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Theorem exbtwnz 10194
Description: If a real number is between an integer and its successor, there is a unique greatest integer less than or equal to the real number. (Contributed by Jim Kingdon, 10-May-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
exbtwnz.ex |- ( ph -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
exbtwnz.a |- ( ph -> A e. RR )
Assertion
Ref Expression
exbtwnz |- ( ph -> E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
Distinct variable groups:   x, A   ph, x
Proof of Theorem exbtwnz
Dummy variable y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 exbtwnz.ex . 2 |- ( ph -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
2 simplrl 530 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> x e. ZZ )
32zred 9321 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> x e. RR )
4 exbtwnz.a . . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. RR )
54ad2antrr 485 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> A e. RR )
6 simplrr 531 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> y e. ZZ )
76zred 9321 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> y e. RR )
8 1red 7922 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> 1 e. RR )
97, 8readdcld 7936 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> ( y + 1 ) e. RR )
10 simprll 532 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> x <_ A )
11 simprrr 535 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> A < ( y + 1 ) )
123, 5, 9, 10, 11lelttrd 8031 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> x < ( y + 1 ) )
13 zleltp1 9254 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( x <_ y <-> x < ( y + 1 ) ) )
142, 6, 13syl2anc 409 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> ( x <_ y <-> x < ( y + 1 ) ) )
1512, 14mpbird 166 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> x <_ y )
163, 8readdcld 7936 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> ( x + 1 ) e. RR )
17 simprrl 534 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> y <_ A )
18 simprlr 533 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> A < ( x + 1 ) )
197, 5, 16, 17, 18lelttrd 8031 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> y < ( x + 1 ) )
20 zleltp1 9254 . . . . . . . 8 |- ( ( y e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( y <_ x <-> y < ( x + 1 ) ) )
216, 2, 20syl2anc 409 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> ( y <_ x <-> y < ( x + 1 ) ) )
2219, 21mpbird 166 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> y <_ x )
233, 7letri3d 8022 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> ( x = y <-> ( x <_ y /\ y <_ x ) ) )
2415, 22, 23mpbir2and 939 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> x = y )
2524ex 114 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) -> x = y ) )
2625ralrimivva 2552 . . 3 |- ( ph -> A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) -> x = y ) )
27 breq1 3990 . . . . 5 |- ( x = y -> ( x <_ A <-> y <_ A ) )
28 oveq1 5857 . . . . . 6 |- ( x = y -> ( x + 1 ) = ( y + 1 ) )
2928breq2d 3999 . . . . 5 |- ( x = y -> ( A < ( x + 1 ) <-> A < ( y + 1 ) ) )
3027, 29anbi12d 470 . . . 4 |- ( x = y -> ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) <-> ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) )
3130rmo4 2923 . . 3 |- ( E* x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) <-> A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) -> x = y ) )
3226, 31sylibr 133 . 2 |- ( ph -> E* x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
33 reu5 2682 . 2 |- ( E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) <-> ( E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ E* x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) )
341, 32, 33sylanbrc 415 1 |- ( ph -> E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   E!wreu 2450   E*wrmo 2451   class class class wbr 3987  (class class class)co 5850   RRcr 7760   1c1 7762   + caddc 7764   < clt 7941   <_ cle 7942   ZZcz 9199
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-addcom 7861  ax-addass 7863  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-opab 4049  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-inn 8866  df-n0 9123  df-z 9200
This theorem is referenced by:  qbtwnz  10195  apbtwnz  10217
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