Theorem resubcl 8223

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
resubcl	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )

Proof of Theorem resubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 7946	. . 3 |- ( A e. RR -> A e. CC )
2		recn 7946	. . 3 |- ( B e. RR -> B e. CC )
3		negsub 8207	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
5		renegcl 8220	. . 3 |- ( B e. RR -> -u B e. RR )
6		readdcl 7939	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ -u B e. RR ) -> ( A + -u B ) e. RR )
7	5, 6	sylan2 286	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + -u B ) e. RR )
8	4, 7	eqeltrrd 2255	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148  (class class class)co 5877   CCcc 7811   RRcr 7812   + caddc 7816   - cmin 8130   -ucneg 8131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-setind 4538  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-sub 8132  df-neg 8133

This theorem is referenced by:  peano2rem  8226  resubcld  8340  posdif  8414  lt2sub  8419  le2sub  8420  cju  8920  elz2  9326  difrp  9694  iooshf  9954  iccshftl  9998  lincmb01cmp  10005  uzsubsubfz  10049  difelfzle  10136  fzonmapblen  10189  eluzgtdifelfzo  10199  subfzo0  10244  modfzo0difsn  10397  expubnd  10579  absdiflt  11103  absdifle  11104  elicc4abs  11105  abssubge0  11113  abs2difabs  11119  maxabsle  11215  resin4p  11728  recos4p  11729  cos01bnd  11768  cos01gt0  11772  pythagtriplem12  12277  pythagtriplem14  12279  pythagtriplem16  12281  fldivp1  12348  bl2ioo  14081  ioo2bl  14082  ioo2blex  14083  blssioo  14084  sincosq1sgn  14286  sincosq2sgn  14287  sincosq3sgn  14288  sincosq4sgn  14289  sinq12gt0  14290  cosq14gt0  14292  tangtx  14298  relogdiv  14330  logdivlti  14341  redc0  14844  reap0  14845