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Theorem exbtwnz 10634
Description: If a real number is between an integer and its successor, there is a unique greatest integer less than or equal to the real number. (Contributed by Jim Kingdon, 10-May-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
exbtwnz.ex |- ( ph -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
exbtwnz.a |- ( ph -> A e. RR )
Assertion
Ref Expression
exbtwnz |- ( ph -> E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
Distinct variable groups:   x, A   ph, x
Proof of Theorem exbtwnz
Dummy variable y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 exbtwnz.ex . 2 |- ( ph -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
2 simplrl 537 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> x e. ZZ )
32zred 9718 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> x e. RR )
4 exbtwnz.a . . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. RR )
54ad2antrr 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> A e. RR )
6 simplrr 538 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> y e. ZZ )
76zred 9718 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> y e. RR )
8 1red 8305 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> 1 e. RR )
97, 8readdcld 8319 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> ( y + 1 ) e. RR )
10 simprll 539 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> x <_ A )
11 simprrr 542 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> A < ( y + 1 ) )
123, 5, 9, 10, 11lelttrd 8414 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> x < ( y + 1 ) )
13 zleltp1 9650 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( x <_ y <-> x < ( y + 1 ) ) )
142, 6, 13syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> ( x <_ y <-> x < ( y + 1 ) ) )
1512, 14mpbird 167 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> x <_ y )
163, 8readdcld 8319 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> ( x + 1 ) e. RR )
17 simprrl 541 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> y <_ A )
18 simprlr 540 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> A < ( x + 1 ) )
197, 5, 16, 17, 18lelttrd 8414 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> y < ( x + 1 ) )
20 zleltp1 9650 . . . . . . . 8 |- ( ( y e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( y <_ x <-> y < ( x + 1 ) ) )
216, 2, 20syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> ( y <_ x <-> y < ( x + 1 ) ) )
2219, 21mpbird 167 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> y <_ x )
233, 7letri3d 8405 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> ( x = y <-> ( x <_ y /\ y <_ x ) ) )
2415, 22, 23mpbir2and 953 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> x = y )
2524ex 115 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) -> x = y ) )
2625ralrimivva 2626 . . 3 |- ( ph -> A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) -> x = y ) )
27 breq1 4117 . . . . 5 |- ( x = y -> ( x <_ A <-> y <_ A ) )
28 oveq1 6065 . . . . . 6 |- ( x = y -> ( x + 1 ) = ( y + 1 ) )
2928breq2d 4126 . . . . 5 |- ( x = y -> ( A < ( x + 1 ) <-> A < ( y + 1 ) ) )
3027, 29anbi12d 473 . . . 4 |- ( x = y -> ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) <-> ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) )
3130rmo4 3013 . . 3 |- ( E* x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) <-> A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) -> x = y ) )
3226, 31sylibr 134 . 2 |- ( ph -> E* x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
33 reu5 2764 . 2 |- ( E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) <-> ( E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ E* x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) )
341, 32, 33sylanbrc 417 1 |- ( ph -> E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2205   A.wral 2522   E.wrex 2523   E!wreu 2524   E*wrmo 2525   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058   RRcr 8142   1c1 8144   + caddc 8146   < clt 8324   <_ cle 8325   ZZcz 9594
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595
This theorem is referenced by:  qbtwnz  10635  apbtwnz  10658
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