Theorem resubcl 8553

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
resubcl	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )

Proof of Theorem resubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 8276	. . 3 |- ( A e. RR -> A e. CC )
2		recn 8276	. . 3 |- ( B e. RR -> B e. CC )
3		negsub 8537	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
5		renegcl 8550	. . 3 |- ( B e. RR -> -u B e. RR )
6		readdcl 8269	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ -u B e. RR ) -> ( A + -u B ) e. RR )
7	5, 6	sylan2 286	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + -u B ) e. RR )
8	4, 7	eqeltrrd 2312	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205  (class class class)co 6058   CCcc 8141   RRcr 8142   + caddc 8146   - cmin 8460   -ucneg 8461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-setind 4664  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-sub 8462  df-neg 8463

This theorem is referenced by:  peano2rem  8556  resubcld  8671  posdif  8746  lt2sub  8751  le2sub  8752  cju  9252  elz2  9666  difrp  10043  iooshf  10304  iccshftl  10348  lincmb01cmp  10355  uzsubsubfz  10401  difelfzle  10490  fzonmapblen  10548  eluzgtdifelfzo  10564  subfzo0  10610  modfzo0difsn  10781  expubnd  10982  absdiflt  11802  absdifle  11803  elicc4abs  11804  abssubge0  11812  abs2difabs  11818  maxabsle  11914  resin4p  12429  recos4p  12430  cos01bnd  12469  cos01gt0  12474  pythagtriplem12  12998  pythagtriplem14  13000  pythagtriplem16  13002  fldivp1  13071  bl2ioo  15541  ioo2bl  15542  ioo2blex  15543  blssioo  15544  dich0  15643  sincosq1sgn  15817  sincosq2sgn  15818  sincosq3sgn  15819  sincosq4sgn  15820  sinq12gt0  15821  cosq14gt0  15823  tangtx  15829  relogdiv  15861  logdivlti  15872  gausslemma2dlem1a  16057  redc0  16968  reap0  16969