Theorem metn0 14935

Description: A metric space is nonempty iff its base set is nonempty. (Contributed by NM, 4-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
metn0	|- ( D e. ( Met ` X ) -> ( D =/= (/) <-> X =/= (/) ) )

Proof of Theorem metn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metf 14908	. . . . 5 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR )
2		frel 5445	. . . . 5 |- ( D : ( X X. X ) --> RR -> Rel D )
3		reldm0 4910	. . . . 5 |- ( Rel D -> ( D = (/) <-> dom D = (/) ) )
4	1, 2, 3	3syl 17	. . . 4 |- ( D e. ( Met ` X ) -> ( D = (/) <-> dom D = (/) ) )
5	1	fdmd 5447	. . . . 5 |- ( D e. ( Met ` X ) -> dom D = ( X X. X ) )
6	5	eqeq1d 2215	. . . 4 |- ( D e. ( Met ` X ) -> ( dom D = (/) <-> ( X X. X ) = (/) ) )
7	4, 6	bitrd 188	. . 3 |- ( D e. ( Met ` X ) -> ( D = (/) <-> ( X X. X ) = (/) ) )
8		sqxpeq0 5120	. . 3 |- ( ( X X. X ) = (/) <-> X = (/) )
9	7, 8	bitrdi 196	. 2 |- ( D e. ( Met ` X ) -> ( D = (/) <-> X = (/) ) )
10	9	necon3bid 2418	1 |- ( D e. ( Met ` X ) -> ( D =/= (/) <-> X =/= (/) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2177   =/= wne 2377   (/)c0 3464   X. cxp 4686   dom cdm 4688   Rel wrel 4693   -->wf 5281   ` cfv 5285   RRcr 7954   Metcmet 14384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-id 4353  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-fv 5293  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-map 6755  df-met 14392

This theorem is referenced by: (None)