Theorem dfphi2 12853

Description: Alternate definition of the Euler phi function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dfphi2	|- ( N e. NN -> ( phi ` N ) = (♯ ` { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )

Distinct variable group:   x, N

Proof of Theorem dfphi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn1uz2 9884	. 2 |- ( N e. NN <-> ( N = 1 \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
2		phi1 12852	. . . . 5 |- ( phi ` 1 ) = 1
3		0z 9533	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
4		hashsng 11104	. . . . . 6 |- ( 0 e. ZZ -> (♯ ` { 0 } ) = 1 )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 |- (♯ ` { 0 } ) = 1
6		rabid2 2711	. . . . . . 7 |- ( { 0 } = { x e. { 0 } | ( x gcd 1 ) = 1 } <-> A. x e. { 0 } ( x gcd 1 ) = 1 )
7		elsni 3691	. . . . . . . . 9 |- ( x e. { 0 } -> x = 0 )
8	7	oveq1d 6043	. . . . . . . 8 |- ( x e. { 0 } -> ( x gcd 1 ) = ( 0 gcd 1 ) )
9		gcd1 12619	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. ZZ -> ( 0 gcd 1 ) = 1 )
10	3, 9	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( 0 gcd 1 ) = 1
11	8, 10	eqtrdi 2280	. . . . . . 7 |- ( x e. { 0 } -> ( x gcd 1 ) = 1 )
12	6, 11	mprgbir 2591	. . . . . 6 |- { 0 } = { x e. { 0 } | ( x gcd 1 ) = 1 }
13	12	fveq2i 5651	. . . . 5 |- (♯ ` { 0 } ) = (♯ ` { x e. { 0 } | ( x gcd 1 ) = 1 } )
14	2, 5, 13	3eqtr2i 2258	. . . 4 |- ( phi ` 1 ) = (♯ ` { x e. { 0 } | ( x gcd 1 ) = 1 } )
15		fveq2 5648	. . . 4 |- ( N = 1 -> ( phi ` N ) = ( phi ` 1 ) )
16		oveq2 6036	. . . . . . 7 |- ( N = 1 -> ( 0..^ N ) = ( 0..^ 1 ) )
17		fzo01 10505	. . . . . . 7 |- ( 0..^ 1 ) = { 0 }
18	16, 17	eqtrdi 2280	. . . . . 6 |- ( N = 1 -> ( 0..^ N ) = { 0 } )
19		oveq2 6036	. . . . . . 7 |- ( N = 1 -> ( x gcd N ) = ( x gcd 1 ) )
20	19	eqeq1d 2240	. . . . . 6 |- ( N = 1 -> ( ( x gcd N ) = 1 <-> ( x gcd 1 ) = 1 ) )
21	18, 20	rabeqbidv 2798	. . . . 5 |- ( N = 1 -> { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } = { x e. { 0 } | ( x gcd 1 ) = 1 } )
22	21	fveq2d 5652	. . . 4 |- ( N = 1 -> (♯ ` { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) = (♯ ` { x e. { 0 } | ( x gcd 1 ) = 1 } ) )
23	14, 15, 22	3eqtr4a 2290	. . 3 |- ( N = 1 -> ( phi ` N ) = (♯ ` { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
24		eluz2nn 9843	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. NN )
25		phival 12846	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( phi ` N ) = (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
26	24, 25	syl 14	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( phi ` N ) = (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
27		fzossfz 10444	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1..^ N ) C_ ( 1 ... N )
28	27	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 1..^ N ) C_ ( 1 ... N ) )
29		sseqin2 3428	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1..^ N ) C_ ( 1 ... N ) <-> ( ( 1 ... N ) i^i ( 1..^ N ) ) = ( 1..^ N ) )
30	28, 29	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( 1 ... N ) i^i ( 1..^ N ) ) = ( 1..^ N ) )
31		fzo0ss1 10454	. . . . . . . . . 10 |- ( 1..^ N ) C_ ( 0..^ N )
32		sseqin2 3428	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1..^ N ) C_ ( 0..^ N ) <-> ( ( 0..^ N ) i^i ( 1..^ N ) ) = ( 1..^ N ) )
33	31, 32	mpbi 145	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0..^ N ) i^i ( 1..^ N ) ) = ( 1..^ N )
34	30, 33	eqtr4di 2282	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( 1 ... N ) i^i ( 1..^ N ) ) = ( ( 0..^ N ) i^i ( 1..^ N ) ) )
35	34	rabeqdv 2797	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> { x e. ( ( 1 ... N ) i^i ( 1..^ N ) ) | ( x gcd N ) = 1 } = { x e. ( ( 0..^ N ) i^i ( 1..^ N ) ) | ( x gcd N ) = 1 } )
36		inrab2 3482	. . . . . . 7 |- ( { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } i^i ( 1..^ N ) ) = { x e. ( ( 1 ... N ) i^i ( 1..^ N ) ) | ( x gcd N ) = 1 }
37		inrab2 3482	. . . . . . 7 |- ( { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } i^i ( 1..^ N ) ) = { x e. ( ( 0..^ N ) i^i ( 1..^ N ) ) | ( x gcd N ) = 1 }
38	35, 36, 37	3eqtr4g 2289	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } i^i ( 1..^ N ) ) = ( { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } i^i ( 1..^ N ) ) )
39		phibndlem 12849	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } C_ ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
40		eluzelz 9808	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. ZZ )
41		fzoval 10426	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> ( 1..^ N ) = ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
42	40, 41	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 1..^ N ) = ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
43	39, 42	sseqtrrd 3267	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } C_ ( 1..^ N ) )
44		df-ss 3214	. . . . . . 7 |- ( { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } C_ ( 1..^ N ) <-> ( { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } i^i ( 1..^ N ) ) = { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } )
45	43, 44	sylib 122	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } i^i ( 1..^ N ) ) = { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } )
46		gcd0id 12611	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. ZZ -> ( 0 gcd N ) = ( abs ` N ) )
47	40, 46	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 0 gcd N ) = ( abs ` N ) )
48		eluzelre 9809	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. RR )
49		eluzge2nn0 9847	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. NN0 )
50	49	nn0ge0d 9501	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 0 <_ N )
51	48, 50	absidd 11788	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( abs ` N ) = N )
52	47, 51	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 0 gcd N ) = N )
53		eluz2b3 9881	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( N e. NN /\ N =/= 1 ) )
54	53	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N =/= 1 )
55	52, 54	eqnetrd 2427	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 0 gcd N ) =/= 1 )
56	55	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ x e. ( 0..^ N ) ) -> ( 0 gcd N ) =/= 1 )
57	7	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. { 0 } -> ( x gcd N ) = ( 0 gcd N ) )
58	57, 17	eleq2s 2326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 0..^ 1 ) -> ( x gcd N ) = ( 0 gcd N ) )
59	58	neeq1d 2421	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 0..^ 1 ) -> ( ( x gcd N ) =/= 1 <-> ( 0 gcd N ) =/= 1 ) )
60	56, 59	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ x e. ( 0..^ N ) ) -> ( x e. ( 0..^ 1 ) -> ( x gcd N ) =/= 1 ) )
61	60	necon2bd 2461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ x e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( x gcd N ) = 1 -> -. x e. ( 0..^ 1 ) ) )
62		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ x e. ( 0..^ N ) ) -> x e. ( 0..^ N ) )
63		1z 9548	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. ZZ
64		fzospliti 10456	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( 0..^ N ) /\ 1 e. ZZ ) -> ( x e. ( 0..^ 1 ) \/ x e. ( 1..^ N ) ) )
65	62, 63, 64	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ x e. ( 0..^ N ) ) -> ( x e. ( 0..^ 1 ) \/ x e. ( 1..^ N ) ) )
66	65	ord 732	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ x e. ( 0..^ N ) ) -> ( -. x e. ( 0..^ 1 ) -> x e. ( 1..^ N ) ) )
67	61, 66	syld 45	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ x e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( x gcd N ) = 1 -> x e. ( 1..^ N ) ) )
68	67	ralrimiva 2606	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A. x e. ( 0..^ N ) ( ( x gcd N ) = 1 -> x e. ( 1..^ N ) ) )
69		rabss 3305	. . . . . . . 8 |- ( { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } C_ ( 1..^ N ) <-> A. x e. ( 0..^ N ) ( ( x gcd N ) = 1 -> x e. ( 1..^ N ) ) )
70	68, 69	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } C_ ( 1..^ N ) )
71		df-ss 3214	. . . . . . 7 |- ( { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } C_ ( 1..^ N ) <-> ( { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } i^i ( 1..^ N ) ) = { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } )
72	70, 71	sylib 122	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } i^i ( 1..^ N ) ) = { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } )
73	38, 45, 72	3eqtr3d 2272	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } = { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } )
74	73	fveq2d 5652	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) = (♯ ` { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
75	26, 74	eqtrd 2264	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( phi ` N ) = (♯ ` { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
76	23, 75	jaoi 724	. 2 |- ( ( N = 1 \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( phi ` N ) = (♯ ` { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
77	1, 76	sylbi 121	1 |- ( N e. NN -> ( phi ` N ) = (♯ ` { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716   = wceq 1398   e. wcel 2202   =/= wne 2403   A.wral 2511   {crab 2515   i^i cin 3200   C_ wss 3201   {csn 3673   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   0cc0 8075   1c1 8076   - cmin 8393   NNcn 9186   2c2 9237   ZZcz 9522   ZZ>=cuz 9798   ...cfz 10286  ..^cfzo 10420  ♯chash 11081   abscabs 11618   gcd cgcd 12585   phicphi 12842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-sup 7226  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-q 9897  df-rp 9932  df-fz 10287  df-fzo 10421  df-fl 10574  df-mod 10629  df-seqfrec 10754  df-exp 10845  df-ihash 11082  df-cj 11463  df-re 11464  df-im 11465  df-rsqrt 11619  df-abs 11620  df-dvds 12410  df-gcd 12586  df-phi 12844

This theorem is referenced by:  phimullem  12858  eulerth  12866  hashgcdeq  12873