Theorem toptopon 12185

Description: Alternative definition of Top in terms of TopOn. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
toptopon.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
toptopon	|- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )

Proof of Theorem toptopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toptopon.1	. . 3 |- X = U. J
2		istopon 12180	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) <-> ( J e. Top /\ X = U. J ) )
3	1, 2	mpbiran2 925	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) <-> J e. Top )
4	3	bicomi 131	1 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )

Syntax hints:   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   U.cuni 3736   ` cfv 5123   Topctop 12164  TopOnctopon 12177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-topon 12178

This theorem is referenced by:  toptopon2  12186  eltpsi  12208  restuni  12341  stoig  12342  iscn2  12369  lmcvg  12386  cnpnei  12388  cnss1  12395  cnss2  12396  cncnpi  12397  cncnp2m  12400  cnnei  12401  cnrest  12404  cnrest2  12405  cnrest2r  12406  cnptoprest  12408  cnptoprest2  12409  lmss  12415  txuni  12432  txcnmpt  12442  txcn  12444  cnmpt11  12452  cnmpt11f  12453  imasnopn  12468  hmeof1o  12478  hmeores  12484  txhmeo  12488  retopon  12695