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Theorem exbtwnz 9551
Description: If a real number is between an integer and its successor, there is a unique greatest integer less than or equal to the real number. (Contributed by Jim Kingdon, 10-May-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
exbtwnz.ex  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )
exbtwnz.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
exbtwnz  |-  ( ph  ->  E! x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x

Proof of Theorem exbtwnz
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 exbtwnz.ex . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )
2 simplrl 502 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  ZZ )
32zred 8764 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  RR )
4 exbtwnz.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
54ad2antrr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  A  e.  RR )
6 simplrr 503 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  y  e.  ZZ )
76zred 8764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  y  e.  RR )
8 1red 7406 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  1  e.  RR )
97, 8readdcld 7420 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  (
y  +  1 )  e.  RR )
10 simprll 504 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  x  <_  A )
11 simprrr 507 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  A  <  ( y  +  1 ) )
123, 5, 9, 10, 11lelttrd 7511 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  x  <  ( y  +  1 ) )
13 zleltp1 8701 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( x  <_  y  <->  x  <  ( y  +  1 ) ) )
142, 6, 13syl2anc 403 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  (
x  <_  y  <->  x  <  ( y  +  1 ) ) )
1512, 14mpbird 165 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  x  <_  y )
163, 8readdcld 7420 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  (
x  +  1 )  e.  RR )
17 simprrl 506 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  y  <_  A )
18 simprlr 505 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  A  <  ( x  +  1 ) )
197, 5, 16, 17, 18lelttrd 7511 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  y  <  ( x  +  1 ) )
20 zleltp1 8701 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( y  <_  x  <->  y  <  ( x  + 
1 ) ) )
216, 2, 20syl2anc 403 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  (
y  <_  x  <->  y  <  ( x  +  1 ) ) )
2219, 21mpbird 165 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  y  <_  x )
233, 7letri3d 7503 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  (
x  =  y  <->  ( x  <_  y  /\  y  <_  x ) ) )
2415, 22, 23mpbir2and 886 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  x  =  y )
2524ex 113 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  +  1 ) )  /\  (
y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) )  ->  x  =  y ) )
2625ralrimivva 2449 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  (
( ( x  <_  A  /\  A  <  (
x  +  1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) )  ->  x  =  y )
)
27 breq1 3814 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
x  <_  A  <->  y  <_  A ) )
28 oveq1 5598 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  +  1 )  =  ( y  +  1 ) )
2928breq2d 3823 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A  <  ( x  + 
1 )  <->  A  <  ( y  +  1 ) ) )
3027, 29anbi12d 457 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  <_  A  /\  A  <  ( x  +  1 ) )  <-> 
( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )
3130rmo4 2796 . . 3  |-  ( E* x  e.  ZZ  (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  <->  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( ( ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) )  ->  x  =  y ) )
3226, 31sylibr 132 . 2  |-  ( ph  ->  E* x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )
33 reu5 2572 . 2  |-  ( E! x  e.  ZZ  (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  <->  ( E. x  e.  ZZ  (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  E* x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) ) )
341, 32, 33sylanbrc 408 1  |-  ( ph  ->  E! x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    e. wcel 1434   A.wral 2353   E.wrex 2354   E!wreu 2355   E*wrmo 2356   class class class wbr 3811  (class class class)co 5591   RRcr 7252   1c1 7254    + caddc 7256    < clt 7425    <_ cle 7426   ZZcz 8646
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-addcom 7348  ax-addass 7350  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0lt1 7354  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-cnre 7359  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-apti 7363  ax-pre-ltadd 7364
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-br 3812  df-opab 3866  df-id 4084  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431  df-sub 7558  df-neg 7559  df-inn 8317  df-n0 8566  df-z 8647
This theorem is referenced by:  qbtwnz  9552  apbtwnz  9570
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