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Theorem exbtwnz 10058
Description: If a real number is between an integer and its successor, there is a unique greatest integer less than or equal to the real number. (Contributed by Jim Kingdon, 10-May-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
exbtwnz.ex  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )
exbtwnz.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
exbtwnz  |-  ( ph  ->  E! x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x

Proof of Theorem exbtwnz
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 exbtwnz.ex . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )
2 simplrl 525 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  ZZ )
32zred 9196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  RR )
4 exbtwnz.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
54ad2antrr 480 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  A  e.  RR )
6 simplrr 526 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  y  e.  ZZ )
76zred 9196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  y  e.  RR )
8 1red 7804 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  1  e.  RR )
97, 8readdcld 7818 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  (
y  +  1 )  e.  RR )
10 simprll 527 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  x  <_  A )
11 simprrr 530 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  A  <  ( y  +  1 ) )
123, 5, 9, 10, 11lelttrd 7910 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  x  <  ( y  +  1 ) )
13 zleltp1 9132 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( x  <_  y  <->  x  <  ( y  +  1 ) ) )
142, 6, 13syl2anc 409 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  (
x  <_  y  <->  x  <  ( y  +  1 ) ) )
1512, 14mpbird 166 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  x  <_  y )
163, 8readdcld 7818 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  (
x  +  1 )  e.  RR )
17 simprrl 529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  y  <_  A )
18 simprlr 528 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  A  <  ( x  +  1 ) )
197, 5, 16, 17, 18lelttrd 7910 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  y  <  ( x  +  1 ) )
20 zleltp1 9132 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( y  <_  x  <->  y  <  ( x  + 
1 ) ) )
216, 2, 20syl2anc 409 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  (
y  <_  x  <->  y  <  ( x  +  1 ) ) )
2219, 21mpbird 166 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  y  <_  x )
233, 7letri3d 7902 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  (
x  =  y  <->  ( x  <_  y  /\  y  <_  x ) ) )
2415, 22, 23mpbir2and 929 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  x  =  y )
2524ex 114 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  +  1 ) )  /\  (
y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) )  ->  x  =  y ) )
2625ralrimivva 2517 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  (
( ( x  <_  A  /\  A  <  (
x  +  1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) )  ->  x  =  y )
)
27 breq1 3939 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
x  <_  A  <->  y  <_  A ) )
28 oveq1 5788 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  +  1 )  =  ( y  +  1 ) )
2928breq2d 3948 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A  <  ( x  + 
1 )  <->  A  <  ( y  +  1 ) ) )
3027, 29anbi12d 465 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  <_  A  /\  A  <  ( x  +  1 ) )  <-> 
( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )
3130rmo4 2880 . . 3  |-  ( E* x  e.  ZZ  (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  <->  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( ( ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) )  ->  x  =  y ) )
3226, 31sylibr 133 . 2  |-  ( ph  ->  E* x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )
33 reu5 2646 . 2  |-  ( E! x  e.  ZZ  (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  <->  ( E. x  e.  ZZ  (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  E* x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) ) )
341, 32, 33sylanbrc 414 1  |-  ( ph  ->  E! x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1481   A.wral 2417   E.wrex 2418   E!wreu 2419   E*wrmo 2420   class class class wbr 3936  (class class class)co 5781   RRcr 7642   1c1 7644    + caddc 7646    < clt 7823    <_ cle 7824   ZZcz 9077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-br 3937  df-opab 3997  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-inn 8744  df-n0 9001  df-z 9078
This theorem is referenced by:  qbtwnz  10059  apbtwnz  10077
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