ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rdgexggg GIF version

Theorem rdgexggg 6142
Description: The recursive definition generator produces a set on a set input. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
rdgexggg ((𝐹 Fn V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑊) → (rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem rdgexggg
Dummy variables 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-irdg 6135 . . 3 rec(𝐹, 𝐴) = recs((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)))))
2 rdgruledefgg 6140 . . . 4 ((𝐹 Fn V ∧ 𝐴𝑉) → (Fun (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)))) ∧ ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘𝑦) ∈ V))
32alrimiv 1802 . . 3 ((𝐹 Fn V ∧ 𝐴𝑉) → ∀𝑦(Fun (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)))) ∧ ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘𝑦) ∈ V))
41, 3tfrex 6133 . 2 (((𝐹 Fn V ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝐵𝑊) → (rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵) ∈ V)
543impa 1138 1 ((𝐹 Fn V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑊) → (rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵) ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  w3a 924  wcel 1438  Vcvv 2619  cun 2997   ciun 3730  cmpt 3899  dom cdm 4438  Fun wfun 5009   Fn wfn 5010  cfv 5015  reccrdg 6134
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-recs 6070  df-irdg 6135
This theorem is referenced by:  rdgexgg  6143  rdgisucinc  6150  omv  6216  oeiv  6217
  Copyright terms: Public domain W3C validator