Theorem resubcl 8591

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
resubcl	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )

Proof of Theorem resubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 8312	. . 3 |- ( A e. RR -> A e. CC )
2		recn 8312	. . 3 |- ( B e. RR -> B e. CC )
3		negsub 8575	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
5		renegcl 8588	. . 3 |- ( B e. RR -> -u B e. RR )
6		readdcl 8305	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ -u B e. RR ) -> ( A + -u B ) e. RR )
7	5, 6	sylan2 286	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + -u B ) e. RR )
8	4, 7	eqeltrrd 2316	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209  (class class class)co 6085   CCcc 8177   RRcr 8178   + caddc 8182   - cmin 8498   -ucneg 8499

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-sub 8500  df-neg 8501

This theorem is used by:  peano2rem  8594  resubcld  8709  posdif  8784  lt2sub  8789  le2sub  8790  cju  9293  elz2  9720  difrp  10103  iooshf  10364  iccshftl  10408  lincmb01cmp  10415  uzsubsubfz  10462  difelfzle  10551  fzonmapblen  10609  eluzgtdifelfzo  10625  subfzo0  10671  modfzo0difsn  10845  expubnd  11046  absdiflt  11873  absdifle  11874  elicc4abs  11875  abssubge0  11883  abs2difabs  11889  maxabsle  11985  resin4p  12501  recos4p  12502  cos01bnd  12541  cos01gt0  12546  pythagtriplem12  13074  pythagtriplem14  13076  pythagtriplem16  13078  fldivp1  13147  bl2ioo  15700  ioo2bl  15701  ioo2blex  15702  blssioo  15703  dich0  15802  sincosq1sgn  15977  sincosq2sgn  15978  sincosq3sgn  15979  sincosq4sgn  15980  sinq12gt0  15981  cosq14gt0  15983  tangtx  15989  relogdiv  16022  logdivlti  16033  ppiqub  16194  bposlem1  16209  gausslemma2dlem1a  16275  redc0  17205  reap0  17206