Theorem rdgexggg 6470

Description: The recursive definition generator produces a set on a set input. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rdgexggg	⊢ ((𝐹 Fn V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem rdgexggg

Dummy variables 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-irdg 6463	. . 3 ⊢ rec(𝐹, 𝐴) = recs((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥)))))
2		rdgruledefgg 6468	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (Fun (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥)))) ∧ ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥))))‘𝑦) ∈ V))
3	2	alrimiv 1898	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ∀𝑦(Fun (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥)))) ∧ ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥))))‘𝑦) ∈ V))
4	1, 3	tfrex 6461	. 2 ⊢ (((𝐹 Fn V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵) ∈ V)
5	4	3impa 1197	1 ⊢ ((𝐹 Fn V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 981   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773   ∪ cun 3165  ∪ ciun 3929   ↦ cmpt 4109  dom cdm 4679  Fun wfun 5270   Fn wfn 5271  ‘cfv 5276  reccrdg 6462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-iord 4417  df-on 4419  df-suc 4422  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-recs 6398  df-irdg 6463

This theorem is referenced by:  rdgexgg  6471  rdgisucinc  6478  omv  6548  oeiv  6549