ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dfphi2 Unicode version

Theorem dfphi2 11278
Description: Alternate definition of the Euler  phi function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
dfphi2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( phi `  N )  =  ( `  { x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } ) )
Distinct variable group:    x, N

Proof of Theorem dfphi2
StepHypRef Expression
1 elnn1uz2 9063 . 2  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  =  1  \/  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
2 phi1 11277 . . . . 5  |-  ( phi `  1 )  =  1
3 0z 8731 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
4 hashsng 10171 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  ( `  { 0 } )  =  1 )
53, 4ax-mp 7 . . . . 5  |-  ( `  {
0 } )  =  1
6 rabid2 2543 . . . . . . 7  |-  ( { 0 }  =  {
x  e.  { 0 }  |  ( x  gcd  1 )  =  1 }  <->  A. x  e.  { 0 }  (
x  gcd  1 )  =  1 )
7 elsni 3459 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  { 0 }  ->  x  =  0 )
87oveq1d 5649 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  { 0 }  ->  ( x  gcd  1 )  =  ( 0  gcd  1 ) )
9 gcd1 11060 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0  gcd  1 )  =  1 )
103, 9ax-mp 7 . . . . . . . 8  |-  ( 0  gcd  1 )  =  1
118, 10syl6eq 2136 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { 0 }  ->  ( x  gcd  1 )  =  1 )
126, 11mprgbir 2433 . . . . . 6  |-  { 0 }  =  { x  e.  { 0 }  | 
( x  gcd  1
)  =  1 }
1312fveq2i 5292 . . . . 5  |-  ( `  {
0 } )  =  ( `  { x  e.  { 0 }  | 
( x  gcd  1
)  =  1 } )
142, 5, 133eqtr2i 2114 . . . 4  |-  ( phi `  1 )  =  ( `  { x  e.  { 0 }  | 
( x  gcd  1
)  =  1 } )
15 fveq2 5289 . . . 4  |-  ( N  =  1  ->  ( phi `  N )  =  ( phi `  1
) )
16 oveq2 5642 . . . . . . 7  |-  ( N  =  1  ->  (
0..^ N )  =  ( 0..^ 1 ) )
17 fzo01 9592 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ 1 )  =  {
0 }
1816, 17syl6eq 2136 . . . . . 6  |-  ( N  =  1  ->  (
0..^ N )  =  { 0 } )
19 oveq2 5642 . . . . . . 7  |-  ( N  =  1  ->  (
x  gcd  N )  =  ( x  gcd  1 ) )
2019eqeq1d 2096 . . . . . 6  |-  ( N  =  1  ->  (
( x  gcd  N
)  =  1  <->  (
x  gcd  1 )  =  1 ) )
2118, 20rabeqbidv 2614 . . . . 5  |-  ( N  =  1  ->  { x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  =  { x  e. 
{ 0 }  | 
( x  gcd  1
)  =  1 } )
2221fveq2d 5293 . . . 4  |-  ( N  =  1  ->  ( `  { x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 } )  =  ( `  {
x  e.  { 0 }  |  ( x  gcd  1 )  =  1 } ) )
2314, 15, 223eqtr4a 2146 . . 3  |-  ( N  =  1  ->  ( phi `  N )  =  ( `  { x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } ) )
24 eluz2nn 9026 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  NN )
25 phival 11271 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( phi `  N )  =  ( `  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 } ) )
2624, 25syl 14 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( phi `  N )  =  ( `  { x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } ) )
27 fzossfz 9541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1..^ N )  C_  (
1 ... N )
2827a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1..^ N )  C_  (
1 ... N ) )
29 sseqin2 3217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1..^ N )  C_  ( 1 ... N
)  <->  ( ( 1 ... N )  i^i  ( 1..^ N ) )  =  ( 1..^ N ) )
3028, 29sylib 120 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
1 ... N )  i^i  ( 1..^ N ) )  =  ( 1..^ N ) )
31 fzo0ss1 9550 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1..^ N )  C_  (
0..^ N )
32 sseqin2 3217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1..^ N )  C_  ( 0..^ N )  <->  ( (
0..^ N )  i^i  ( 1..^ N ) )  =  ( 1..^ N ) )
3331, 32mpbi 143 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0..^ N )  i^i  ( 1..^ N ) )  =  ( 1..^ N )
3430, 33syl6eqr 2138 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
1 ... N )  i^i  ( 1..^ N ) )  =  ( ( 0..^ N )  i^i  ( 1..^ N ) ) )
3534rabeqdv 2613 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  { x  e.  ( ( 1 ... N )  i^i  (
1..^ N ) )  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  =  { x  e.  ( ( 0..^ N )  i^i  ( 1..^ N ) )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 } )
36 inrab2 3270 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 }  i^i  ( 1..^ N ) )  =  {
x  e.  ( ( 1 ... N )  i^i  ( 1..^ N ) )  |  ( x  gcd  N )  =  1 }
37 inrab2 3270 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  i^i  ( 1..^ N ) )  =  { x  e.  ( ( 0..^ N )  i^i  ( 1..^ N ) )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 }
3835, 36, 373eqtr4g 2145 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( {
x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 }  i^i  ( 1..^ N ) )  =  ( { x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 }  i^i  ( 1..^ N ) ) )
39 phibndlem 11274 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  C_  (
1 ... ( N  - 
1 ) ) )
40 eluzelz 8997 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  ZZ )
41 fzoval 9524 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1..^ N )  =  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )
4240, 41syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1..^ N )  =  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )
4339, 42sseqtr4d 3061 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  C_  (
1..^ N ) )
44 df-ss 3010 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 } 
C_  ( 1..^ N )  <->  ( { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  i^i  (
1..^ N ) )  =  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )
4543, 44sylib 120 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( {
x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 }  i^i  ( 1..^ N ) )  =  {
x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 } )
46 gcd0id 11052 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  gcd  N )  =  ( abs `  N
) )
4740, 46syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 0  gcd  N )  =  ( abs `  N
) )
48 eluzelre 8998 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  RR )
49 eluzge2nn0 9027 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  NN0 )
5049nn0ge0d 8699 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <_  N )
5148, 50absidd 10565 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( abs `  N )  =  N )
5247, 51eqtrd 2120 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 0  gcd  N )  =  N )
53 eluz2b3 9060 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  N  =/=  1 ) )
5453simprbi 269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  =/=  1 )
5552, 54eqnetrd 2279 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 0  gcd  N )  =/=  1 )
5655adantr 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  x  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( 0  gcd  N )  =/=  1 )
577oveq1d 5649 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  { 0 }  ->  ( x  gcd  N )  =  ( 0  gcd  N ) )
5857, 17eleq2s 2182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 0..^ 1 )  ->  ( x  gcd  N )  =  ( 0  gcd  N ) )
5958neeq1d 2273 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0..^ 1 )  ->  ( (
x  gcd  N )  =/=  1  <->  ( 0  gcd 
N )  =/=  1
) )
6056, 59syl5ibrcom 155 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  x  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( 0..^ 1 )  ->  ( x  gcd  N )  =/=  1 ) )
6160necon2bd 2313 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  x  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( (
x  gcd  N )  =  1  ->  -.  x  e.  ( 0..^ 1 ) ) )
62 simpr 108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  x  e.  ( 0..^ N ) )  ->  x  e.  ( 0..^ N ) )
63 1z 8746 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ZZ
64 fzospliti 9552 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ N )  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  ( 0..^ 1 )  \/  x  e.  ( 1..^ N ) ) )
6562, 63, 64sylancl 404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  x  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( 0..^ 1 )  \/  x  e.  ( 1..^ N ) ) )
6665ord 678 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  x  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( -.  x  e.  ( 0..^ 1 )  ->  x  e.  ( 1..^ N ) ) )
6761, 66syld 44 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  x  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( (
x  gcd  N )  =  1  ->  x  e.  ( 1..^ N ) ) )
6867ralrimiva 2446 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A. x  e.  ( 0..^ N ) ( ( x  gcd  N )  =  1  ->  x  e.  ( 1..^ N ) ) )
69 rabss 3096 . . . . . . . 8  |-  ( { x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  C_  ( 1..^ N )  <->  A. x  e.  ( 0..^ N ) ( ( x  gcd  N )  =  1  ->  x  e.  ( 1..^ N ) ) )
7068, 69sylibr 132 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  { x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } 
C_  ( 1..^ N ) )
71 df-ss 3010 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  C_  ( 1..^ N )  <->  ( {
x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  i^i  ( 1..^ N ) )  =  { x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )
7270, 71sylib 120 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( {
x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  i^i  ( 1..^ N ) )  =  { x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )
7338, 45, 723eqtr3d 2128 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  =  {
x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )
7473fveq2d 5293 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( `  {
x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 } )  =  ( `  {
x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } ) )
7526, 74eqtrd 2120 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( phi `  N )  =  ( `  { x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 } ) )
7623, 75jaoi 671 . 2  |-  ( ( N  =  1  \/  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( phi `  N
)  =  ( `  {
x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } ) )
771, 76sylbi 119 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( phi `  N )  =  ( `  { x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    \/ wo 664    = wceq 1289    e. wcel 1438    =/= wne 2255   A.wral 2359   {crab 2363    i^i cin 2996    C_ wss 2997   {csn 3441   ` cfv 5002  (class class class)co 5634   0cc0 7329   1c1 7330    - cmin 7632   NNcn 8394   2c2 8444   ZZcz 8720   ZZ>=cuz 8988   ...cfz 9393  ..^cfzo 9518  ♯chash 10148   abscabs 10395    gcd cgcd 11020   phicphi 11268
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442  ax-arch 7443  ax-caucvg 7444
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-frec 6138  df-1o 6163  df-er 6272  df-en 6438  df-dom 6439  df-fin 6440  df-sup 6658  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-3 8453  df-4 8454  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-q 9074  df-rp 9104  df-fz 9394  df-fzo 9519  df-fl 9642  df-mod 9695  df-iseq 9818  df-seq3 9819  df-exp 9920  df-ihash 10149  df-cj 10241  df-re 10242  df-im 10243  df-rsqrt 10396  df-abs 10397  df-dvds 10879  df-gcd 11021  df-phi 11269
This theorem is referenced by:  phimullem  11283  hashgcdeq  11286
  Copyright terms: Public domain W3C validator