Theorem resubcl 8410

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
resubcl	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )

Proof of Theorem resubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 8132	. . 3 |- ( A e. RR -> A e. CC )
2		recn 8132	. . 3 |- ( B e. RR -> B e. CC )
3		negsub 8394	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
5		renegcl 8407	. . 3 |- ( B e. RR -> -u B e. RR )
6		readdcl 8125	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ -u B e. RR ) -> ( A + -u B ) e. RR )
7	5, 6	sylan2 286	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + -u B ) e. RR )
8	4, 7	eqeltrrd 2307	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200  (class class class)co 6001   CCcc 7997   RRcr 7998   + caddc 8002   - cmin 8317   -ucneg 8318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-sub 8319  df-neg 8320

This theorem is referenced by:  peano2rem  8413  resubcld  8527  posdif  8602  lt2sub  8607  le2sub  8608  cju  9108  elz2  9518  difrp  9888  iooshf  10148  iccshftl  10192  lincmb01cmp  10199  uzsubsubfz  10243  difelfzle  10330  fzonmapblen  10387  eluzgtdifelfzo  10403  subfzo0  10448  modfzo0difsn  10617  expubnd  10818  absdiflt  11603  absdifle  11604  elicc4abs  11605  abssubge0  11613  abs2difabs  11619  maxabsle  11715  resin4p  12229  recos4p  12230  cos01bnd  12269  cos01gt0  12274  pythagtriplem12  12798  pythagtriplem14  12800  pythagtriplem16  12802  fldivp1  12871  bl2ioo  15224  ioo2bl  15225  ioo2blex  15226  blssioo  15227  dich0  15326  sincosq1sgn  15500  sincosq2sgn  15501  sincosq3sgn  15502  sincosq4sgn  15503  sinq12gt0  15504  cosq14gt0  15506  tangtx  15512  relogdiv  15544  logdivlti  15555  gausslemma2dlem1a  15737  redc0  16425  reap0  16426