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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > mndinvmod | Unicode version |
Description: Uniqueness of an inverse element in a monoid, if it exists. (Contributed by AV, 20-Jan-2024.) |
Ref | Expression |
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mndinvmod.b |
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mndinvmod.0 |
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mndinvmod.p |
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mndinvmod.m |
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mndinvmod.a |
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Ref | Expression |
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mndinvmod |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | mndinvmod.m |
. . . . . . . 8
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2 | simpl 109 |
. . . . . . . 8
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3 | mndinvmod.b |
. . . . . . . . 9
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4 | mndinvmod.p |
. . . . . . . . 9
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5 | mndinvmod.0 |
. . . . . . . . 9
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6 | 3, 4, 5 | mndrid 12869 |
. . . . . . . 8
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7 | 1, 2, 6 | syl2an 289 |
. . . . . . 7
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8 | 7 | eqcomd 2195 |
. . . . . 6
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9 | 8 | adantr 276 |
. . . . 5
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10 | oveq2 5899 |
. . . . . . . . 9
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11 | 10 | eqcoms 2192 |
. . . . . . . 8
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12 | 11 | adantl 277 |
. . . . . . 7
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13 | 12 | adantl 277 |
. . . . . 6
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14 | 13 | adantl 277 |
. . . . 5
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15 | 1 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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16 | 2 | adantl 277 |
. . . . . . . 8
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17 | mndinvmod.a |
. . . . . . . . 9
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18 | 17 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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19 | simpr 110 |
. . . . . . . . 9
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20 | 19 | adantl 277 |
. . . . . . . 8
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21 | 3, 4 | mndass 12857 |
. . . . . . . . 9
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22 | 21 | eqcomd 2195 |
. . . . . . . 8
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23 | 15, 16, 18, 20, 22 | syl13anc 1251 |
. . . . . . 7
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24 | 23 | adantr 276 |
. . . . . 6
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25 | oveq1 5898 |
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26 | 25 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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27 | 26 | adantr 276 |
. . . . . . 7
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28 | 27 | adantl 277 |
. . . . . 6
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29 | 3, 4, 5 | mndlid 12868 |
. . . . . . . 8
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30 | 1, 19, 29 | syl2an 289 |
. . . . . . 7
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31 | 30 | adantr 276 |
. . . . . 6
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32 | 24, 28, 31 | 3eqtrd 2226 |
. . . . 5
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33 | 9, 14, 32 | 3eqtrd 2226 |
. . . 4
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34 | 33 | ex 115 |
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35 | 34 | ralrimivva 2572 |
. 2
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36 | oveq1 5898 |
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37 | 36 | eqeq1d 2198 |
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38 | oveq2 5899 |
. . . . 5
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39 | 38 | eqeq1d 2198 |
. . . 4
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40 | 37, 39 | anbi12d 473 |
. . 3
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41 | 40 | rmo4 2945 |
. 2
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42 | 35, 41 | sylibr 134 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-sep 4136 ax-pow 4189 ax-pr 4224 ax-un 4448 ax-cnex 7921 ax-resscn 7922 ax-1re 7924 ax-addrcl 7927 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 982 df-tru 1367 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rmo 2476 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-csb 3073 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-int 3860 df-br 4019 df-opab 4080 df-mpt 4081 df-id 4308 df-xp 4647 df-rel 4648 df-cnv 4649 df-co 4650 df-dm 4651 df-rn 4652 df-res 4653 df-iota 5193 df-fun 5233 df-fn 5234 df-fv 5239 df-riota 5847 df-ov 5894 df-inn 8939 df-2 8997 df-ndx 12489 df-slot 12490 df-base 12492 df-plusg 12574 df-0g 12735 df-mgm 12804 df-sgrp 12837 df-mnd 12850 |
This theorem is referenced by: rinvmod 13215 |
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