Theorem oeiv 6565

Description: Value of ordinal exponentiation. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
oeiv	|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A ↑o B ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem oeiv

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 6532	. . 3 |- 1o e. On
2		vex 2779	. . . . . . 7 |- x e. _V
3		omexg 6560	. . . . . . 7 |- ( ( x e. _V /\ A e. On ) -> ( x .o A ) e. _V )
4	2, 3	mpan 424	. . . . . 6 |- ( A e. On -> ( x .o A ) e. _V )
5	4	ralrimivw 2582	. . . . 5 |- ( A e. On -> A. x e. _V ( x .o A ) e. _V )
6		eqid 2207	. . . . . 6 |- ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) = ( x e. _V |-> ( x .o A ) )
7	6	fnmpt 5422	. . . . 5 |- ( A. x e. _V ( x .o A ) e. _V -> ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) Fn _V )
8	5, 7	syl 14	. . . 4 |- ( A e. On -> ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) Fn _V )
9		rdgexggg 6486	. . . 4 |- ( ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) Fn _V /\ 1o e. On /\ B e. On ) -> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) e. _V )
10	8, 9	syl3an1 1283	. . 3 |- ( ( A e. On /\ 1o e. On /\ B e. On ) -> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) e. _V )
11	1, 10	mp3an2 1338	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) e. _V )
12		oveq2 5975	. . . . . 6 |- ( y = A -> ( x .o y ) = ( x .o A ) )
13	12	mpteq2dv 4151	. . . . 5 |- ( y = A -> ( x e. _V |-> ( x .o y ) ) = ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) )
14		rdgeq1 6480	. . . . 5 |- ( ( x e. _V |-> ( x .o y ) ) = ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) -> rec ( ( x e. _V |-> ( x .o y ) ) , 1o ) = rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) )
15	13, 14	syl 14	. . . 4 |- ( y = A -> rec ( ( x e. _V |-> ( x .o y ) ) , 1o ) = rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) )
16	15	fveq1d 5601	. . 3 |- ( y = A -> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o y ) ) , 1o ) ` z ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` z ) )
17		fveq2 5599	. . 3 |- ( z = B -> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` z ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) )
18		df-oexpi 6531	. . 3 |- ↑o = ( y e. On , z e. On |-> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o y ) ) , 1o ) ` z ) )
19	16, 17, 18	ovmpog 6103	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) e. _V ) -> ( A ↑o B ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) )
20	11, 19	mpd3an3 1351	1 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A ↑o B ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   _Vcvv 2776   |-> cmpt 4121   Oncon0 4428   Fn wfn 5285   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   reccrdg 6478   1oc1o 6518   .o comu 6523   ↑_o coei 6524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-1o 6525  df-oadd 6529  df-omul 6530  df-oexpi 6531

This theorem is referenced by:  oei0  6568  oeicl  6571