Theorem resubcl 8597

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
resubcl	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )

Proof of Theorem resubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 8318	. . 3 |- ( A e. RR -> A e. CC )
2		recn 8318	. . 3 |- ( B e. RR -> B e. CC )
3		negsub 8581	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
5		renegcl 8594	. . 3 |- ( B e. RR -> -u B e. RR )
6		readdcl 8311	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ -u B e. RR ) -> ( A + -u B ) e. RR )
7	5, 6	sylan2 286	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + -u B ) e. RR )
8	4, 7	eqeltrrd 2316	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209  (class class class)co 6088   CCcc 8183   RRcr 8184   + caddc 8188   - cmin 8504   -ucneg 8505

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-setind 4686  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-sub 8506  df-neg 8507

This theorem is used by:  peano2rem  8600  resubcld  8715  posdif  8790  lt2sub  8795  le2sub  8796  cju  9299  elz2  9725  difrp  10109  iooshf  10370  iccshftl  10414  lincmb01cmp  10421  uzsubsubfz  10468  difelfzle  10557  fzonmapblen  10615  eluzgtdifelfzo  10631  subfzo0  10677  modfzo0difsn  10852  expubnd  11053  absdiflt  11880  absdifle  11881  elicc4abs  11882  abssubge0  11890  abs2difabs  11896  maxabsle  11992  resin4p  12509  recos4p  12510  cos01bnd  12549  cos01gt0  12554  pythagtriplem12  13082  pythagtriplem14  13084  pythagtriplem16  13086  fldivp1  13155  bl2ioo  15793  ioo2bl  15794  ioo2blex  15795  blssioo  15796  dich0  15895  sincosq1sgn  16070  sincosq2sgn  16071  sincosq3sgn  16072  sincosq4sgn  16073  sinq12gt0  16074  cosq14gt0  16076  tangtx  16082  relogdiv  16117  logdivlti  16128  ppiqub  16310  chtqub  16313  bposlem1  16328  bposlem6  16333  bposlem9  16336  gausslemma2dlem1a  16399  redc0  17331  reap0  17332