Theorem restopn2 13686

Description: If A is open, then B is open in A iff it is an open subset of A. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
restopn2	|- ( ( J e. Top /\ A e. J ) -> ( B e. ( J ↾t A ) <-> ( B e. J /\ B C_ A ) ) )

Proof of Theorem restopn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elssuni 3838	. . . . 5 |- ( B e. ( J ↾t A ) -> B C_ U. ( J ↾t A ) )
2		elssuni 3838	. . . . . . 7 |- ( A e. J -> A C_ U. J )
3		eqid 2177	. . . . . . . 8 |- U. J = U. J
4	3	restuni 13675	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ A C_ U. J ) -> A = U. ( J ↾t A ) )
5	2, 4	sylan2 286	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ A e. J ) -> A = U. ( J ↾t A ) )
6	5	sseq2d 3186	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ A e. J ) -> ( B C_ A <-> B C_ U. ( J ↾t A ) ) )
7	1, 6	imbitrrid 156	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A e. J ) -> ( B e. ( J ↾t A ) -> B C_ A ) )
8	7	pm4.71rd 394	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ A e. J ) -> ( B e. ( J ↾t A ) <-> ( B C_ A /\ B e. ( J ↾t A ) ) ) )
9		simpll 527	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. J ) /\ B C_ A ) -> J e. Top )
10		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. J ) /\ B C_ A ) -> A e. J )
11		ssidd 3177	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. J ) /\ B C_ A ) -> A C_ A )
12		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. J ) /\ B C_ A ) -> B C_ A )
13		restopnb 13684	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. J ) /\ ( A e. J /\ A C_ A /\ B C_ A ) ) -> ( B e. J <-> B e. ( J ↾t A ) ) )
14	9, 10, 10, 11, 12, 13	syl23anc 1245	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. J ) /\ B C_ A ) -> ( B e. J <-> B e. ( J ↾t A ) ) )
15	14	pm5.32da 452	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ A e. J ) -> ( ( B C_ A /\ B e. J ) <-> ( B C_ A /\ B e. ( J ↾t A ) ) ) )
16	8, 15	bitr4d 191	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A e. J ) -> ( B e. ( J ↾t A ) <-> ( B C_ A /\ B e. J ) ) )
17		ancom 266	. 2 |- ( ( B C_ A /\ B e. J ) <-> ( B e. J /\ B C_ A ) )
18	16, 17	bitrdi 196	1 |- ( ( J e. Top /\ A e. J ) -> ( B e. ( J ↾t A ) <-> ( B e. J /\ B C_ A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   C_ wss 3130   U.cuni 3810  (class class class)co 5875   ↾_t crest 12688   Topctop 13500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-rest 12690  df-topgen 12709  df-top 13501  df-topon 13514  df-bases 13546

This theorem is referenced by:  restdis  13687