Theorem toptopon 15014

Description: Alternative definition of Top in terms of TopOn. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
toptopon.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
toptopon	|- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )

Proof of Theorem toptopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toptopon.1	. . 3 |- X = U. J
2		istopon 15009	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) <-> ( J e. Top /\ X = U. J ) )
3	1, 2	mpbiran2 950	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) <-> J e. Top )
4	3	bicomi 132	1 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   U.cuni 3920   ` cfv 5359   Topctop 14993  TopOnctopon 15006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fv 5367  df-topon 15007

This theorem is referenced by:  toptopon2  15015  eltpsi  15037  restuni  15168  stoig  15169  iscn2  15196  lmcvg  15213  cnpnei  15215  cnss1  15222  cnss2  15223  cncnpi  15224  cncnp2m  15227  cnnei  15228  cnrest  15231  cnrest2  15232  cnrest2r  15233  cnptoprest  15235  cnptoprest2  15236  lmss  15242  txuni  15259  txcnmpt  15269  txcn  15271  cnmpt11  15279  cnmpt11f  15280  imasnopn  15295  hmeof1o  15305  hmeores  15311  txhmeo  15315  retopon  15522