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Theorem dedekindicclemicc 12789
Description: Lemma for dedekindicc 12790. Same as dedekindicc 12790, except that we merely show  x to be an element of  ( A [,] B ). Later we will strengthen that to  ( A (,) B
). (Contributed by Jim Kingdon, 5-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dedekindicc.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
dedekindicc.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
dedekindicc.lss  |-  ( ph  ->  L  C_  ( A [,] B ) )
dedekindicc.uss  |-  ( ph  ->  U  C_  ( A [,] B ) )
dedekindicc.lm  |-  ( ph  ->  E. q  e.  ( A [,] B ) q  e.  L )
dedekindicc.um  |-  ( ph  ->  E. r  e.  ( A [,] B ) r  e.  U )
dedekindicc.lr  |-  ( ph  ->  A. q  e.  ( A [,] B ) ( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) )
dedekindicc.ur  |-  ( ph  ->  A. r  e.  ( A [,] B ) ( r  e.  U  <->  E. q  e.  U  q  <  r ) )
dedekindicc.disj  |-  ( ph  ->  ( L  i^i  U
)  =  (/) )
dedekindicc.loc  |-  ( ph  ->  A. q  e.  ( A [,] B ) A. r  e.  ( A [,] B ) ( q  <  r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U
) ) )
dedekindicc.ab  |-  ( ph  ->  A  <  B )
Assertion
Ref Expression
dedekindicclemicc  |-  ( ph  ->  E! x  e.  ( A [,] B ) ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )
Distinct variable groups:    A, q, r, x    B, q, r, x    L, q, r, x    U, q, r, x    ph, q,
r, x

Proof of Theorem dedekindicclemicc
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dedekindicc.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 dedekindicc.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 dedekindicc.lss . . 3  |-  ( ph  ->  L  C_  ( A [,] B ) )
4 dedekindicc.uss . . 3  |-  ( ph  ->  U  C_  ( A [,] B ) )
5 dedekindicc.lm . . 3  |-  ( ph  ->  E. q  e.  ( A [,] B ) q  e.  L )
6 dedekindicc.um . . 3  |-  ( ph  ->  E. r  e.  ( A [,] B ) r  e.  U )
7 dedekindicc.lr . . 3  |-  ( ph  ->  A. q  e.  ( A [,] B ) ( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) )
8 dedekindicc.ur . . 3  |-  ( ph  ->  A. r  e.  ( A [,] B ) ( r  e.  U  <->  E. q  e.  U  q  <  r ) )
9 dedekindicc.disj . . 3  |-  ( ph  ->  ( L  i^i  U
)  =  (/) )
10 dedekindicc.loc . . 3  |-  ( ph  ->  A. q  e.  ( A [,] B ) A. r  e.  ( A [,] B ) ( q  <  r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U
) ) )
11 dedekindicc.ab . . 3  |-  ( ph  ->  A  <  B )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11dedekindicclemlu 12787 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( A [,] B ) ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )
131ad4antr 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y )  ->  A  e.  RR )
142ad4antr 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y )  ->  B  e.  RR )
153ad4antr 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y )  ->  L  C_  ( A [,] B
) )
164ad4antr 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y )  ->  U  C_  ( A [,] B
) )
175ad4antr 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y )  ->  E. q  e.  ( A [,] B
) q  e.  L
)
186ad4antr 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y )  ->  E. r  e.  ( A [,] B
) r  e.  U
)
197ad4antr 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y )  ->  A. q  e.  ( A [,] B
) ( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) )
208ad4antr 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y )  ->  A. r  e.  ( A [,] B
) ( r  e.  U  <->  E. q  e.  U  q  <  r ) )
219ad4antr 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y )  ->  ( L  i^i  U )  =  (/) )
2210ad4antr 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y )  ->  A. q  e.  ( A [,] B
) A. r  e.  ( A [,] B
) ( q  < 
r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U ) ) )
2311ad4antr 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y )  ->  A  <  B )
24 simprll 526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  ->  x  e.  ( A [,] B ) )
2524ad3antrrr 483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y )  ->  x  e.  ( A [,] B
) )
26 simprr 521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  ->  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r
) )
2726ad3antrrr 483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y )  ->  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )
28 simprlr 527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  ->  y  e.  ( A [,] B ) )
2928ad3antrrr 483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y )  ->  y  e.  ( A [,] B
) )
30 simpllr 523 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y )  ->  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )
31 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y )  ->  x  <  y )
3213, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 27, 29, 30, 31dedekindicclemeu 12788 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y )  -> F.  )
331ad4antr 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x )  ->  A  e.  RR )
342ad4antr 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x )  ->  B  e.  RR )
353ad4antr 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x )  ->  L  C_  ( A [,] B
) )
364ad4antr 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x )  ->  U  C_  ( A [,] B
) )
375ad4antr 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x )  ->  E. q  e.  ( A [,] B
) q  e.  L
)
386ad4antr 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x )  ->  E. r  e.  ( A [,] B
) r  e.  U
)
397ad4antr 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x )  ->  A. q  e.  ( A [,] B
) ( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) )
408ad4antr 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x )  ->  A. r  e.  ( A [,] B
) ( r  e.  U  <->  E. q  e.  U  q  <  r ) )
419ad4antr 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x )  ->  ( L  i^i  U )  =  (/) )
4210ad4antr 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x )  ->  A. q  e.  ( A [,] B
) A. r  e.  ( A [,] B
) ( q  < 
r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U ) ) )
4311ad4antr 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x )  ->  A  <  B )
4428ad3antrrr 483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x )  ->  y  e.  ( A [,] B
) )
45 simpllr 523 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x )  ->  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )
4624ad3antrrr 483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x )  ->  x  e.  ( A [,] B
) )
4726ad3antrrr 483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x )  ->  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )
48 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x )  ->  y  <  x )
4933, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48dedekindicclemeu 12788 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x )  -> F.  )
50 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  ->  x #  y )
51 iccssre 9745 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
521, 2, 51syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
5352ad3antrrr 483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
5424ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  ->  x  e.  ( A [,] B
) )
5553, 54sseldd 3098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  ->  x  e.  RR )
5628ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  ->  y  e.  ( A [,] B
) )
5753, 56sseldd 3098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  ->  y  e.  RR )
58 reaplt 8357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x #  y  <->  ( x  <  y  \/  y  < 
x ) ) )
5955, 57, 58syl2anc 408 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  ->  (
x #  y  <->  ( x  <  y  \/  y  < 
x ) ) )
6050, 59mpbid 146 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  ->  (
x  <  y  \/  y  <  x ) )
6132, 49, 60mpjaodan 787 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  -> F.  )
6261inegd 1350 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  ->  -.  x #  y )
6352ad2antrr 479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  -> 
( A [,] B
)  C_  RR )
6424adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  ->  x  e.  ( A [,] B ) )
6563, 64sseldd 3098 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  ->  x  e.  RR )
6665recnd 7801 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  ->  x  e.  CC )
6728adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  -> 
y  e.  ( A [,] B ) )
6863, 67sseldd 3098 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  -> 
y  e.  RR )
6968recnd 7801 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  -> 
y  e.  CC )
70 apti 8391 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  =  y  <->  -.  x #  y )
)
7166, 69, 70syl2anc 408 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  -> 
( x  =  y  <->  -.  x #  y )
)
7262, 71mpbird 166 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  ->  x  =  y )
73 ancom 264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  <->  ( A. r  e.  U  x  <  r  /\  A. q  e.  L  q  <  x ) )
7473anbi2i 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )  <->  ( (
x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. r  e.  U  x  <  r  /\  A. q  e.  L  q  <  x ) ) )
75 anass 398 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  A. q  e.  L  q  <  x )  <->  ( ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B
) )  /\  ( A. r  e.  U  x  <  r  /\  A. q  e.  L  q  <  x ) ) )
7674, 75bitr4i 186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )  <->  ( (
( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  A. q  e.  L  q  <  x ) )
7776anbi2i 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  <-> 
( ph  /\  (
( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  A. q  e.  L  q  <  x ) ) )
78 anass 398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )  /\  A. q  e.  L  q  <  x )  <->  ( ph  /\  ( ( ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B
) )  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  A. q  e.  L  q  <  x ) ) )
7977, 78bitr4i 186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )  /\  A. q  e.  L  q  <  x ) )
8079anbi1i 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  <->  ( (
( ph  /\  (
( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )  /\  A. q  e.  L  q  <  x )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )
81 anass 398 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )  /\  A. q  e.  L  q  <  x )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  <->  ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B
) )  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) ) )
8280, 81bitri 183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  <->  ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B
) )  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) ) )
83 anass 398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  A. r  e.  U  x  <  r
)  <->  ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )
8483bicomi 131 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )  <-> 
( ( ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  A. r  e.  U  x  <  r
) )
8584anbi1i 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  <-> 
( ( ( ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) ) )
86 anass 398 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  A. r  e.  U  x  <  r
)  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  <->  ( ( ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. r  e.  U  x  <  r  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) ) ) )
8785, 86bitri 183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. r  e.  U  x  <  r  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r
) ) ) ) )
8882, 87bitri 183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  <->  ( ( ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. r  e.  U  x  <  r  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) ) ) )
89 anass 398 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. r  e.  U  x  <  r  /\  A. q  e.  L  q  <  x )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  <->  ( A. r  e.  U  x  <  r  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) ) )
90 ancom 264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. r  e.  U  x  <  r  /\  A. q  e.  L  q  <  x )  <->  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )
9190anbi1i 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. r  e.  U  x  <  r  /\  A. q  e.  L  q  <  x )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  <->  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )
9289, 91bitr3i 185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. r  e.  U  x  <  r  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  <-> 
( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r
)  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )
9392anbi2i 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. r  e.  U  x  <  r  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r
) ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) ) )
9488, 93bitri 183 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  <->  ( ( ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  (
( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) ) )
9594imbi1i 237 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  ->  x  =  y )  <->  ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  ->  x  =  y )
)
9672, 95mpbi 144 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  ->  x  =  y )
9796ex 114 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r
)  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  ->  x  =  y ) )
9897ralrimivva 2514 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  ->  x  =  y ) )
99 breq2 3933 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
q  <  x  <->  q  <  y ) )
10099ralbidv 2437 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A. q  e.  L  q  <  x  <->  A. q  e.  L  q  <  y ) )
101 breq1 3932 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  <  r  <->  y  <  r ) )
102101ralbidv 2437 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A. r  e.  U  x  <  r  <->  A. r  e.  U  y  <  r ) )
103100, 102anbi12d 464 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  <->  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )
104103rmo4 2877 . . 3  |-  ( E* x  e.  ( A [,] B ) ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  <->  A. x  e.  ( A [,] B
) A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  ->  x  =  y )
)
10598, 104sylibr 133 . 2  |-  ( ph  ->  E* x  e.  ( A [,] B ) ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )
106 reu5 2643 . 2  |-  ( E! x  e.  ( A [,] B ) ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  <->  ( E. x  e.  ( A [,] B ) ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  E* x  e.  ( A [,] B
) ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r
) ) )
10712, 105, 106sylanbrc 413 1  |-  ( ph  ->  E! x  e.  ( A [,] B ) ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 697    = wceq 1331   F. wfal 1336    e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   E!wreu 2418   E*wrmo 2419    i^i cin 3070    C_ wss 3071   (/)c0 3363   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   CCcc 7625   RRcr 7626    < clt 7807   # cap 8350   [,]cicc 9681
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747  ax-pre-suploc 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-rp 9449  df-icc 9685  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778
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