Theorem negsub 8576

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
negsub	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )

Proof of Theorem negsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 8502	. . . 4 |- -u B = ( 0 - B )
2	1	oveq2i 6096	. . 3 |- ( A + -u B ) = ( A + ( 0 - B ) )
3	2	a1i 9	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A + ( 0 - B ) ) )
4		0cn 8319	. . 3 |- 0 e. CC
5		addsubass 8538	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ 0 e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + 0 ) - B ) = ( A + ( 0 - B ) ) )
6	4, 5	mp3an2 1366	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + 0 ) - B ) = ( A + ( 0 - B ) ) )
7		simpl 109	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A e. CC )
8	7	addridd 8477	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + 0 ) = A )
9	8	oveq1d 6100	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + 0 ) - B ) = ( A - B ) )
10	3, 6, 9	3eqtr2d 2277	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209  (class class class)co 6085   CCcc 8178   0cc0 8180   + caddc 8183   - cmin 8499   -ucneg 8500

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-sub 8501  df-neg 8502

This theorem is used by:  negdi2  8586  negsubdi2  8587  resubcli  8591  resubcl  8592  negsubi  8606  negsubd  8645  submul2  8728  mulsub  8730  subap0  8974  divsubdirap  9041  zsubcl  9690  difgtsumgt  9719  elz2  9721  qsubcl  10048  rexsub  10266  fzsubel  10477  expsubap  11039  binom2sub  11105  resub  11651  imsub  11659  cjsub  11673  cjreim  11685  absdiflt  11875  absdifle  11876  abs2dif2  11890  subcn2  12096  efsub  12467  efi4p  12503  sinsub  12526  cossub  12527  demoivreALT  12560  dvdssub  12624  modgcd  12787  gzsubcl  13182  cnfldsub  14964  wilthlem1  16155  lgsvalmod  16266