Theorem metn0 13018

Description: A metric space is nonempty iff its base set is nonempty. (Contributed by NM, 4-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
metn0	|- ( D e. ( Met ` X ) -> ( D =/= (/) <-> X =/= (/) ) )

Proof of Theorem metn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metf 12991	. . . . 5 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR )
2		frel 5342	. . . . 5 |- ( D : ( X X. X ) --> RR -> Rel D )
3		reldm0 4822	. . . . 5 |- ( Rel D -> ( D = (/) <-> dom D = (/) ) )
4	1, 2, 3	3syl 17	. . . 4 |- ( D e. ( Met ` X ) -> ( D = (/) <-> dom D = (/) ) )
5	1	fdmd 5344	. . . . 5 |- ( D e. ( Met ` X ) -> dom D = ( X X. X ) )
6	5	eqeq1d 2174	. . . 4 |- ( D e. ( Met ` X ) -> ( dom D = (/) <-> ( X X. X ) = (/) ) )
7	4, 6	bitrd 187	. . 3 |- ( D e. ( Met ` X ) -> ( D = (/) <-> ( X X. X ) = (/) ) )
8		sqxpeq0 5027	. . 3 |- ( ( X X. X ) = (/) <-> X = (/) )
9	7, 8	bitrdi 195	. 2 |- ( D e. ( Met ` X ) -> ( D = (/) <-> X = (/) ) )
10	9	necon3bid 2377	1 |- ( D e. ( Met ` X ) -> ( D =/= (/) <-> X =/= (/) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   =/= wne 2336   (/)c0 3409   X. cxp 4602   dom cdm 4604   Rel wrel 4609   -->wf 5184   ` cfv 5188   RRcr 7752   Metcmet 12621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-map 6616  df-met 12629

This theorem is referenced by: (None)