Theorem toptopon 15210

Description: Alternative definition of Top in terms of TopOn. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
toptopon.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
toptopon	|- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )

Proof of Theorem toptopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toptopon.1	. . 3 |- X = U. J
2		istopon 15205	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) <-> ( J e. Top /\ X = U. J ) )
3	1, 2	mpbiran2 954	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) <-> J e. Top )
4	3	bicomi 132	1 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )

This proof depends on syntax axioms:   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   U.cuni 3935   ` cfv 5377   Topctop 15189  TopOnctopon 15202

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-topon 15203

This theorem is used by:  toptopon2  15211  eltpsi  15233  restuni  15364  stoig  15365  iscn2  15392  lmcvg  15409  cnpnei  15411  cnss1  15418  cnss2  15419  cncnpi  15420  cncnp2m  15423  cnnei  15424  cnrest  15427  cnrest2  15428  cnrest2r  15429  cnptoprest  15431  cnptoprest2  15432  lmss  15438  txuni  15455  txcnmpt  15465  txcn  15467  cnmpt11  15475  cnmpt11f  15476  imasnopn  15491  hmeof1o  15501  hmeores  15507  txhmeo  15511  retopon  15718