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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > mndinvmod | Unicode version |
Description: Uniqueness of an inverse element in a monoid, if it exists. (Contributed by AV, 20-Jan-2024.) |
Ref | Expression |
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mndinvmod.b |
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mndinvmod.0 |
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mndinvmod.p |
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mndinvmod.m |
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mndinvmod.a |
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Ref | Expression |
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mndinvmod |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | mndinvmod.m |
. . . . . . . 8
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2 | simpl 109 |
. . . . . . . 8
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3 | mndinvmod.b |
. . . . . . . . 9
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4 | mndinvmod.p |
. . . . . . . . 9
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5 | mndinvmod.0 |
. . . . . . . . 9
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6 | 3, 4, 5 | mndrid 12858 |
. . . . . . . 8
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7 | 1, 2, 6 | syl2an 289 |
. . . . . . 7
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8 | 7 | eqcomd 2193 |
. . . . . 6
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9 | 8 | adantr 276 |
. . . . 5
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10 | oveq2 5896 |
. . . . . . . . 9
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11 | 10 | eqcoms 2190 |
. . . . . . . 8
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12 | 11 | adantl 277 |
. . . . . . 7
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13 | 12 | adantl 277 |
. . . . . 6
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14 | 13 | adantl 277 |
. . . . 5
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15 | 1 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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16 | 2 | adantl 277 |
. . . . . . . 8
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17 | mndinvmod.a |
. . . . . . . . 9
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18 | 17 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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19 | simpr 110 |
. . . . . . . . 9
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20 | 19 | adantl 277 |
. . . . . . . 8
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21 | 3, 4 | mndass 12846 |
. . . . . . . . 9
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22 | 21 | eqcomd 2193 |
. . . . . . . 8
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23 | 15, 16, 18, 20, 22 | syl13anc 1250 |
. . . . . . 7
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24 | 23 | adantr 276 |
. . . . . 6
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25 | oveq1 5895 |
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26 | 25 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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27 | 26 | adantr 276 |
. . . . . . 7
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28 | 27 | adantl 277 |
. . . . . 6
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29 | 3, 4, 5 | mndlid 12857 |
. . . . . . . 8
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30 | 1, 19, 29 | syl2an 289 |
. . . . . . 7
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31 | 30 | adantr 276 |
. . . . . 6
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32 | 24, 28, 31 | 3eqtrd 2224 |
. . . . 5
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33 | 9, 14, 32 | 3eqtrd 2224 |
. . . 4
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34 | 33 | ex 115 |
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35 | 34 | ralrimivva 2569 |
. 2
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36 | oveq1 5895 |
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37 | 36 | eqeq1d 2196 |
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38 | oveq2 5896 |
. . . . 5
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39 | 38 | eqeq1d 2196 |
. . . 4
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40 | 37, 39 | anbi12d 473 |
. . 3
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41 | 40 | rmo4 2942 |
. 2
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42 | 35, 41 | sylibr 134 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-io 710 ax-5 1457 ax-7 1458 ax-gen 1459 ax-ie1 1503 ax-ie2 1504 ax-8 1514 ax-10 1515 ax-11 1516 ax-i12 1517 ax-bndl 1519 ax-4 1520 ax-17 1536 ax-i9 1540 ax-ial 1544 ax-i5r 1545 ax-13 2160 ax-14 2161 ax-ext 2169 ax-sep 4133 ax-pow 4186 ax-pr 4221 ax-un 4445 ax-cnex 7915 ax-resscn 7916 ax-1re 7918 ax-addrcl 7921 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 981 df-tru 1366 df-nf 1471 df-sb 1773 df-eu 2039 df-mo 2040 df-clab 2174 df-cleq 2180 df-clel 2183 df-nfc 2318 df-ral 2470 df-rex 2471 df-reu 2472 df-rmo 2473 df-rab 2474 df-v 2751 df-sbc 2975 df-csb 3070 df-un 3145 df-in 3147 df-ss 3154 df-pw 3589 df-sn 3610 df-pr 3611 df-op 3613 df-uni 3822 df-int 3857 df-br 4016 df-opab 4077 df-mpt 4078 df-id 4305 df-xp 4644 df-rel 4645 df-cnv 4646 df-co 4647 df-dm 4648 df-rn 4649 df-res 4650 df-iota 5190 df-fun 5230 df-fn 5231 df-fv 5236 df-riota 5844 df-ov 5891 df-inn 8933 df-2 8991 df-ndx 12478 df-slot 12479 df-base 12481 df-plusg 12563 df-0g 12724 df-mgm 12793 df-sgrp 12826 df-mnd 12839 |
This theorem is referenced by: rinvmod 13145 |
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