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Theorem exbtwnz 10237
Description: If a real number is between an integer and its successor, there is a unique greatest integer less than or equal to the real number. (Contributed by Jim Kingdon, 10-May-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
exbtwnz.ex |- ( ph -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
exbtwnz.a |- ( ph -> A e. RR )
Assertion
Ref Expression
exbtwnz |- ( ph -> E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
Distinct variable groups:   x, A   ph, x
Proof of Theorem exbtwnz
Dummy variable y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 exbtwnz.ex . 2 |- ( ph -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
2 simplrl 535 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> x e. ZZ )
32zred 9364 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> x e. RR )
4 exbtwnz.a . . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. RR )
54ad2antrr 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> A e. RR )
6 simplrr 536 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> y e. ZZ )
76zred 9364 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> y e. RR )
8 1red 7963 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> 1 e. RR )
97, 8readdcld 7977 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> ( y + 1 ) e. RR )
10 simprll 537 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> x <_ A )
11 simprrr 540 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> A < ( y + 1 ) )
123, 5, 9, 10, 11lelttrd 8072 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> x < ( y + 1 ) )
13 zleltp1 9297 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( x <_ y <-> x < ( y + 1 ) ) )
142, 6, 13syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> ( x <_ y <-> x < ( y + 1 ) ) )
1512, 14mpbird 167 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> x <_ y )
163, 8readdcld 7977 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> ( x + 1 ) e. RR )
17 simprrl 539 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> y <_ A )
18 simprlr 538 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> A < ( x + 1 ) )
197, 5, 16, 17, 18lelttrd 8072 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> y < ( x + 1 ) )
20 zleltp1 9297 . . . . . . . 8 |- ( ( y e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( y <_ x <-> y < ( x + 1 ) ) )
216, 2, 20syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> ( y <_ x <-> y < ( x + 1 ) ) )
2219, 21mpbird 167 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> y <_ x )
233, 7letri3d 8063 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> ( x = y <-> ( x <_ y /\ y <_ x ) ) )
2415, 22, 23mpbir2and 944 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) ) -> x = y )
2524ex 115 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) -> x = y ) )
2625ralrimivva 2559 . . 3 |- ( ph -> A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) -> x = y ) )
27 breq1 4003 . . . . 5 |- ( x = y -> ( x <_ A <-> y <_ A ) )
28 oveq1 5876 . . . . . 6 |- ( x = y -> ( x + 1 ) = ( y + 1 ) )
2928breq2d 4012 . . . . 5 |- ( x = y -> ( A < ( x + 1 ) <-> A < ( y + 1 ) ) )
3027, 29anbi12d 473 . . . 4 |- ( x = y -> ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) <-> ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) )
3130rmo4 2930 . . 3 |- ( E* x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) <-> A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ ( y <_ A /\ A < ( y + 1 ) ) ) -> x = y ) )
3226, 31sylibr 134 . 2 |- ( ph -> E* x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
33 reu5 2689 . 2 |- ( E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) <-> ( E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) /\ E* x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) )
341, 32, 33sylanbrc 417 1 |- ( ph -> E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   E!wreu 2457   E*wrmo 2458   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869   RRcr 7801   1c1 7803   + caddc 7805   < clt 7982   <_ cle 7983   ZZcz 9242
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-addass 7904  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243
This theorem is referenced by:  qbtwnz  10238  apbtwnz  10260
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