Theorem negsub 8293

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
negsub	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )

Proof of Theorem negsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 8219	. . . 4 |- -u B = ( 0 - B )
2	1	oveq2i 5936	. . 3 |- ( A + -u B ) = ( A + ( 0 - B ) )
3	2	a1i 9	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A + ( 0 - B ) ) )
4		0cn 8037	. . 3 |- 0 e. CC
5		addsubass 8255	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ 0 e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + 0 ) - B ) = ( A + ( 0 - B ) ) )
6	4, 5	mp3an2 1336	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + 0 ) - B ) = ( A + ( 0 - B ) ) )
7		simpl 109	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A e. CC )
8	7	addridd 8194	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + 0 ) = A )
9	8	oveq1d 5940	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + 0 ) - B ) = ( A - B ) )
10	3, 6, 9	3eqtr2d 2235	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167  (class class class)co 5925   CCcc 7896   0cc0 7898   + caddc 7901   - cmin 8216   -ucneg 8217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-setind 4574  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-addcom 7998  ax-addass 8000  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-cnre 8009

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-sub 8218  df-neg 8219

This theorem is referenced by:  negdi2  8303  negsubdi2  8304  resubcli  8308  resubcl  8309  negsubi  8323  negsubd  8362  submul2  8444  mulsub  8446  subap0  8689  divsubdirap  8754  zsubcl  9386  difgtsumgt  9414  elz2  9416  qsubcl  9731  rexsub  9947  fzsubel  10154  expsubap  10698  binom2sub  10764  resub  11054  imsub  11062  cjsub  11076  cjreim  11087  absdiflt  11276  absdifle  11277  abs2dif2  11291  subcn2  11495  efsub  11865  efi4p  11901  sinsub  11924  cossub  11925  demoivreALT  11958  dvdssub  12022  modgcd  12185  gzsubcl  12576  cnfldsub  14209  wilthlem1  15324  lgsvalmod  15368