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Theorem exbtwnz 10264
Description: If a real number is between an integer and its successor, there is a unique greatest integer less than or equal to the real number. (Contributed by Jim Kingdon, 10-May-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
exbtwnz.ex  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )
exbtwnz.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
exbtwnz  |-  ( ph  ->  E! x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x

Proof of Theorem exbtwnz
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 exbtwnz.ex . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )
2 simplrl 535 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  ZZ )
32zred 9388 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  RR )
4 exbtwnz.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
54ad2antrr 488 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  A  e.  RR )
6 simplrr 536 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  y  e.  ZZ )
76zred 9388 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  y  e.  RR )
8 1red 7985 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  1  e.  RR )
97, 8readdcld 8000 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  (
y  +  1 )  e.  RR )
10 simprll 537 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  x  <_  A )
11 simprrr 540 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  A  <  ( y  +  1 ) )
123, 5, 9, 10, 11lelttrd 8095 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  x  <  ( y  +  1 ) )
13 zleltp1 9321 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( x  <_  y  <->  x  <  ( y  +  1 ) ) )
142, 6, 13syl2anc 411 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  (
x  <_  y  <->  x  <  ( y  +  1 ) ) )
1512, 14mpbird 167 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  x  <_  y )
163, 8readdcld 8000 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  (
x  +  1 )  e.  RR )
17 simprrl 539 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  y  <_  A )
18 simprlr 538 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  A  <  ( x  +  1 ) )
197, 5, 16, 17, 18lelttrd 8095 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  y  <  ( x  +  1 ) )
20 zleltp1 9321 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( y  <_  x  <->  y  <  ( x  + 
1 ) ) )
216, 2, 20syl2anc 411 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  (
y  <_  x  <->  y  <  ( x  +  1 ) ) )
2219, 21mpbird 167 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  y  <_  x )
233, 7letri3d 8086 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  (
x  =  y  <->  ( x  <_  y  /\  y  <_  x ) ) )
2415, 22, 23mpbir2and 945 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  x  =  y )
2524ex 115 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  +  1 ) )  /\  (
y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) )  ->  x  =  y ) )
2625ralrimivva 2569 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  (
( ( x  <_  A  /\  A  <  (
x  +  1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) )  ->  x  =  y )
)
27 breq1 4018 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
x  <_  A  <->  y  <_  A ) )
28 oveq1 5895 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  +  1 )  =  ( y  +  1 ) )
2928breq2d 4027 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A  <  ( x  + 
1 )  <->  A  <  ( y  +  1 ) ) )
3027, 29anbi12d 473 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  <_  A  /\  A  <  ( x  +  1 ) )  <-> 
( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )
3130rmo4 2942 . . 3  |-  ( E* x  e.  ZZ  (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  <->  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( ( ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) )  ->  x  =  y ) )
3226, 31sylibr 134 . 2  |-  ( ph  ->  E* x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )
33 reu5 2700 . 2  |-  ( E! x  e.  ZZ  (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  <->  ( E. x  e.  ZZ  (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  E* x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) ) )
341, 32, 33sylanbrc 417 1  |-  ( ph  ->  E! x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    e. wcel 2158   A.wral 2465   E.wrex 2466   E!wreu 2467   E*wrmo 2468   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888   RRcr 7823   1c1 7825    + caddc 7827    < clt 8005    <_ cle 8006   ZZcz 9266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-inn 8933  df-n0 9190  df-z 9267
This theorem is referenced by:  qbtwnz  10265  apbtwnz  10287
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