Theorem negsub 7784

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
negsub	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )

Proof of Theorem negsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 7710	. . . 4 |- -u B = ( 0 - B )
2	1	oveq2i 5677	. . 3 |- ( A + -u B ) = ( A + ( 0 - B ) )
3	2	a1i 9	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A + ( 0 - B ) ) )
4		0cn 7534	. . 3 |- 0 e. CC
5		addsubass 7746	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ 0 e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + 0 ) - B ) = ( A + ( 0 - B ) ) )
6	4, 5	mp3an2 1262	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + 0 ) - B ) = ( A + ( 0 - B ) ) )
7		simpl 108	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A e. CC )
8	7	addid1d 7685	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + 0 ) = A )
9	8	oveq1d 5681	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + 0 ) - B ) = ( A - B ) )
10	3, 6, 9	3eqtr2d 2127	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1290   e. wcel 1439  (class class class)co 5666   CCcc 7402   0cc0 7404   + caddc 7407   - cmin 7707   -ucneg 7708

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-setind 4366  ax-resscn 7491  ax-1cn 7492  ax-icn 7494  ax-addcl 7495  ax-addrcl 7496  ax-mulcl 7497  ax-addcom 7499  ax-addass 7501  ax-distr 7503  ax-i2m1 7504  ax-0id 7507  ax-rnegex 7508  ax-cnre 7510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-id 4129  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-sub 7709  df-neg 7710

This theorem is referenced by:  negdi2  7794  negsubdi2  7795  resubcli  7799  resubcl  7800  negsubi  7814  negsubd  7853  submul2  7931  mulsub  7933  subap0  8172  divsubdirap  8229  zsubcl  8845  elz2  8872  qsubcl  9177  fzsubel  9528  expsubap  10057  binom2sub  10121  resub  10358  imsub  10366  cjsub  10380  cjreim  10391  absdiflt  10579  absdifle  10580  abs2dif2  10594  subcn2  10754  efsub  11025  efi4p  11062  sinsub  11085  cossub  11086  demoivreALT  11117  dvdssub  11173  modgcd  11314