Theorem oeiv 6424

Description: Value of ordinal exponentiation. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
oeiv	|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A ↑o B ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem oeiv

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 6391	. . 3 |- 1o e. On
2		vex 2729	. . . . . . 7 |- x e. _V
3		omexg 6419	. . . . . . 7 |- ( ( x e. _V /\ A e. On ) -> ( x .o A ) e. _V )
4	2, 3	mpan 421	. . . . . 6 |- ( A e. On -> ( x .o A ) e. _V )
5	4	ralrimivw 2540	. . . . 5 |- ( A e. On -> A. x e. _V ( x .o A ) e. _V )
6		eqid 2165	. . . . . 6 |- ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) = ( x e. _V |-> ( x .o A ) )
7	6	fnmpt 5314	. . . . 5 |- ( A. x e. _V ( x .o A ) e. _V -> ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) Fn _V )
8	5, 7	syl 14	. . . 4 |- ( A e. On -> ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) Fn _V )
9		rdgexggg 6345	. . . 4 |- ( ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) Fn _V /\ 1o e. On /\ B e. On ) -> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) e. _V )
10	8, 9	syl3an1 1261	. . 3 |- ( ( A e. On /\ 1o e. On /\ B e. On ) -> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) e. _V )
11	1, 10	mp3an2 1315	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) e. _V )
12		oveq2 5850	. . . . . 6 |- ( y = A -> ( x .o y ) = ( x .o A ) )
13	12	mpteq2dv 4073	. . . . 5 |- ( y = A -> ( x e. _V |-> ( x .o y ) ) = ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) )
14		rdgeq1 6339	. . . . 5 |- ( ( x e. _V |-> ( x .o y ) ) = ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) -> rec ( ( x e. _V |-> ( x .o y ) ) , 1o ) = rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) )
15	13, 14	syl 14	. . . 4 |- ( y = A -> rec ( ( x e. _V |-> ( x .o y ) ) , 1o ) = rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) )
16	15	fveq1d 5488	. . 3 |- ( y = A -> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o y ) ) , 1o ) ` z ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` z ) )
17		fveq2 5486	. . 3 |- ( z = B -> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` z ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) )
18		df-oexpi 6390	. . 3 |- ↑o = ( y e. On , z e. On |-> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o y ) ) , 1o ) ` z ) )
19	16, 17, 18	ovmpog 5976	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) e. _V ) -> ( A ↑o B ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) )
20	11, 19	mpd3an3 1328	1 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A ↑o B ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   _Vcvv 2726   |-> cmpt 4043   Oncon0 4341   Fn wfn 5183   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   reccrdg 6337   1oc1o 6377   .o comu 6382   ↑_o coei 6383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-omul 6389  df-oexpi 6390

This theorem is referenced by:  oei0  6427  oeicl  6430