Theorem reldm0 4642

Description: A relation is empty iff its domain is empty. (Contributed by NM, 15-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
reldm0	⊢ (Rel 𝐴 → (𝐴 = ∅ ↔ dom 𝐴 = ∅))

Proof of Theorem reldm0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rel0 4550	. . 3 ⊢ Rel ∅
2		eqrel 4515	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ Rel ∅) → (𝐴 = ∅ ↔ ∀𝑥∀𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∅)))
3	1, 2	mpan2 416	. 2 ⊢ (Rel 𝐴 → (𝐴 = ∅ ↔ ∀𝑥∀𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∅)))
4		eq0 3299	. . 3 ⊢ (dom 𝐴 = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐴)
5		alnex 1433	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ¬ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ↔ ¬ ∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴)
6		vex 2622	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
7	6	eldm2 4622	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝐴 ↔ ∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴)
8	5, 7	xchbinxr 643	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ¬ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ↔ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐴)
9		noel 3288	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∅
10	9	nbn 650	. . . . . 6 ⊢ (¬ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ↔ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∅))
11	10	albii 1404	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ¬ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∅))
12	8, 11	bitr3i 184	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ dom 𝐴 ↔ ∀𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∅))
13	12	albii 1404	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐴 ↔ ∀𝑥∀𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∅))
14	4, 13	bitr2i 183	. 2 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∅) ↔ dom 𝐴 = ∅)
15	3, 14	syl6bb 194	1 ⊢ (Rel 𝐴 → (𝐴 = ∅ ↔ dom 𝐴 = ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 103  ∀wal 1287   = wceq 1289  ∃wex 1426   ∈ wcel 1438  ∅c0 3284  ⟨cop 3444  dom cdm 4428  Rel wrel 4433

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-v 2621  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-br 3838  df-opab 3892  df-xp 4434  df-rel 4435  df-dm 4438

This theorem is referenced by:  relrn0  4683  fnresdisj  5110  fn0  5119  fsnunfv  5481