Theorem resubcl 8371

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
resubcl	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )

Proof of Theorem resubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 8093	. . 3 |- ( A e. RR -> A e. CC )
2		recn 8093	. . 3 |- ( B e. RR -> B e. CC )
3		negsub 8355	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
5		renegcl 8368	. . 3 |- ( B e. RR -> -u B e. RR )
6		readdcl 8086	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ -u B e. RR ) -> ( A + -u B ) e. RR )
7	5, 6	sylan2 286	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + -u B ) e. RR )
8	4, 7	eqeltrrd 2285	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178  (class class class)co 5967   CCcc 7958   RRcr 7959   + caddc 7963   - cmin 8278   -ucneg 8279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-setind 4603  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-sub 8280  df-neg 8281

This theorem is referenced by:  peano2rem  8374  resubcld  8488  posdif  8563  lt2sub  8568  le2sub  8569  cju  9069  elz2  9479  difrp  9849  iooshf  10109  iccshftl  10153  lincmb01cmp  10160  uzsubsubfz  10204  difelfzle  10291  fzonmapblen  10348  eluzgtdifelfzo  10363  subfzo0  10408  modfzo0difsn  10577  expubnd  10778  absdiflt  11518  absdifle  11519  elicc4abs  11520  abssubge0  11528  abs2difabs  11534  maxabsle  11630  resin4p  12144  recos4p  12145  cos01bnd  12184  cos01gt0  12189  pythagtriplem12  12713  pythagtriplem14  12715  pythagtriplem16  12717  fldivp1  12786  bl2ioo  15137  ioo2bl  15138  ioo2blex  15139  blssioo  15140  dich0  15239  sincosq1sgn  15413  sincosq2sgn  15414  sincosq3sgn  15415  sincosq4sgn  15416  sinq12gt0  15417  cosq14gt0  15419  tangtx  15425  relogdiv  15457  logdivlti  15468  gausslemma2dlem1a  15650  redc0  16198  reap0  16199