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Theorem exbtwnz 10430
Description: If a real number is between an integer and its successor, there is a unique greatest integer less than or equal to the real number. (Contributed by Jim Kingdon, 10-May-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
exbtwnz.ex |- ( ph -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
exbtwnz.a |- ( ph -> A e. RR )
Assertion
Ref Expression
exbtwnz |- ( ph -> E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
Distinct variable groups:   x, A   ph, x
Proof of Theorem exbtwnz
Dummy variable y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 exbtwnz.ex . 2 |- ( ph -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
2 simplrl 535 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> x e. ZZ )
32zred 9530 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> x e. RR )
4 exbtwnz.a . . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. RR )
54ad2antrr 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> A e. RR )
6 simplrr 536 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> y e. ZZ )
76zred 9530 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> y e. RR )
8 1red 8122 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> 1 e. RR )
97, 8readdcld 8137 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> ( y + 1 ) e. RR )
10 simprll 537 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> x <_ A )
11 simprrr 540 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> A < ( y + 1 ) )
123, 5, 9, 10, 11lelttrd 8232 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> x < ( y + 1 ) )
13 zleltp1 9463 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( x <_ y <-> x < ( y + 1 ) ) )
142, 6, 13syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> ( x <_ y <-> x < ( y + 1 ) ) )
1512, 14mpbird 167 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> x <_ y )
163, 8readdcld 8137 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> ( x + 1 ) e. RR )
17 simprrl 539 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> y <_ A )
18 simprlr 538 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> A < ( x + 1 ) )
197, 5, 16, 17, 18lelttrd 8232 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> y < ( x + 1 ) )
20 zleltp1 9463 . . . . . . . 8 |- ( ( y e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( y <_ x <-> y < ( x + 1 ) ) )
216, 2, 20syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> ( y <_ x <-> y < ( x + 1 ) ) )
2219, 21mpbird 167 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> y <_ x )
233, 7letri3d 8223 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> ( x = y <-> ( x <_ y /\ y <_ x ) ) )
2415, 22, 23mpbir2and 947 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> x = y )
2524ex 115 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) -> x = y ) )
2625ralrimivva 2590 . . 3 |- ( ph -> A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) -> x = y ) )
27 breq1 4062 . . . . 5 |- ( x = y -> ( x <_ A <-> y <_ A ) )
28 oveq1 5974 . . . . . 6 |- ( x = y -> ( x + 1 ) = ( y + 1 ) )
2928breq2d 4071 . . . . 5 |- ( x = y -> ( A < ( x + 1 ) <-> A < ( y + 1 ) ) )
3027, 29anbi12d 473 . . . 4 |- ( x = y -> ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) <-> ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) )
3130rmo4 2973 . . 3 |- ( E* x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) <-> A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) -> x = y ) )
3226, 31sylibr 134 . 2 |- ( ph -> E* x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
33 reu5 2726 . 2 |- ( E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) <-> ( E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ E* x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) )
341, 32, 33sylanbrc 417 1 |- ( ph -> E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2178   A.wral 2486   E.wrex 2487   E!wreu 2488   E*wrmo 2489   class class class wbr 4059  (class class class)co 5967   RRcr 7959   1c1 7961   + caddc 7963   < clt 8142   <_ cle 8143   ZZcz 9407
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408
This theorem is referenced by:  qbtwnz  10431  apbtwnz  10454
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