Theorem resubcl 8256

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
resubcl	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )

Proof of Theorem resubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 7979	. . 3 |- ( A e. RR -> A e. CC )
2		recn 7979	. . 3 |- ( B e. RR -> B e. CC )
3		negsub 8240	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
5		renegcl 8253	. . 3 |- ( B e. RR -> -u B e. RR )
6		readdcl 7972	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ -u B e. RR ) -> ( A + -u B ) e. RR )
7	5, 6	sylan2 286	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + -u B ) e. RR )
8	4, 7	eqeltrrd 2267	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160  (class class class)co 5900   CCcc 7844   RRcr 7845   + caddc 7849   - cmin 8163   -ucneg 8164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-setind 4557  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-addcom 7946  ax-addass 7948  ax-distr 7950  ax-i2m1 7951  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-cnre 7957

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-br 4022  df-opab 4083  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-sub 8165  df-neg 8166

This theorem is referenced by:  peano2rem  8259  resubcld  8373  posdif  8447  lt2sub  8452  le2sub  8453  cju  8953  elz2  9359  difrp  9728  iooshf  9988  iccshftl  10032  lincmb01cmp  10039  uzsubsubfz  10083  difelfzle  10170  fzonmapblen  10223  eluzgtdifelfzo  10233  subfzo0  10278  modfzo0difsn  10432  expubnd  10617  absdiflt  11142  absdifle  11143  elicc4abs  11144  abssubge0  11152  abs2difabs  11158  maxabsle  11254  resin4p  11767  recos4p  11768  cos01bnd  11807  cos01gt0  11811  pythagtriplem12  12318  pythagtriplem14  12320  pythagtriplem16  12322  fldivp1  12391  bl2ioo  14527  ioo2bl  14528  ioo2blex  14529  blssioo  14530  sincosq1sgn  14732  sincosq2sgn  14733  sincosq3sgn  14734  sincosq4sgn  14735  sinq12gt0  14736  cosq14gt0  14738  tangtx  14744  relogdiv  14776  logdivlti  14787  redc0  15293  reap0  15294