Theorem resubcl 8502

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
resubcl	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )

Proof of Theorem resubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 8225	. . 3 |- ( A e. RR -> A e. CC )
2		recn 8225	. . 3 |- ( B e. RR -> B e. CC )
3		negsub 8486	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
5		renegcl 8499	. . 3 |- ( B e. RR -> -u B e. RR )
6		readdcl 8218	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ -u B e. RR ) -> ( A + -u B ) e. RR )
7	5, 6	sylan2 286	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + -u B ) e. RR )
8	4, 7	eqeltrrd 2309	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202  (class class class)co 6028   CCcc 8090   RRcr 8091   + caddc 8095   - cmin 8409   -ucneg 8410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-setind 4641  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-sub 8411  df-neg 8412

This theorem is referenced by:  peano2rem  8505  resubcld  8619  posdif  8694  lt2sub  8699  le2sub  8700  cju  9200  elz2  9612  difrp  9988  iooshf  10248  iccshftl  10292  lincmb01cmp  10299  uzsubsubfz  10344  difelfzle  10431  fzonmapblen  10489  eluzgtdifelfzo  10505  subfzo0  10551  modfzo0difsn  10720  expubnd  10921  absdiflt  11732  absdifle  11733  elicc4abs  11734  abssubge0  11742  abs2difabs  11748  maxabsle  11844  resin4p  12359  recos4p  12360  cos01bnd  12399  cos01gt0  12404  pythagtriplem12  12928  pythagtriplem14  12930  pythagtriplem16  12932  fldivp1  13001  bl2ioo  15361  ioo2bl  15362  ioo2blex  15363  blssioo  15364  dich0  15463  sincosq1sgn  15637  sincosq2sgn  15638  sincosq3sgn  15639  sincosq4sgn  15640  sinq12gt0  15641  cosq14gt0  15643  tangtx  15649  relogdiv  15681  logdivlti  15692  gausslemma2dlem1a  15877  redc0  16790  reap0  16791