Theorem toptopon 12025

Description: Alternative definition of Top in terms of TopOn. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
toptopon.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
toptopon	|- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )

Proof of Theorem toptopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toptopon.1	. . 3 |- X = U. J
2		istopon 12020	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) <-> ( J e. Top /\ X = U. J ) )
3	1, 2	mpbiran2 908	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) <-> J e. Top )
4	3	bicomi 131	1 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )

Syntax hints:   <-> wb 104   = wceq 1314   e. wcel 1463   U.cuni 3702   ` cfv 5081   Topctop 12004  TopOnctopon 12017

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ral 2395  df-rex 2396  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fv 5089  df-topon 12018

This theorem is referenced by:  toptopon2  12026  eltpsi  12048  restuni  12181  stoig  12182  iscn2  12208  lmcvg  12225  cnpnei  12227  cnss1  12234  cnss2  12235  cncnpi  12236  cncnp2m  12239  cnnei  12240  cnrest  12243  cnrest2  12244  cnrest2r  12245  cnptoprest  12247  cnptoprest2  12248  lmss  12254  txuni  12271  txcnmpt  12281  txcn  12283  cnmpt11  12291  cnmpt11f  12292  imasnopn  12307  retopon  12512