Theorem metn0 12547

Description: A metric space is nonempty iff its base set is nonempty. (Contributed by NM, 4-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
metn0	|- ( D e. ( Met ` X ) -> ( D =/= (/) <-> X =/= (/) ) )

Proof of Theorem metn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metf 12520	. . . . 5 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR )
2		frel 5277	. . . . 5 |- ( D : ( X X. X ) --> RR -> Rel D )
3		reldm0 4757	. . . . 5 |- ( Rel D -> ( D = (/) <-> dom D = (/) ) )
4	1, 2, 3	3syl 17	. . . 4 |- ( D e. ( Met ` X ) -> ( D = (/) <-> dom D = (/) ) )
5	1	fdmd 5279	. . . . 5 |- ( D e. ( Met ` X ) -> dom D = ( X X. X ) )
6	5	eqeq1d 2148	. . . 4 |- ( D e. ( Met ` X ) -> ( dom D = (/) <-> ( X X. X ) = (/) ) )
7	4, 6	bitrd 187	. . 3 |- ( D e. ( Met ` X ) -> ( D = (/) <-> ( X X. X ) = (/) ) )
8		sqxpeq0 4962	. . 3 |- ( ( X X. X ) = (/) <-> X = (/) )
9	7, 8	syl6bb 195	. 2 |- ( D e. ( Met ` X ) -> ( D = (/) <-> X = (/) ) )
10	9	necon3bid 2349	1 |- ( D e. ( Met ` X ) -> ( D =/= (/) <-> X =/= (/) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   =/= wne 2308   (/)c0 3363   X. cxp 4537   dom cdm 4539   Rel wrel 4544   -->wf 5119   ` cfv 5123   RRcr 7619   Metcmet 12150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-map 6544  df-met 12158

This theorem is referenced by: (None)