Theorem rdgexggg 6142

Description: The recursive definition generator produces a set on a set input. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rdgexggg	⊢ ((𝐹 Fn V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem rdgexggg

Dummy variables 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-irdg 6135	. . 3 ⊢ rec(𝐹, 𝐴) = recs((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥)))))
2		rdgruledefgg 6140	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (Fun (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥)))) ∧ ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥))))‘𝑦) ∈ V))
3	2	alrimiv 1802	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ∀𝑦(Fun (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥)))) ∧ ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥))))‘𝑦) ∈ V))
4	1, 3	tfrex 6133	. 2 ⊢ (((𝐹 Fn V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵) ∈ V)
5	4	3impa 1138	1 ⊢ ((𝐹 Fn V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ∧ w3a 924   ∈ wcel 1438  Vcvv 2619   ∪ cun 2997  ∪ ciun 3730   ↦ cmpt 3899  dom cdm 4438  Fun wfun 5009   Fn wfn 5010  ‘cfv 5015  reccrdg 6134

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-recs 6070  df-irdg 6135

This theorem is referenced by:  rdgexgg  6143  rdgisucinc  6150  omv  6216  oeiv  6217