Theorem resubcl 7736

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
resubcl	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )

Proof of Theorem resubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 7465	. . 3 |- ( A e. RR -> A e. CC )
2		recn 7465	. . 3 |- ( B e. RR -> B e. CC )
3		negsub 7720	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
4	1, 2, 3	syl2an 283	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
5		renegcl 7733	. . 3 |- ( B e. RR -> -u B e. RR )
6		readdcl 7458	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ -u B e. RR ) -> ( A + -u B ) e. RR )
7	5, 6	sylan2 280	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + -u B ) e. RR )
8	4, 7	eqeltrrd 2165	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1289   e. wcel 1438  (class class class)co 5644   CCcc 7338   RRcr 7339   + caddc 7343   - cmin 7643   -ucneg 7644

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3955  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-setind 4351  ax-resscn 7427  ax-1cn 7428  ax-icn 7430  ax-addcl 7431  ax-addrcl 7432  ax-mulcl 7433  ax-addcom 7435  ax-addass 7437  ax-distr 7439  ax-i2m1 7440  ax-0id 7443  ax-rnegex 7444  ax-cnre 7446

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-br 3844  df-opab 3898  df-id 4118  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fv 5018  df-riota 5600  df-ov 5647  df-oprab 5648  df-mpt2 5649  df-sub 7645  df-neg 7646

This theorem is referenced by:  peano2rem  7739  resubcld  7849  posdif  7923  lt2sub  7928  le2sub  7929  cju  8411  elz2  8808  difrp  9160  iooshf  9360  iccshftl  9403  lincmb01cmp  9410  uzsubsubfz  9451  difelfzle  9533  fzonmapblen  9586  eluzgtdifelfzo  9596  subfzo0  9641  modfzo0difsn  9790  expubnd  10000  absdiflt  10513  absdifle  10514  elicc4abs  10515  abssubge0  10523  abs2difabs  10529  maxabsle  10625  resin4p  10996  recos4p  10997  cos01bnd  11036  cos01gt0  11040