Theorem toptopon 15244

Description: Alternative definition of Top in terms of TopOn. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
toptopon.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
toptopon	|- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )

Proof of Theorem toptopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toptopon.1	. . 3 |- X = U. J
2		istopon 15239	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) <-> ( J e. Top /\ X = U. J ) )
3	1, 2	mpbiran2 954	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) <-> J e. Top )
4	3	bicomi 132	1 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )

This proof depends on syntax axioms:   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   U.cuni 3935   ` cfv 5380   Topctop 15223  TopOnctopon 15236

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-topon 15237

This theorem is used by:  toptopon2  15245  eltpsi  15267  restuni  15398  stoig  15399  iscn2  15426  lmcvg  15443  cnpnei  15445  cnss1  15452  cnss2  15453  cncnpi  15454  cncnp2m  15457  cnnei  15458  cnrest  15461  cnrest2  15462  cnrest2r  15463  cnptoprest  15465  cnptoprest2  15466  lmss  15472  txuni  15489  txcnmpt  15499  txcn  15501  cnmpt11  15509  cnmpt11f  15510  imasnopn  15525  hmeof1o  15535  hmeores  15541  txhmeo  15545  retopon  15752