Theorem restopn2 14573

Description: If A is open, then B is open in A iff it is an open subset of A. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
restopn2	|- ( ( J e. Top /\ A e. J ) -> ( B e. ( J ↾t A ) <-> ( B e. J /\ B C_ A ) ) )

Proof of Theorem restopn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elssuni 3877	. . . . 5 |- ( B e. ( J ↾t A ) -> B C_ U. ( J ↾t A ) )
2		elssuni 3877	. . . . . . 7 |- ( A e. J -> A C_ U. J )
3		eqid 2204	. . . . . . . 8 |- U. J = U. J
4	3	restuni 14562	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ A C_ U. J ) -> A = U. ( J ↾t A ) )
5	2, 4	sylan2 286	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ A e. J ) -> A = U. ( J ↾t A ) )
6	5	sseq2d 3222	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ A e. J ) -> ( B C_ A <-> B C_ U. ( J ↾t A ) ) )
7	1, 6	imbitrrid 156	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A e. J ) -> ( B e. ( J ↾t A ) -> B C_ A ) )
8	7	pm4.71rd 394	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ A e. J ) -> ( B e. ( J ↾t A ) <-> ( B C_ A /\ B e. ( J ↾t A ) ) ) )
9		simpll 527	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. J ) /\ B C_ A ) -> J e. Top )
10		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. J ) /\ B C_ A ) -> A e. J )
11		ssidd 3213	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. J ) /\ B C_ A ) -> A C_ A )
12		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. J ) /\ B C_ A ) -> B C_ A )
13		restopnb 14571	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. J ) /\ ( A e. J /\ A C_ A /\ B C_ A ) ) -> ( B e. J <-> B e. ( J ↾t A ) ) )
14	9, 10, 10, 11, 12, 13	syl23anc 1256	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. J ) /\ B C_ A ) -> ( B e. J <-> B e. ( J ↾t A ) ) )
15	14	pm5.32da 452	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ A e. J ) -> ( ( B C_ A /\ B e. J ) <-> ( B C_ A /\ B e. ( J ↾t A ) ) ) )
16	8, 15	bitr4d 191	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A e. J ) -> ( B e. ( J ↾t A ) <-> ( B C_ A /\ B e. J ) ) )
17		ancom 266	. 2 |- ( ( B C_ A /\ B e. J ) <-> ( B e. J /\ B C_ A ) )
18	16, 17	bitrdi 196	1 |- ( ( J e. Top /\ A e. J ) -> ( B e. ( J ↾t A ) <-> ( B e. J /\ B C_ A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1372   e. wcel 2175   C_ wss 3165   U.cuni 3849  (class class class)co 5934   ↾_t crest 12989   Topctop 14387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-1st 6216  df-2nd 6217  df-rest 12991  df-topgen 13010  df-top 14388  df-topon 14401  df-bases 14433

This theorem is referenced by:  restdis  14574