Theorem reldm0 4757

Description: A relation is empty iff its domain is empty. (Contributed by NM, 15-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
reldm0	⊢ (Rel 𝐴 → (𝐴 = ∅ ↔ dom 𝐴 = ∅))

Proof of Theorem reldm0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rel0 4664	. . 3 ⊢ Rel ∅
2		eqrel 4628	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ Rel ∅) → (𝐴 = ∅ ↔ ∀𝑥∀𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∅)))
3	1, 2	mpan2 421	. 2 ⊢ (Rel 𝐴 → (𝐴 = ∅ ↔ ∀𝑥∀𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∅)))
4		eq0 3381	. . 3 ⊢ (dom 𝐴 = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐴)
5		alnex 1475	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ¬ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ↔ ¬ ∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴)
6		vex 2689	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
7	6	eldm2 4737	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝐴 ↔ ∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴)
8	5, 7	xchbinxr 672	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ¬ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ↔ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐴)
9		noel 3367	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∅
10	9	nbn 688	. . . . . 6 ⊢ (¬ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ↔ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∅))
11	10	albii 1446	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ¬ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∅))
12	8, 11	bitr3i 185	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ dom 𝐴 ↔ ∀𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∅))
13	12	albii 1446	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐴 ↔ ∀𝑥∀𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∅))
14	4, 13	bitr2i 184	. 2 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∅) ↔ dom 𝐴 = ∅)
15	3, 14	syl6bb 195	1 ⊢ (Rel 𝐴 → (𝐴 = ∅ ↔ dom 𝐴 = ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 104  ∀wal 1329   = wceq 1331  ∃wex 1468   ∈ wcel 1480  ∅c0 3363  ⟨cop 3530  dom cdm 4539  Rel wrel 4544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-rel 4546  df-dm 4549

This theorem is referenced by:  relrn0  4801  fnresdisj  5233  fn0  5242  fsnunfv  5621  setsresg  11997  metn0  12547