Theorem restopn2 14419

Description: If A is open, then B is open in A iff it is an open subset of A. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
restopn2	|- ( ( J e. Top /\ A e. J ) -> ( B e. ( J ↾t A ) <-> ( B e. J /\ B C_ A ) ) )

Proof of Theorem restopn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elssuni 3867	. . . . 5 |- ( B e. ( J ↾t A ) -> B C_ U. ( J ↾t A ) )
2		elssuni 3867	. . . . . . 7 |- ( A e. J -> A C_ U. J )
3		eqid 2196	. . . . . . . 8 |- U. J = U. J
4	3	restuni 14408	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ A C_ U. J ) -> A = U. ( J ↾t A ) )
5	2, 4	sylan2 286	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ A e. J ) -> A = U. ( J ↾t A ) )
6	5	sseq2d 3213	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ A e. J ) -> ( B C_ A <-> B C_ U. ( J ↾t A ) ) )
7	1, 6	imbitrrid 156	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A e. J ) -> ( B e. ( J ↾t A ) -> B C_ A ) )
8	7	pm4.71rd 394	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ A e. J ) -> ( B e. ( J ↾t A ) <-> ( B C_ A /\ B e. ( J ↾t A ) ) ) )
9		simpll 527	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. J ) /\ B C_ A ) -> J e. Top )
10		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. J ) /\ B C_ A ) -> A e. J )
11		ssidd 3204	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. J ) /\ B C_ A ) -> A C_ A )
12		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. J ) /\ B C_ A ) -> B C_ A )
13		restopnb 14417	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. J ) /\ ( A e. J /\ A C_ A /\ B C_ A ) ) -> ( B e. J <-> B e. ( J ↾t A ) ) )
14	9, 10, 10, 11, 12, 13	syl23anc 1256	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. J ) /\ B C_ A ) -> ( B e. J <-> B e. ( J ↾t A ) ) )
15	14	pm5.32da 452	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ A e. J ) -> ( ( B C_ A /\ B e. J ) <-> ( B C_ A /\ B e. ( J ↾t A ) ) ) )
16	8, 15	bitr4d 191	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A e. J ) -> ( B e. ( J ↾t A ) <-> ( B C_ A /\ B e. J ) ) )
17		ancom 266	. 2 |- ( ( B C_ A /\ B e. J ) <-> ( B e. J /\ B C_ A ) )
18	16, 17	bitrdi 196	1 |- ( ( J e. Top /\ A e. J ) -> ( B e. ( J ↾t A ) <-> ( B e. J /\ B C_ A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   C_ wss 3157   U.cuni 3839  (class class class)co 5922   ↾_t crest 12910   Topctop 14233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-rest 12912  df-topgen 12931  df-top 14234  df-topon 14247  df-bases 14279

This theorem is referenced by:  restdis  14420