Theorem negsub 8236

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
negsub	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )

Proof of Theorem negsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 8162	. . . 4 |- -u B = ( 0 - B )
2	1	oveq2i 5908	. . 3 |- ( A + -u B ) = ( A + ( 0 - B ) )
3	2	a1i 9	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A + ( 0 - B ) ) )
4		0cn 7980	. . 3 |- 0 e. CC
5		addsubass 8198	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ 0 e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + 0 ) - B ) = ( A + ( 0 - B ) ) )
6	4, 5	mp3an2 1336	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + 0 ) - B ) = ( A + ( 0 - B ) ) )
7		simpl 109	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A e. CC )
8	7	addridd 8137	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + 0 ) = A )
9	8	oveq1d 5912	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + 0 ) - B ) = ( A - B ) )
10	3, 6, 9	3eqtr2d 2228	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160  (class class class)co 5897   CCcc 7840   0cc0 7842   + caddc 7845   - cmin 8159   -ucneg 8160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-setind 4554  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-addcom 7942  ax-addass 7944  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-cnre 7953

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-sub 8161  df-neg 8162

This theorem is referenced by:  negdi2  8246  negsubdi2  8247  resubcli  8251  resubcl  8252  negsubi  8266  negsubd  8305  submul2  8387  mulsub  8389  subap0  8631  divsubdirap  8696  zsubcl  9325  difgtsumgt  9353  elz2  9355  qsubcl  9670  rexsub  9885  fzsubel  10092  expsubap  10602  binom2sub  10668  resub  10914  imsub  10922  cjsub  10936  cjreim  10947  absdiflt  11136  absdifle  11137  abs2dif2  11151  subcn2  11354  efsub  11724  efi4p  11760  sinsub  11783  cossub  11784  demoivreALT  11816  dvdssub  11880  modgcd  12027  gzsubcl  12415  cnfldsub  13895  wilthlem1  14875  lgsvalmod  14898