Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bezoutlemeu Unicode version

Theorem bezoutlemeu 11767
 Description: Lemma for Bézout's identity. There is exactly one nonnegative integer meeting the greatest common divisor condition. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 9-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
bezoutlemgcd.1
bezoutlemgcd.2
bezoutlemgcd.3
bezoutlemgcd.4
Assertion
Ref Expression
bezoutlemeu
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem bezoutlemeu
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bezoutlemgcd.1 . . 3
2 bezoutlemgcd.2 . . 3
3 bezoutlembi 11765 . . . 4
4 simpl 108 . . . . 5
54reximi 2534 . . . 4
63, 5syl 14 . . 3
71, 2, 6syl2anc 409 . 2
81ad2antrr 480 . . . . . 6
92ad2antrr 480 . . . . . 6
10 simplrl 525 . . . . . 6
11 simprl 521 . . . . . . 7
12 breq1 3942 . . . . . . . . 9
13 breq1 3942 . . . . . . . . . 10
14 breq1 3942 . . . . . . . . . 10
1513, 14anbi12d 465 . . . . . . . . 9
1612, 15bibi12d 234 . . . . . . . 8
1716cbvralv 2659 . . . . . . 7
1811, 17sylib 121 . . . . . 6
19 simplrr 526 . . . . . 6
20 simprr 522 . . . . . . 7
21 breq1 3942 . . . . . . . . 9
2221, 15bibi12d 234 . . . . . . . 8
2322cbvralv 2659 . . . . . . 7
2420, 23sylib 121 . . . . . 6
258, 9, 10, 18, 19, 24bezoutlemmo 11766 . . . . 5
2625ex 114 . . . 4
2726ralrimivva 2519 . . 3
28 breq2 3943 . . . . . 6
2928bibi1d 232 . . . . 5
3029ralbidv 2440 . . . 4
3130rmo4 2883 . . 3
3227, 31sylibr 133 . 2
33 reu5 2648 . 2
347, 32, 33sylanbrc 414 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   wceq 1332   wcel 2112  wral 2418  wrex 2419  wreu 2420  wrmo 2421   class class class wbr 3939  (class class class)co 5786   caddc 7676   cmul 7678  cn0 9030  cz 9107   cdvds 11565 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2114  ax-14 2115  ax-ext 2123  ax-coll 4053  ax-sep 4056  ax-nul 4064  ax-pow 4108  ax-pr 4142  ax-un 4366  ax-setind 4463  ax-iinf 4513  ax-cnex 7764  ax-resscn 7765  ax-1cn 7766  ax-1re 7767  ax-icn 7768  ax-addcl 7769  ax-addrcl 7770  ax-mulcl 7771  ax-mulrcl 7772  ax-addcom 7773  ax-mulcom 7774  ax-addass 7775  ax-mulass 7776  ax-distr 7777  ax-i2m1 7778  ax-0lt1 7779  ax-1rid 7780  ax-0id 7781  ax-rnegex 7782  ax-precex 7783  ax-cnre 7784  ax-pre-ltirr 7785  ax-pre-ltwlin 7786  ax-pre-lttrn 7787  ax-pre-apti 7788  ax-pre-ltadd 7789  ax-pre-mulgt0 7790  ax-pre-mulext 7791  ax-arch 7792  ax-caucvg 7793 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1732  df-eu 1993  df-mo 1994  df-clab 2128  df-cleq 2134  df-clel 2137  df-nfc 2272  df-ne 2311  df-nel 2406  df-ral 2423  df-rex 2424  df-reu 2425  df-rmo 2426  df-rab 2427  df-v 2693  df-sbc 2916  df-csb 3010  df-dif 3080  df-un 3082  df-in 3084  df-ss 3091  df-nul 3371  df-if 3482  df-pw 3519  df-sn 3540  df-pr 3541  df-op 3543  df-uni 3747  df-int 3782  df-iun 3825  df-br 3940  df-opab 4000  df-mpt 4001  df-tr 4037  df-id 4226  df-po 4229  df-iso 4230  df-iord 4299  df-on 4301  df-ilim 4302  df-suc 4304  df-iom 4516  df-xp 4557  df-rel 4558  df-cnv 4559  df-co 4560  df-dm 4561  df-rn 4562  df-res 4563  df-ima 4564  df-iota 5100  df-fun 5137  df-fn 5138  df-f 5139  df-f1 5140  df-fo 5141  df-f1o 5142  df-fv 5143  df-riota 5742  df-ov 5789  df-oprab 5790  df-mpo 5791  df-1st 6050  df-2nd 6051  df-recs 6214  df-frec 6300  df-pnf 7855  df-mnf 7856  df-xr 7857  df-ltxr 7858  df-le 7859  df-sub 7988  df-neg 7989  df-reap 8390  df-ap 8397  df-div 8486  df-inn 8774  df-2 8832  df-3 8833  df-4 8834  df-n0 9031  df-z 9108  df-uz 9380  df-q 9468  df-rp 9500  df-fz 9851  df-fl 10103  df-mod 10156  df-seqfrec 10279  df-exp 10353  df-cj 10675  df-re 10676  df-im 10677  df-rsqrt 10831  df-abs 10832  df-dvds 11566 This theorem is referenced by:  dfgcd3  11770  bezout  11771
 Copyright terms: Public domain W3C validator