Theorem resubcl 8026

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
resubcl	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )

Proof of Theorem resubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 7753	. . 3 |- ( A e. RR -> A e. CC )
2		recn 7753	. . 3 |- ( B e. RR -> B e. CC )
3		negsub 8010	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
4	1, 2, 3	syl2an 287	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
5		renegcl 8023	. . 3 |- ( B e. RR -> -u B e. RR )
6		readdcl 7746	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ -u B e. RR ) -> ( A + -u B ) e. RR )
7	5, 6	sylan2 284	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + -u B ) e. RR )
8	4, 7	eqeltrrd 2217	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480  (class class class)co 5774   CCcc 7618   RRcr 7619   + caddc 7623   - cmin 7933   -ucneg 7934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-setind 4452  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-sub 7935  df-neg 7936

This theorem is referenced by:  peano2rem  8029  resubcld  8143  posdif  8217  lt2sub  8222  le2sub  8223  cju  8719  elz2  9122  difrp  9480  iooshf  9735  iccshftl  9779  lincmb01cmp  9786  uzsubsubfz  9827  difelfzle  9911  fzonmapblen  9964  eluzgtdifelfzo  9974  subfzo0  10019  modfzo0difsn  10168  expubnd  10350  absdiflt  10864  absdifle  10865  elicc4abs  10866  abssubge0  10874  abs2difabs  10880  maxabsle  10976  resin4p  11425  recos4p  11426  cos01bnd  11465  cos01gt0  11469  bl2ioo  12711  ioo2bl  12712  ioo2blex  12713  blssioo  12714  sincosq1sgn  12907  sincosq2sgn  12908  sincosq3sgn  12909  sincosq4sgn  12910  sinq12gt0  12911  cosq14gt0  12913  tangtx  12919