ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  restopn2 Unicode version

Theorem restopn2 13350
Description: If  A is open, then  B is open in  A iff it is an open subset of  A. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
restopn2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J )  ->  ( B  e.  ( Jt  A )  <->  ( B  e.  J  /\  B  C_  A ) ) )

Proof of Theorem restopn2
StepHypRef Expression
1 elssuni 3835 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( Jt  A )  ->  B  C_  U. ( Jt  A ) )
2 elssuni 3835 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  J  ->  A  C_ 
U. J )
3 eqid 2177 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
43restuni 13339 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  U. J )  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )
52, 4sylan2 286 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J )  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )
65sseq2d 3185 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J )  ->  ( B  C_  A  <->  B 
C_  U. ( Jt  A ) ) )
71, 6syl5ibr 156 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J )  ->  ( B  e.  ( Jt  A )  ->  B  C_  A ) )
87pm4.71rd 394 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J )  ->  ( B  e.  ( Jt  A )  <->  ( B  C_  A  /\  B  e.  ( Jt  A ) ) ) )
9 simpll 527 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J )  /\  B  C_  A
)  ->  J  e.  Top )
10 simplr 528 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J )  /\  B  C_  A
)  ->  A  e.  J )
11 ssidd 3176 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J )  /\  B  C_  A
)  ->  A  C_  A
)
12 simpr 110 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J )  /\  B  C_  A
)  ->  B  C_  A
)
13 restopnb 13348 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J )  /\  ( A  e.  J  /\  A  C_  A  /\  B  C_  A
) )  ->  ( B  e.  J  <->  B  e.  ( Jt  A ) ) )
149, 10, 10, 11, 12, 13syl23anc 1245 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J )  /\  B  C_  A
)  ->  ( B  e.  J  <->  B  e.  ( Jt  A ) ) )
1514pm5.32da 452 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J )  ->  ( ( B  C_  A  /\  B  e.  J
)  <->  ( B  C_  A  /\  B  e.  ( Jt  A ) ) ) )
168, 15bitr4d 191 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J )  ->  ( B  e.  ( Jt  A )  <->  ( B  C_  A  /\  B  e.  J ) ) )
17 ancom 266 . 2  |-  ( ( B  C_  A  /\  B  e.  J )  <->  ( B  e.  J  /\  B  C_  A ) )
1816, 17bitrdi 196 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J )  ->  ( B  e.  ( Jt  A )  <->  ( B  e.  J  /\  B  C_  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2148    C_ wss 3129   U.cuni 3807  (class class class)co 5869   ↾t crest 12636   Topctop 13162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-rest 12638  df-topgen 12657  df-top 13163  df-topon 13176  df-bases 13208
This theorem is referenced by:  restdis  13351
  Copyright terms: Public domain W3C validator