Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  exbtwnz Unicode version

Theorem exbtwnz 10058
 Description: If a real number is between an integer and its successor, there is a unique greatest integer less than or equal to the real number. (Contributed by Jim Kingdon, 10-May-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
exbtwnz.ex
exbtwnz.a
Assertion
Ref Expression
exbtwnz
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem exbtwnz
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 exbtwnz.ex . 2
2 simplrl 525 . . . . . . . . 9
32zred 9196 . . . . . . . 8
4 exbtwnz.a . . . . . . . . 9
54ad2antrr 480 . . . . . . . 8
6 simplrr 526 . . . . . . . . . 10
76zred 9196 . . . . . . . . 9
8 1red 7804 . . . . . . . . 9
97, 8readdcld 7818 . . . . . . . 8
10 simprll 527 . . . . . . . 8
11 simprrr 530 . . . . . . . 8
123, 5, 9, 10, 11lelttrd 7910 . . . . . . 7
13 zleltp1 9132 . . . . . . . 8
142, 6, 13syl2anc 409 . . . . . . 7
1512, 14mpbird 166 . . . . . 6
163, 8readdcld 7818 . . . . . . . 8
17 simprrl 529 . . . . . . . 8
18 simprlr 528 . . . . . . . 8
197, 5, 16, 17, 18lelttrd 7910 . . . . . . 7
20 zleltp1 9132 . . . . . . . 8
216, 2, 20syl2anc 409 . . . . . . 7
2219, 21mpbird 166 . . . . . 6
233, 7letri3d 7902 . . . . . 6
2415, 22, 23mpbir2and 929 . . . . 5
2524ex 114 . . . 4
2625ralrimivva 2517 . . 3
27 breq1 3939 . . . . 5
28 oveq1 5788 . . . . . 6
2928breq2d 3948 . . . . 5
3027, 29anbi12d 465 . . . 4
3130rmo4 2880 . . 3
3226, 31sylibr 133 . 2
33 reu5 2646 . 2
341, 32, 33sylanbrc 414 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   wcel 1481  wral 2417  wrex 2418  wreu 2419  wrmo 2420   class class class wbr 3936  (class class class)co 5781  cr 7642  c1 7644   caddc 7646   clt 7823   cle 7824  cz 9077 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-br 3937  df-opab 3997  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-inn 8744  df-n0 9001  df-z 9078 This theorem is referenced by:  qbtwnz  10059  apbtwnz  10077
 Copyright terms: Public domain W3C validator