Theorem restopn2 14362

Description: If A is open, then B is open in A iff it is an open subset of A. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
restopn2	|- ( ( J e. Top /\ A e. J ) -> ( B e. ( J ↾t A ) <-> ( B e. J /\ B C_ A ) ) )

Proof of Theorem restopn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elssuni 3864	. . . . 5 |- ( B e. ( J ↾t A ) -> B C_ U. ( J ↾t A ) )
2		elssuni 3864	. . . . . . 7 |- ( A e. J -> A C_ U. J )
3		eqid 2193	. . . . . . . 8 |- U. J = U. J
4	3	restuni 14351	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ A C_ U. J ) -> A = U. ( J ↾t A ) )
5	2, 4	sylan2 286	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ A e. J ) -> A = U. ( J ↾t A ) )
6	5	sseq2d 3210	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ A e. J ) -> ( B C_ A <-> B C_ U. ( J ↾t A ) ) )
7	1, 6	imbitrrid 156	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A e. J ) -> ( B e. ( J ↾t A ) -> B C_ A ) )
8	7	pm4.71rd 394	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ A e. J ) -> ( B e. ( J ↾t A ) <-> ( B C_ A /\ B e. ( J ↾t A ) ) ) )
9		simpll 527	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. J ) /\ B C_ A ) -> J e. Top )
10		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. J ) /\ B C_ A ) -> A e. J )
11		ssidd 3201	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. J ) /\ B C_ A ) -> A C_ A )
12		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. J ) /\ B C_ A ) -> B C_ A )
13		restopnb 14360	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. J ) /\ ( A e. J /\ A C_ A /\ B C_ A ) ) -> ( B e. J <-> B e. ( J ↾t A ) ) )
14	9, 10, 10, 11, 12, 13	syl23anc 1256	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. J ) /\ B C_ A ) -> ( B e. J <-> B e. ( J ↾t A ) ) )
15	14	pm5.32da 452	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ A e. J ) -> ( ( B C_ A /\ B e. J ) <-> ( B C_ A /\ B e. ( J ↾t A ) ) ) )
16	8, 15	bitr4d 191	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A e. J ) -> ( B e. ( J ↾t A ) <-> ( B C_ A /\ B e. J ) ) )
17		ancom 266	. 2 |- ( ( B C_ A /\ B e. J ) <-> ( B e. J /\ B C_ A ) )
18	16, 17	bitrdi 196	1 |- ( ( J e. Top /\ A e. J ) -> ( B e. ( J ↾t A ) <-> ( B e. J /\ B C_ A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   C_ wss 3154   U.cuni 3836  (class class class)co 5919   ↾_t crest 12853   Topctop 14176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-rest 12855  df-topgen 12874  df-top 14177  df-topon 14190  df-bases 14222

This theorem is referenced by:  restdis  14363