Theorem resubcli 8430

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by NM, 17-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegcl.1	|- A e. RR
resubcl.2	|- B e. RR

Assertion

Ref	Expression
resubcli	|- ( A - B ) e. RR

Proof of Theorem resubcli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl.1	. . . 4 |- A e. RR
2	1	recni 8179	. . 3 |- A e. CC
3		resubcl.2	. . . 4 |- B e. RR
4	3	recni 8179	. . 3 |- B e. CC
5		negsub 8415	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
6	2, 4, 5	mp2an 426	. 2 |- ( A + -u B ) = ( A - B )
7	3	renegcli 8429	. . 3 |- -u B e. RR
8	1, 7	readdcli 8180	. 2 |- ( A + -u B ) e. RR
9	6, 8	eqeltrri 2303	1 |- ( A - B ) e. RR

Syntax hints:   = wceq 1395   e. wcel 2200  (class class class)co 6011   CCcc 8018   RRcr 8019   + caddc 8023   - cmin 8338   -ucneg 8339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4203  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-setind 4631  ax-resscn 8112  ax-1cn 8113  ax-icn 8115  ax-addcl 8116  ax-addrcl 8117  ax-mulcl 8118  ax-addcom 8120  ax-addass 8122  ax-distr 8124  ax-i2m1 8125  ax-0id 8128  ax-rnegex 8129  ax-cnre 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-br 4085  df-opab 4147  df-id 4386  df-xp 4727  df-rel 4728  df-cnv 4729  df-co 4730  df-dm 4731  df-iota 5282  df-fun 5324  df-fv 5330  df-riota 5964  df-ov 6014  df-oprab 6015  df-mpo 6016  df-sub 8340  df-neg 8341

This theorem is referenced by:  0reALT  8464