Theorem toptopon 14523

Description: Alternative definition of Top in terms of TopOn. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
toptopon.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
toptopon	|- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )

Proof of Theorem toptopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toptopon.1	. . 3 |- X = U. J
2		istopon 14518	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) <-> ( J e. Top /\ X = U. J ) )
3	1, 2	mpbiran2 944	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) <-> J e. Top )
4	3	bicomi 132	1 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176   U.cuni 3850   ` cfv 5272   Topctop 14502  TopOnctopon 14515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fv 5280  df-topon 14516

This theorem is referenced by:  toptopon2  14524  eltpsi  14546  restuni  14677  stoig  14678  iscn2  14705  lmcvg  14722  cnpnei  14724  cnss1  14731  cnss2  14732  cncnpi  14733  cncnp2m  14736  cnnei  14737  cnrest  14740  cnrest2  14741  cnrest2r  14742  cnptoprest  14744  cnptoprest2  14745  lmss  14751  txuni  14768  txcnmpt  14778  txcn  14780  cnmpt11  14788  cnmpt11f  14789  imasnopn  14804  hmeof1o  14814  hmeores  14820  txhmeo  14824  retopon  15031