ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  exbtwnz Unicode version
Theorem exbtwnz 10176
Description: If a real number is between an integer and its successor, there is a unique greatest integer less than or equal to the real number. (Contributed by Jim Kingdon, 10-May-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
exbtwnz.ex |- ( ph -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
exbtwnz.a |- ( ph -> A e. RR )
Assertion
Ref Expression
exbtwnz |- ( ph -> E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
Distinct variable groups:   x, A   ph, x
Proof of Theorem exbtwnz
Dummy variable y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 exbtwnz.ex . 2 |- ( ph -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
2 simplrl 525 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> x e. ZZ )
32zred 9304 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> x e. RR )
4 exbtwnz.a . . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. RR )
54ad2antrr 480 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> A e. RR )
6 simplrr 526 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> y e. ZZ )
76zred 9304 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> y e. RR )
8 1red 7905 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> 1 e. RR )
97, 8readdcld 7919 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> ( y + 1 ) e. RR )
10 simprll 527 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> x <_ A )
11 simprrr 530 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> A < ( y + 1 ) )
123, 5, 9, 10, 11lelttrd 8014 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> x < ( y + 1 ) )
13 zleltp1 9237 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( x <_ y <-> x < ( y + 1 ) ) )
142, 6, 13syl2anc 409 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> ( x <_ y <-> x < ( y + 1 ) ) )
1512, 14mpbird 166 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> x <_ y )
163, 8readdcld 7919 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> ( x + 1 ) e. RR )
17 simprrl 529 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> y <_ A )
18 simprlr 528 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> A < ( x + 1 ) )
197, 5, 16, 17, 18lelttrd 8014 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> y < ( x + 1 ) )
20 zleltp1 9237 . . . . . . . 8 |- ( ( y e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( y <_ x <-> y < ( x + 1 ) ) )
216, 2, 20syl2anc 409 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> ( y <_ x <-> y < ( x + 1 ) ) )
2219, 21mpbird 166 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> y <_ x )
233, 7letri3d 8005 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> ( x = y <-> ( x <_ y /\ y <_ x ) ) )
2415, 22, 23mpbir2and 933 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> x = y )
2524ex 114 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) -> x = y ) )
2625ralrimivva 2546 . . 3 |- ( ph -> A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) -> x = y ) )
27 breq1 3979 . . . . 5 |- ( x = y -> ( x <_ A <-> y <_ A ) )
28 oveq1 5843 . . . . . 6 |- ( x = y -> ( x + 1 ) = ( y + 1 ) )
2928breq2d 3988 . . . . 5 |- ( x = y -> ( A < ( x + 1 ) <-> A < ( y + 1 ) ) )
3027, 29anbi12d 465 . . . 4 |- ( x = y -> ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) <-> ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) )
3130rmo4 2914 . . 3 |- ( E* x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) <-> A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) -> x = y ) )
3226, 31sylibr 133 . 2 |- ( ph -> E* x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
33 reu5 2676 . 2 |- ( E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) <-> ( E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ E* x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) )
341, 32, 33sylanbrc 414 1 |- ( ph -> E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2135   A.wral 2442   E.wrex 2443   E!wreu 2444   E*wrmo 2445   class class class wbr 3976  (class class class)co 5836   RRcr 7743   1c1 7745   + caddc 7747   < clt 7924   <_ cle 7925   ZZcz 9182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-addcom 7844  ax-addass 7846  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-apti 7859  ax-pre-ltadd 7860
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rmo 2450  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-br 3977  df-opab 4038  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fv 5190  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-sub 8062  df-neg 8063  df-inn 8849  df-n0 9106  df-z 9183
This theorem is referenced by:  qbtwnz  10177  apbtwnz  10199
  Copyright terms: Public domain W3C validator