Theorem toptopon 14490

Description: Alternative definition of Top in terms of TopOn. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
toptopon.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
toptopon	|- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )

Proof of Theorem toptopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toptopon.1	. . 3 |- X = U. J
2		istopon 14485	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) <-> ( J e. Top /\ X = U. J ) )
3	1, 2	mpbiran2 944	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) <-> J e. Top )
4	3	bicomi 132	1 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176   U.cuni 3850   ` cfv 5271   Topctop 14469  TopOnctopon 14482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-topon 14483

This theorem is referenced by:  toptopon2  14491  eltpsi  14513  restuni  14644  stoig  14645  iscn2  14672  lmcvg  14689  cnpnei  14691  cnss1  14698  cnss2  14699  cncnpi  14700  cncnp2m  14703  cnnei  14704  cnrest  14707  cnrest2  14708  cnrest2r  14709  cnptoprest  14711  cnptoprest2  14712  lmss  14718  txuni  14735  txcnmpt  14745  txcn  14747  cnmpt11  14755  cnmpt11f  14756  imasnopn  14771  hmeof1o  14781  hmeores  14787  txhmeo  14791  retopon  14998