ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  stoig Unicode version

Theorem stoig 12269
Description: The topological space built with a subspace topology. (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
restuni.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
stoig  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  ->  { <. ( Base `  ndx ) ,  A >. , 
<. (TopSet `  ndx ) ,  ( Jt  A ) >. }  e.  TopSp
)

Proof of Theorem stoig
StepHypRef Expression
1 restuni.1 . . . 4  |-  X  = 
U. J
21toptopon 12112 . . 3  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3 resttopon 12267 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A ) )
42, 3sylanb 282 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( Jt  A )  e.  (TopOn `  A ) )
5 eqid 2117 . . 3  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  A >. ,  <. (TopSet ` 
ndx ) ,  ( Jt  A ) >. }  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  A >. , 
<. (TopSet `  ndx ) ,  ( Jt  A ) >. }
65eltpsg 12134 . 2  |-  ( ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A )  ->  { <. (
Base `  ndx ) ,  A >. ,  <. (TopSet ` 
ndx ) ,  ( Jt  A ) >. }  e.  TopSp
)
74, 6syl 14 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  ->  { <. ( Base `  ndx ) ,  A >. , 
<. (TopSet `  ndx ) ,  ( Jt  A ) >. }  e.  TopSp
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1316    e. wcel 1465    C_ wss 3041   {cpr 3498   <.cop 3500   U.cuni 3706   ` cfv 5093  (class class class)co 5742   ndxcnx 11883   Basecbs 11886  TopSetcts 11954   ↾t crest 12047   Topctop 12091  TopOnctopon 12104   TopSpctps 12124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-ltxr 7773  df-inn 8689  df-2 8747  df-3 8748  df-4 8749  df-5 8750  df-6 8751  df-7 8752  df-8 8753  df-9 8754  df-ndx 11889  df-slot 11890  df-base 11892  df-tset 11967  df-rest 12049  df-topn 12050  df-topgen 12068  df-top 12092  df-topon 12105  df-topsp 12125  df-bases 12137
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator