Theorem negsub 8394

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
negsub	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )

Proof of Theorem negsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 8320	. . . 4 |- -u B = ( 0 - B )
2	1	oveq2i 6012	. . 3 |- ( A + -u B ) = ( A + ( 0 - B ) )
3	2	a1i 9	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A + ( 0 - B ) ) )
4		0cn 8138	. . 3 |- 0 e. CC
5		addsubass 8356	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ 0 e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + 0 ) - B ) = ( A + ( 0 - B ) ) )
6	4, 5	mp3an2 1359	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + 0 ) - B ) = ( A + ( 0 - B ) ) )
7		simpl 109	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A e. CC )
8	7	addridd 8295	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + 0 ) = A )
9	8	oveq1d 6016	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + 0 ) - B ) = ( A - B ) )
10	3, 6, 9	3eqtr2d 2268	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200  (class class class)co 6001   CCcc 7997   0cc0 7999   + caddc 8002   - cmin 8317   -ucneg 8318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-sub 8319  df-neg 8320

This theorem is referenced by:  negdi2  8404  negsubdi2  8405  resubcli  8409  resubcl  8410  negsubi  8424  negsubd  8463  submul2  8545  mulsub  8547  subap0  8790  divsubdirap  8855  zsubcl  9487  difgtsumgt  9516  elz2  9518  qsubcl  9833  rexsub  10049  fzsubel  10256  expsubap  10809  binom2sub  10875  resub  11381  imsub  11389  cjsub  11403  cjreim  11414  absdiflt  11603  absdifle  11604  abs2dif2  11618  subcn2  11822  efsub  12192  efi4p  12228  sinsub  12251  cossub  12252  demoivreALT  12285  dvdssub  12349  modgcd  12512  gzsubcl  12903  cnfldsub  14539  wilthlem1  15654  lgsvalmod  15698