Theorem dfphi2 12388

Description: Alternate definition of the Euler phi function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dfphi2	|- ( N e. NN -> ( phi ` N ) = (♯ ` { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )

Distinct variable group:   x, N

Proof of Theorem dfphi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn1uz2 9681	. 2 |- ( N e. NN <-> ( N = 1 \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
2		phi1 12387	. . . . 5 |- ( phi ` 1 ) = 1
3		0z 9337	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
4		hashsng 10890	. . . . . 6 |- ( 0 e. ZZ -> (♯ ` { 0 } ) = 1 )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 |- (♯ ` { 0 } ) = 1
6		rabid2 2674	. . . . . . 7 |- ( { 0 } = { x e. { 0 } | ( x gcd 1 ) = 1 } <-> A. x e. { 0 } ( x gcd 1 ) = 1 )
7		elsni 3640	. . . . . . . . 9 |- ( x e. { 0 } -> x = 0 )
8	7	oveq1d 5937	. . . . . . . 8 |- ( x e. { 0 } -> ( x gcd 1 ) = ( 0 gcd 1 ) )
9		gcd1 12154	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. ZZ -> ( 0 gcd 1 ) = 1 )
10	3, 9	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( 0 gcd 1 ) = 1
11	8, 10	eqtrdi 2245	. . . . . . 7 |- ( x e. { 0 } -> ( x gcd 1 ) = 1 )
12	6, 11	mprgbir 2555	. . . . . 6 |- { 0 } = { x e. { 0 } | ( x gcd 1 ) = 1 }
13	12	fveq2i 5561	. . . . 5 |- (♯ ` { 0 } ) = (♯ ` { x e. { 0 } | ( x gcd 1 ) = 1 } )
14	2, 5, 13	3eqtr2i 2223	. . . 4 |- ( phi ` 1 ) = (♯ ` { x e. { 0 } | ( x gcd 1 ) = 1 } )
15		fveq2 5558	. . . 4 |- ( N = 1 -> ( phi ` N ) = ( phi ` 1 ) )
16		oveq2 5930	. . . . . . 7 |- ( N = 1 -> ( 0..^ N ) = ( 0..^ 1 ) )
17		fzo01 10292	. . . . . . 7 |- ( 0..^ 1 ) = { 0 }
18	16, 17	eqtrdi 2245	. . . . . 6 |- ( N = 1 -> ( 0..^ N ) = { 0 } )
19		oveq2 5930	. . . . . . 7 |- ( N = 1 -> ( x gcd N ) = ( x gcd 1 ) )
20	19	eqeq1d 2205	. . . . . 6 |- ( N = 1 -> ( ( x gcd N ) = 1 <-> ( x gcd 1 ) = 1 ) )
21	18, 20	rabeqbidv 2758	. . . . 5 |- ( N = 1 -> { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } = { x e. { 0 } | ( x gcd 1 ) = 1 } )
22	21	fveq2d 5562	. . . 4 |- ( N = 1 -> (♯ ` { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) = (♯ ` { x e. { 0 } | ( x gcd 1 ) = 1 } ) )
23	14, 15, 22	3eqtr4a 2255	. . 3 |- ( N = 1 -> ( phi ` N ) = (♯ ` { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
24		eluz2nn 9640	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. NN )
25		phival 12381	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( phi ` N ) = (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
26	24, 25	syl 14	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( phi ` N ) = (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
27		fzossfz 10241	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1..^ N ) C_ ( 1 ... N )
28	27	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 1..^ N ) C_ ( 1 ... N ) )
29		sseqin2 3382	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1..^ N ) C_ ( 1 ... N ) <-> ( ( 1 ... N ) i^i ( 1..^ N ) ) = ( 1..^ N ) )
30	28, 29	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( 1 ... N ) i^i ( 1..^ N ) ) = ( 1..^ N ) )
31		fzo0ss1 10250	. . . . . . . . . 10 |- ( 1..^ N ) C_ ( 0..^ N )
32		sseqin2 3382	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1..^ N ) C_ ( 0..^ N ) <-> ( ( 0..^ N ) i^i ( 1..^ N ) ) = ( 1..^ N ) )
33	31, 32	mpbi 145	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0..^ N ) i^i ( 1..^ N ) ) = ( 1..^ N )
34	30, 33	eqtr4di 2247	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( 1 ... N ) i^i ( 1..^ N ) ) = ( ( 0..^ N ) i^i ( 1..^ N ) ) )
35	34	rabeqdv 2757	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> { x e. ( ( 1 ... N ) i^i ( 1..^ N ) ) | ( x gcd N ) = 1 } = { x e. ( ( 0..^ N ) i^i ( 1..^ N ) ) | ( x gcd N ) = 1 } )
36		inrab2 3436	. . . . . . 7 |- ( { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } i^i ( 1..^ N ) ) = { x e. ( ( 1 ... N ) i^i ( 1..^ N ) ) | ( x gcd N ) = 1 }
37		inrab2 3436	. . . . . . 7 |- ( { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } i^i ( 1..^ N ) ) = { x e. ( ( 0..^ N ) i^i ( 1..^ N ) ) | ( x gcd N ) = 1 }
38	35, 36, 37	3eqtr4g 2254	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } i^i ( 1..^ N ) ) = ( { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } i^i ( 1..^ N ) ) )
39		phibndlem 12384	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } C_ ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
40		eluzelz 9610	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. ZZ )
41		fzoval 10223	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> ( 1..^ N ) = ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
42	40, 41	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 1..^ N ) = ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
43	39, 42	sseqtrrd 3222	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } C_ ( 1..^ N ) )
44		df-ss 3170	. . . . . . 7 |- ( { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } C_ ( 1..^ N ) <-> ( { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } i^i ( 1..^ N ) ) = { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } )
45	43, 44	sylib 122	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } i^i ( 1..^ N ) ) = { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } )
46		gcd0id 12146	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. ZZ -> ( 0 gcd N ) = ( abs ` N ) )
47	40, 46	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 0 gcd N ) = ( abs ` N ) )
48		eluzelre 9611	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. RR )
49		eluzge2nn0 9643	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. NN0 )
50	49	nn0ge0d 9305	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 0 <_ N )
51	48, 50	absidd 11332	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( abs ` N ) = N )
52	47, 51	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 0 gcd N ) = N )
53		eluz2b3 9678	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( N e. NN /\ N =/= 1 ) )
54	53	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N =/= 1 )
55	52, 54	eqnetrd 2391	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 0 gcd N ) =/= 1 )
56	55	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ x e. ( 0..^ N ) ) -> ( 0 gcd N ) =/= 1 )
57	7	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. { 0 } -> ( x gcd N ) = ( 0 gcd N ) )
58	57, 17	eleq2s 2291	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 0..^ 1 ) -> ( x gcd N ) = ( 0 gcd N ) )
59	58	neeq1d 2385	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 0..^ 1 ) -> ( ( x gcd N ) =/= 1 <-> ( 0 gcd N ) =/= 1 ) )
60	56, 59	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ x e. ( 0..^ N ) ) -> ( x e. ( 0..^ 1 ) -> ( x gcd N ) =/= 1 ) )
61	60	necon2bd 2425	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ x e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( x gcd N ) = 1 -> -. x e. ( 0..^ 1 ) ) )
62		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ x e. ( 0..^ N ) ) -> x e. ( 0..^ N ) )
63		1z 9352	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. ZZ
64		fzospliti 10252	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( 0..^ N ) /\ 1 e. ZZ ) -> ( x e. ( 0..^ 1 ) \/ x e. ( 1..^ N ) ) )
65	62, 63, 64	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ x e. ( 0..^ N ) ) -> ( x e. ( 0..^ 1 ) \/ x e. ( 1..^ N ) ) )
66	65	ord 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ x e. ( 0..^ N ) ) -> ( -. x e. ( 0..^ 1 ) -> x e. ( 1..^ N ) ) )
67	61, 66	syld 45	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ x e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( x gcd N ) = 1 -> x e. ( 1..^ N ) ) )
68	67	ralrimiva 2570	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A. x e. ( 0..^ N ) ( ( x gcd N ) = 1 -> x e. ( 1..^ N ) ) )
69		rabss 3260	. . . . . . . 8 |- ( { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } C_ ( 1..^ N ) <-> A. x e. ( 0..^ N ) ( ( x gcd N ) = 1 -> x e. ( 1..^ N ) ) )
70	68, 69	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } C_ ( 1..^ N ) )
71		df-ss 3170	. . . . . . 7 |- ( { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } C_ ( 1..^ N ) <-> ( { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } i^i ( 1..^ N ) ) = { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } )
72	70, 71	sylib 122	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } i^i ( 1..^ N ) ) = { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } )
73	38, 45, 72	3eqtr3d 2237	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } = { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } )
74	73	fveq2d 5562	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) = (♯ ` { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
75	26, 74	eqtrd 2229	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( phi ` N ) = (♯ ` { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
76	23, 75	jaoi 717	. 2 |- ( ( N = 1 \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( phi ` N ) = (♯ ` { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
77	1, 76	sylbi 121	1 |- ( N e. NN -> ( phi ` N ) = (♯ ` { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   A.wral 2475   {crab 2479   i^i cin 3156   C_ wss 3157   {csn 3622   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   0cc0 7879   1c1 7880   - cmin 8197   NNcn 8990   2c2 9041   ZZcz 9326   ZZ>=cuz 9601   ...cfz 10083  ..^cfzo 10217  ♯chash 10867   abscabs 11162   gcd cgcd 12120   phicphi 12377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-1o 6474  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-sup 7050  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-fl 10360  df-mod 10415  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-ihash 10868  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-dvds 11953  df-gcd 12121  df-phi 12379

This theorem is referenced by:  phimullem  12393  eulerth  12401  hashgcdeq  12408