Theorem resubcl 8338

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
resubcl	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )

Proof of Theorem resubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 8060	. . 3 |- ( A e. RR -> A e. CC )
2		recn 8060	. . 3 |- ( B e. RR -> B e. CC )
3		negsub 8322	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
5		renegcl 8335	. . 3 |- ( B e. RR -> -u B e. RR )
6		readdcl 8053	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ -u B e. RR ) -> ( A + -u B ) e. RR )
7	5, 6	sylan2 286	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + -u B ) e. RR )
8	4, 7	eqeltrrd 2283	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176  (class class class)co 5946   CCcc 7925   RRcr 7926   + caddc 7930   - cmin 8245   -ucneg 8246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-setind 4586  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-sub 8247  df-neg 8248

This theorem is referenced by:  peano2rem  8341  resubcld  8455  posdif  8530  lt2sub  8535  le2sub  8536  cju  9036  elz2  9446  difrp  9816  iooshf  10076  iccshftl  10120  lincmb01cmp  10127  uzsubsubfz  10171  difelfzle  10258  fzonmapblen  10313  eluzgtdifelfzo  10328  subfzo0  10373  modfzo0difsn  10542  expubnd  10743  absdiflt  11436  absdifle  11437  elicc4abs  11438  abssubge0  11446  abs2difabs  11452  maxabsle  11548  resin4p  12062  recos4p  12063  cos01bnd  12102  cos01gt0  12107  pythagtriplem12  12631  pythagtriplem14  12633  pythagtriplem16  12635  fldivp1  12704  bl2ioo  15055  ioo2bl  15056  ioo2blex  15057  blssioo  15058  dich0  15157  sincosq1sgn  15331  sincosq2sgn  15332  sincosq3sgn  15333  sincosq4sgn  15334  sinq12gt0  15335  cosq14gt0  15337  tangtx  15343  relogdiv  15375  logdivlti  15386  gausslemma2dlem1a  15568  redc0  16033  reap0  16034