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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > bezoutlemeu | Unicode version |
Description: Lemma for Bézout's identity. There is exactly one nonnegative integer meeting the greatest common divisor condition. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 9-Jan-2022.) |
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bezoutlemgcd.1 |
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bezoutlemgcd.2 |
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bezoutlemgcd.3 |
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bezoutlemgcd.4 |
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bezoutlemeu |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | bezoutlemgcd.1 |
. . 3
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2 | bezoutlemgcd.2 |
. . 3
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3 | bezoutlembi 10772 |
. . . 4
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4 | simpl 107 |
. . . . 5
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5 | 4 | reximi 2464 |
. . . 4
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6 | 3, 5 | syl 14 |
. . 3
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7 | 1, 2, 6 | syl2anc 403 |
. 2
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8 | 1 | ad2antrr 472 |
. . . . . 6
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9 | 2 | ad2antrr 472 |
. . . . . 6
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10 | simplrl 502 |
. . . . . 6
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11 | simprl 498 |
. . . . . . 7
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12 | breq1 3814 |
. . . . . . . . 9
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13 | breq1 3814 |
. . . . . . . . . 10
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14 | breq1 3814 |
. . . . . . . . . 10
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15 | 13, 14 | anbi12d 457 |
. . . . . . . . 9
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16 | 12, 15 | bibi12d 233 |
. . . . . . . 8
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17 | 16 | cbvralv 2583 |
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18 | 11, 17 | sylib 120 |
. . . . . 6
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19 | simplrr 503 |
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20 | simprr 499 |
. . . . . . 7
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21 | breq1 3814 |
. . . . . . . . 9
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22 | 21, 15 | bibi12d 233 |
. . . . . . . 8
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23 | 22 | cbvralv 2583 |
. . . . . . 7
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24 | 20, 23 | sylib 120 |
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25 | 8, 9, 10, 18, 19, 24 | bezoutlemmo 10773 |
. . . . 5
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26 | 25 | ex 113 |
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27 | 26 | ralrimivva 2449 |
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28 | breq2 3815 |
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29 | 28 | bibi1d 231 |
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30 | 29 | ralbidv 2374 |
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31 | 30 | rmo4 2796 |
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32 | 27, 31 | sylibr 132 |
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33 | reu5 2572 |
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34 | 7, 32, 33 | sylanbrc 408 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 104 ax-ia2 105 ax-ia3 106 ax-in1 577 ax-in2 578 ax-io 663 ax-5 1377 ax-7 1378 ax-gen 1379 ax-ie1 1423 ax-ie2 1424 ax-8 1436 ax-10 1437 ax-11 1438 ax-i12 1439 ax-bndl 1440 ax-4 1441 ax-13 1445 ax-14 1446 ax-17 1460 ax-i9 1464 ax-ial 1468 ax-i5r 1469 ax-ext 2065 ax-coll 3919 ax-sep 3922 ax-nul 3930 ax-pow 3974 ax-pr 3999 ax-un 4223 ax-setind 4315 ax-iinf 4365 ax-cnex 7337 ax-resscn 7338 ax-1cn 7339 ax-1re 7340 ax-icn 7341 ax-addcl 7342 ax-addrcl 7343 ax-mulcl 7344 ax-mulrcl 7345 ax-addcom 7346 ax-mulcom 7347 ax-addass 7348 ax-mulass 7349 ax-distr 7350 ax-i2m1 7351 ax-0lt1 7352 ax-1rid 7353 ax-0id 7354 ax-rnegex 7355 ax-precex 7356 ax-cnre 7357 ax-pre-ltirr 7358 ax-pre-ltwlin 7359 ax-pre-lttrn 7360 ax-pre-apti 7361 ax-pre-ltadd 7362 ax-pre-mulgt0 7363 ax-pre-mulext 7364 ax-arch 7365 ax-caucvg 7366 |
This theorem depends on definitions: df-bi 115 df-dc 777 df-3or 921 df-3an 922 df-tru 1288 df-fal 1291 df-nf 1391 df-sb 1688 df-eu 1946 df-mo 1947 df-clab 2070 df-cleq 2076 df-clel 2079 df-nfc 2212 df-ne 2250 df-nel 2345 df-ral 2358 df-rex 2359 df-reu 2360 df-rmo 2361 df-rab 2362 df-v 2614 df-sbc 2827 df-csb 2920 df-dif 2986 df-un 2988 df-in 2990 df-ss 2997 df-nul 3270 df-if 3374 df-pw 3408 df-sn 3428 df-pr 3429 df-op 3431 df-uni 3628 df-int 3663 df-iun 3706 df-br 3812 df-opab 3866 df-mpt 3867 df-tr 3902 df-id 4083 df-po 4086 df-iso 4087 df-iord 4156 df-on 4158 df-ilim 4159 df-suc 4161 df-iom 4368 df-xp 4405 df-rel 4406 df-cnv 4407 df-co 4408 df-dm 4409 df-rn 4410 df-res 4411 df-ima 4412 df-iota 4932 df-fun 4969 df-fn 4970 df-f 4971 df-f1 4972 df-fo 4973 df-f1o 4974 df-fv 4975 df-riota 5545 df-ov 5592 df-oprab 5593 df-mpt2 5594 df-1st 5844 df-2nd 5845 df-recs 6000 df-frec 6086 df-pnf 7425 df-mnf 7426 df-xr 7427 df-ltxr 7428 df-le 7429 df-sub 7556 df-neg 7557 df-reap 7950 df-ap 7957 df-div 8036 df-inn 8315 df-2 8373 df-3 8374 df-4 8375 df-n0 8564 df-z 8645 df-uz 8913 df-q 8998 df-rp 9028 df-fz 9318 df-fl 9564 df-mod 9617 df-iseq 9739 df-iexp 9790 df-cj 10101 df-re 10102 df-im 10103 df-rsqrt 10256 df-abs 10257 df-dvds 10575 |
This theorem is referenced by: dfgcd3 10777 bezout 10778 |
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