Theorem metn0 14557

Description: A metric space is nonempty iff its base set is nonempty. (Contributed by NM, 4-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
metn0	|- ( D e. ( Met ` X ) -> ( D =/= (/) <-> X =/= (/) ) )

Proof of Theorem metn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metf 14530	. . . . 5 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR )
2		frel 5409	. . . . 5 |- ( D : ( X X. X ) --> RR -> Rel D )
3		reldm0 4881	. . . . 5 |- ( Rel D -> ( D = (/) <-> dom D = (/) ) )
4	1, 2, 3	3syl 17	. . . 4 |- ( D e. ( Met ` X ) -> ( D = (/) <-> dom D = (/) ) )
5	1	fdmd 5411	. . . . 5 |- ( D e. ( Met ` X ) -> dom D = ( X X. X ) )
6	5	eqeq1d 2202	. . . 4 |- ( D e. ( Met ` X ) -> ( dom D = (/) <-> ( X X. X ) = (/) ) )
7	4, 6	bitrd 188	. . 3 |- ( D e. ( Met ` X ) -> ( D = (/) <-> ( X X. X ) = (/) ) )
8		sqxpeq0 5090	. . 3 |- ( ( X X. X ) = (/) <-> X = (/) )
9	7, 8	bitrdi 196	. 2 |- ( D e. ( Met ` X ) -> ( D = (/) <-> X = (/) ) )
10	9	necon3bid 2405	1 |- ( D e. ( Met ` X ) -> ( D =/= (/) <-> X =/= (/) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   (/)c0 3447   X. cxp 4658   dom cdm 4660   Rel wrel 4665   -->wf 5251   ` cfv 5255   RRcr 7873   Metcmet 14036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-map 6706  df-met 14044

This theorem is referenced by: (None)