Theorem lteupri 7684

Description: The difference from ltexpri 7680 is unique. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
lteupri	|- ( A <P B -> E! x e. P. ( A +P. x ) = B )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem lteupri

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltexpri 7680	. 2 |- ( A <P B -> E. x e. P. ( A +P. x ) = B )
2		ltrelpr 7572	. . . . 5 |- <P C_ ( P. X. P. )
3	2	brel 4715	. . . 4 |- ( A <P B -> ( A e. P. /\ B e. P. ) )
4	3	simpld 112	. . 3 |- ( A <P B -> A e. P. )
5		eqtr3 2216	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A +P. x ) = B /\ ( A +P. y ) = B ) -> ( A +P. x ) = ( A +P. y ) )
6		addcanprg 7683	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. P. /\ x e. P. /\ y e. P. ) -> ( ( A +P. x ) = ( A +P. y ) -> x = y ) )
7	5, 6	syl5 32	. . . . . . 7 |- ( ( A e. P. /\ x e. P. /\ y e. P. ) -> ( ( ( A +P. x ) = B /\ ( A +P. y ) = B ) -> x = y ) )
8	7	3expa 1205	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. P. /\ x e. P. ) /\ y e. P. ) -> ( ( ( A +P. x ) = B /\ ( A +P. y ) = B ) -> x = y ) )
9	8	ralrimiva 2570	. . . . 5 |- ( ( A e. P. /\ x e. P. ) -> A. y e. P. ( ( ( A +P. x ) = B /\ ( A +P. y ) = B ) -> x = y ) )
10	9	ralrimiva 2570	. . . 4 |- ( A e. P. -> A. x e. P. A. y e. P. ( ( ( A +P. x ) = B /\ ( A +P. y ) = B ) -> x = y ) )
11		oveq2 5930	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( A +P. x ) = ( A +P. y ) )
12	11	eqeq1d 2205	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( A +P. x ) = B <-> ( A +P. y ) = B ) )
13	12	rmo4 2957	. . . 4 |- ( E* x e. P. ( A +P. x ) = B <-> A. x e. P. A. y e. P. ( ( ( A +P. x ) = B /\ ( A +P. y ) = B ) -> x = y ) )
14	10, 13	sylibr 134	. . 3 |- ( A e. P. -> E* x e. P. ( A +P. x ) = B )
15	4, 14	syl 14	. 2 |- ( A <P B -> E* x e. P. ( A +P. x ) = B )
16		reu5 2714	. 2 |- ( E! x e. P. ( A +P. x ) = B <-> ( E. x e. P. ( A +P. x ) = B /\ E* x e. P. ( A +P. x ) = B ) )
17	1, 15, 16	sylanbrc 417	1 |- ( A <P B -> E! x e. P. ( A +P. x ) = B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   E!wreu 2477   E*wrmo 2478   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922   P.cnp 7358   +P. cpp 7360   <P cltp 7362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-eprel 4324  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6592  df-ec 6594  df-qs 6598  df-ni 7371  df-pli 7372  df-mi 7373  df-lti 7374  df-plpq 7411  df-mpq 7412  df-enq 7414  df-nqqs 7415  df-plqqs 7416  df-mqqs 7417  df-1nqqs 7418  df-rq 7419  df-ltnqqs 7420  df-enq0 7491  df-nq0 7492  df-0nq0 7493  df-plq0 7494  df-mq0 7495  df-inp 7533  df-iplp 7535  df-iltp 7537

This theorem is referenced by:  srpospr  7850