |- ( 0..^ 1 ) = { 0 }
18	16, 17	eqtrdi 2224	. . . . . 6 |- ( N = 1 -> ( 0..^ N ) = { 0 } )
19		oveq2 5873	. . . . . . 7 |- ( N = 1 -> ( x gcd N ) = ( x gcd 1 ) )
20	19	eqeq1d 2184	. . . . . 6 |- ( N = 1 -> ( ( x gcd N ) = 1 <-> ( x gcd 1 ) = 1 ) )
21	18, 20	rabeqbidv 2730	. . . . 5 |- ( N = 1 -> { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } = { x e. { 0 } | ( x gcd 1 ) = 1 } )
22	21	fveq2d 5511	. . . 4 |- ( N = 1 -> (♯ ` { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) = (♯ ` { x e. { 0 } | ( x gcd 1 ) = 1 } ) )
23	14, 15, 22	3eqtr4a 2234	. . 3 |- ( N = 1 -> ( phi ` N ) = (♯ ` { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
24		eluz2nn 9539	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. NN )
25		phival 12180	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( phi ` N ) = (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
26	24, 25	syl 14	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( phi ` N ) = (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
27		fzossfz 10135	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1..^ N ) C_ ( 1 ... N )
28	27	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 1..^ N ) C_ ( 1 ... N ) )
29		sseqin2 3352	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1..^ N ) C_ ( 1 ... N ) <-> ( ( 1 ... N ) i^i ( 1..^ N ) ) = ( 1..^ N ) )
30	28, 29	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( 1 ... N ) i^i ( 1..^ N ) ) = ( 1..^ N ) )
31		fzo0ss1 10144	. . . . . . . . . 10 |- ( 1..^ N ) C_ ( 0..^ N )
32		sseqin2 3352	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1..^ N ) C_ ( 0..^ N ) <-> ( ( 0..^ N ) i^i ( 1..^ N ) ) = ( 1..^ N ) )
33	31, 32	mpbi 145	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0..^ N ) i^i ( 1..^ N ) ) = ( 1..^ N )
34	30, 33	eqtr4di 2226	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( 1 ... N ) i^i ( 1..^ N ) ) = ( ( 0..^ N ) i^i ( 1..^ N ) ) )
35	34	rabeqdv 2729	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> { x e. ( ( 1 ... N ) i^i ( 1..^ N ) ) | ( x gcd N ) = 1 } = { x e. ( ( 0..^ N ) i^i ( 1..^ N ) ) | ( x gcd N ) = 1 } )
36		inrab2 3406	. . . . . . 7 |- ( { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } i^i ( 1..^ N ) ) = { x e. ( ( 1 ... N ) i^i ( 1..^ N ) ) | ( x gcd N ) = 1 }
37		inrab2 3406	. . . . . . 7 |- ( { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } i^i ( 1..^ N ) ) = { x e. ( ( 0..^ N ) i^i ( 1..^ N ) ) | ( x gcd N ) = 1 }
38	35, 36, 37	3eqtr4g 2233	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } i^i ( 1..^ N ) ) = ( { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } i^i ( 1..^ N ) ) )
39		phibndlem 12183	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } C_ ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
40		eluzelz 9510	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. ZZ )
41		fzoval 10118	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> ( 1..^ N ) = ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
42	40, 41	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 1..^ N ) = ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
43	39, 42	sseqtrrd 3192	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } C_ ( 1..^ N ) )
44		df-ss 3140	. . . . . . 7 |- ( { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } C_ ( 1..^ N ) <-> ( { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } i^i ( 1..^ N ) ) = { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } )
45	43, 44	sylib 122	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } i^i ( 1..^ N ) ) = { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } )
46		gcd0id 11947	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. ZZ -> ( 0 gcd N ) = ( abs ` N ) )
47	40, 46	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 0 gcd N ) = ( abs ` N ) )
48		eluzelre 9511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. RR )
49		eluzge2nn0 9542	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. NN0 )
50	49	nn0ge0d 9205	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 0 <_ N )
51	48, 50	absidd 11144	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( abs ` N ) = N )
52	47, 51	eqtrd 2208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 0 gcd N ) = N )
53		eluz2b3 9577	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( N e. NN /\ N =/= 1 ) )
54	53	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N =/= 1 )
55	52, 54	eqnetrd 2369	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 0 gcd N ) =/= 1 )
56	55	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ x e. ( 0..^ N ) ) -> ( 0 gcd N ) =/= 1 )
57	7	oveq1d 5880	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. { 0 } -> ( x gcd N ) = ( 0 gcd N ) )
58	57, 17	eleq2s 2270	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 0..^ 1 ) -> ( x gcd N ) = ( 0 gcd N ) )
59	58	neeq1d 2363	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 0..^ 1 ) -> ( ( x gcd N ) =/= 1 <-> ( 0 gcd N ) =/= 1 ) )
60	56, 59	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ x e. ( 0..^ N ) ) -> ( x e. ( 0..^ 1 ) -> ( x gcd N ) =/= 1 ) )
61	60	necon2bd 2403	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ x e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( x gcd N ) = 1 -> -. x e. ( 0..^ 1 ) ) )
62		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ x e. ( 0..^ N ) ) -> x e. ( 0..^ N ) )
63		1z 9252	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. ZZ
64		fzospliti 10146	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( 0..^ N ) /\ 1 e. ZZ ) -> ( x e. ( 0..^ 1 ) \/ x e. ( 1..^ N ) ) )
65	62, 63, 64	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ x e. ( 0..^ N ) ) -> ( x e. ( 0..^ 1 ) \/ x e. ( 1..^ N ) ) )
66	65	ord 724	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ x e. ( 0..^ N ) ) -> ( -. x e. ( 0..^ 1 ) -> x e. ( 1..^ N ) ) )
67	61, 66	syld 45	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ x e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( x gcd N ) = 1 -> x e. ( 1..^ N ) ) )
68	67	ralrimiva 2548	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A. x e. ( 0..^ N ) ( ( x gcd N ) = 1 -> x e. ( 1..^ N ) ) )
69		rabss 3230	. . . . . . . 8 |- ( { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } C_ ( 1..^ N ) <-> A. x e. ( 0..^ N ) ( ( x gcd N ) = 1 -> x e. ( 1..^ N ) ) )
70	68, 69	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } C_ ( 1..^ N ) )
71		df-ss 3140	. . . . . . 7 |- ( { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } C_ ( 1..^ N ) <-> ( { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } i^i ( 1..^ N ) ) = { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } )
72	70, 71	sylib 122	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } i^i ( 1..^ N ) ) = { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } )
73	38, 45, 72	3eqtr3d 2216	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } = { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } )
74	73	fveq2d 5511	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) = (♯ ` { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
75	26, 74	eqtrd 2208	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( phi ` N ) = (♯ ` { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
76	23, 75	jaoi 716	. 2 |- ( ( N = 1 \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( phi ` N ) = (♯ ` { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
77	1, 76	sylbi 121	1 |- ( N e. NN -> ( phi ` N ) = (♯ ` { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 708   = wceq 1353   e. wcel 2146   =/= wne 2345   A.wral 2453   {crab 2457   i^i cin 3126   C_ wss 3127   {csn 3589   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   0cc0 7786   1c1 7787   - cmin 8102   NNcn 8892   2c2 8943   ZZcz 9226   ZZ>=cuz 9501   ...cfz 9979  ..^cfzo 10112  ♯chash 10723   abscabs 10974   gcd cgcd 11910   phicphi 12176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-1o 6407  df-er 6525  df-en 6731  df-dom 6732  df-fin 6733  df-sup 6973  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-inn 8893  df-2 8951  df-3 8952  df-4 8953  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-q 9593  df-rp 9625  df-fz 9980  df-fzo 10113  df-fl 10240  df-mod 10293  df-seqfrec 10416  df-exp 10490  df-ihash 10724  df-cj 10819  df-re 10820  df-im 10821  df-rsqrt 10975  df-abs 10976  df-dvds 11763  df-gcd 11911  df-phi 12178

This theorem is referenced by:  phimullem  12192  eulerth  12200  hashgcdeq  12206