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Theorem dedekindicclemicc 13777
Description: Lemma for dedekindicc 13778. Same as dedekindicc 13778, except that we merely show x to be an element of ( A [,] B ). Later we will strengthen that to ( A (,) B ). (Contributed by Jim Kingdon, 5-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dedekindicc.a |- ( ph -> A e. RR )
dedekindicc.b |- ( ph -> B e. RR )
dedekindicc.lss |- ( ph -> L C_ ( A [,] B ) )
dedekindicc.uss |- ( ph -> U C_ ( A [,] B ) )
dedekindicc.lm |- ( ph -> E. q e. ( A [,] B ) q e. L )
dedekindicc.um |- ( ph -> E. r e. ( A [,] B ) r e. U )
dedekindicc.lr |- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
dedekindicc.ur |- ( ph -> A. r e. ( A [,] B ) ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
dedekindicc.disj |- ( ph -> ( L i^i U ) = (/) )
dedekindicc.loc |- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) A. r e. ( A [,] B ) ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
dedekindicc.ab |- ( ph -> A < B )
Assertion
Ref Expression
dedekindicclemicc |- ( ph -> E! x e. ( A [,] B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
Distinct variable groups:   A, q, r, x   B, q, r, x   L, q, r, x   U, q, r, x   ph, q, r, x
Proof of Theorem dedekindicclemicc
Dummy variable y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dedekindicc.a . . 3 |- ( ph -> A e. RR )
2 dedekindicc.b . . 3 |- ( ph -> B e. RR )
3 dedekindicc.lss . . 3 |- ( ph -> L C_ ( A [,] B ) )
4 dedekindicc.uss . . 3 |- ( ph -> U C_ ( A [,] B ) )
5 dedekindicc.lm . . 3 |- ( ph -> E. q e. ( A [,] B ) q e. L )
6 dedekindicc.um . . 3 |- ( ph -> E. r e. ( A [,] B ) r e. U )
7 dedekindicc.lr . . 3 |- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
8 dedekindicc.ur . . 3 |- ( ph -> A. r e. ( A [,] B ) ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
9 dedekindicc.disj . . 3 |- ( ph -> ( L i^i U ) = (/) )
10 dedekindicc.loc . . 3 |- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) A. r e. ( A [,] B ) ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
11 dedekindicc.ab . . 3 |- ( ph -> A < B )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11dedekindicclemlu 13775 . 2 |- ( ph -> E. x e. ( A [,] B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
131ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ x < y ) -> A e. RR )
142ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ x < y ) -> B e. RR )
153ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ x < y ) -> L C_ ( A [,] B ) )
164ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ x < y ) -> U C_ ( A [,] B ) )
175ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ x < y ) -> E. q e. ( A [,] B ) q e. L )
186ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ x < y ) -> E. r e. ( A [,] B ) r e. U )
197ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ x < y ) -> A. q e. ( A [,] B ) ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
208ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ x < y ) -> A. r e. ( A [,] B ) ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
219ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ x < y ) -> ( L i^i U ) = (/) )
2210ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ x < y ) -> A. q e. ( A [,] B ) A. r e. ( A [,] B ) ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
2311ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ x < y ) -> A < B )
24 simprll 537 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) -> x e. ( A [,] B ) )
2524ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ x < y ) -> x e. ( A [,] B ) )
26 simprr 531 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) -> ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
2726ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ x < y ) -> ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
28 simprlr 538 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) -> y e. ( A [,] B ) )
2928ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ x < y ) -> y e. ( A [,] B ) )
30 simpllr 534 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ x < y ) -> ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) )
31 simpr 110 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ x < y ) -> x < y )
3213, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 27, 29, 30, 31dedekindicclemeu 13776 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ x < y ) -> F. )
331ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ y < x ) -> A e. RR )
342ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ y < x ) -> B e. RR )
353ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ y < x ) -> L C_ ( A [,] B ) )
364ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ y < x ) -> U C_ ( A [,] B ) )
375ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ y < x ) -> E. q e. ( A [,] B ) q e. L )
386ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ y < x ) -> E. r e. ( A [,] B ) r e. U )
397ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ y < x ) -> A. q e. ( A [,] B ) ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
408ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ y < x ) -> A. r e. ( A [,] B ) ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
419ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ y < x ) -> ( L i^i U ) = (/) )
4210ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ y < x ) -> A. q e. ( A [,] B ) A. r e. ( A [,] B ) ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
4311ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ y < x ) -> A < B )
4428ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ y < x ) -> y e. ( A [,] B ) )
45 simpllr 534 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ y < x ) -> ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) )
4624ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ y < x ) -> x e. ( A [,] B ) )
4726ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ y < x ) -> ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
48 simpr 110 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ y < x ) -> y < x )
4933, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48dedekindicclemeu 13776 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ y < x ) -> F. )
50 simpr 110 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) -> x # y )
51 iccssre 9942 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
521, 2, 51syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
5352ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
5424ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) -> x e. ( A [,] B ) )
5553, 54sseldd 3156 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) -> x e. RR )
5628ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) -> y e. ( A [,] B ) )
5753, 56sseldd 3156 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) -> y e. RR )
58 reaplt 8535 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x # y <-> ( x < y \/ y < x ) ) )
5955, 57, 58syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) -> ( x # y <-> ( x < y \/ y < x ) ) )
6050, 59mpbid 147 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) -> ( x < y \/ y < x ) )
6132, 49, 60mpjaodan 798 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) -> F. )
6261inegd 1372 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) -> -. x # y )
6352ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
6424adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) -> x e. ( A [,] B ) )
6563, 64sseldd 3156 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) -> x e. RR )
6665recnd 7976 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) -> x e. CC )
6728adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) -> y e. ( A [,] B ) )
6863, 67sseldd 3156 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) -> y e. RR )
6968recnd 7976 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) -> y e. CC )
70 apti 8569 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x = y <-> -. x # y ) )
7166, 69, 70syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) -> ( x = y <-> -. x # y ) )
7262, 71mpbird 167 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) -> x = y )
73 ancom 266 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) <-> ( A. r e. U x < r /\ A. q e. L q < x ) )
7473anbi2i 457 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) <-> ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. r e. U x < r /\ A. q e. L q < x ) ) )
75 anass 401 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ A. r e. U x < r ) /\ A. q e. L q < x ) <-> ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. r e. U x < r /\ A. q e. L q < x ) ) )
7674, 75bitr4i 187 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) <-> ( ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ A. r e. U x < r ) /\ A. q e. L q < x ) )
7776anbi2i 457 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) <-> ( ph /\ ( ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ A. r e. U x < r ) /\ A. q e. L q < x ) ) )
78 anass 401 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ A. r e. U x < r ) ) /\ A. q e. L q < x ) <-> ( ph /\ ( ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ A. r e. U x < r ) /\ A. q e. L q < x ) ) )
7977, 78bitr4i 187 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) <-> ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ A. r e. U x < r ) ) /\ A. q e. L q < x ) )
8079anbi1i 458 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) <-> ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ A. r e. U x < r ) ) /\ A. q e. L q < x ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) )
81 anass 401 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ A. r e. U x < r ) ) /\ A. q e. L q < x ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) <-> ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ A. r e. U x < r ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) ) )
8280, 81bitri 184 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) <-> ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ A. r e. U x < r ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) ) )
83 anass 401 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ A. r e. U x < r ) <-> ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ A. r e. U x < r ) ) )
8483bicomi 132 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ A. r e. U x < r ) ) <-> ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ A. r e. U x < r ) )
8584anbi1i 458 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ A. r e. U x < r ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) ) <-> ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ A. r e. U x < r ) /\ ( A. q e. L q < x /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) ) )
86 anass 401 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ A. r e. U x < r ) /\ ( A. q e. L q < x /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) ) <-> ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ ( A. r e. U x < r /\ ( A. q e. L q < x /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) ) ) )
8785, 86bitri 184 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ A. r e. U x < r ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) ) <-> ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ ( A. r e. U x < r /\ ( A. q e. L q < x /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) ) ) )
8882, 87bitri 184 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) <-> ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ ( A. r e. U x < r /\ ( A. q e. L q < x /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) ) ) )
89 anass 401 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. r e. U x < r /\ A. q e. L q < x ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) <-> ( A. r e. U x < r /\ ( A. q e. L q < x /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) ) )
90 ancom 266 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. r e. U x < r /\ A. q e. L q < x ) <-> ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
9190anbi1i 458 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. r e. U x < r /\ A. q e. L q < x ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) <-> ( ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) )
9289, 91bitr3i 186 . . . . . . . . 9 |- ( ( A. r e. U x < r /\ ( A. q e. L q < x /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) ) <-> ( ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) )
9392anbi2i 457 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ ( A. r e. U x < r /\ ( A. q e. L q < x /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) ) ) <-> ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ ( ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) ) )
9488, 93bitri 184 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) <-> ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ ( ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) ) )
9594imbi1i 238 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) -> x = y ) <-> ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ ( ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) ) -> x = y ) )
9672, 95mpbi 145 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ ( ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) ) -> x = y )
9796ex 115 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( ( ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) -> x = y ) )
9897ralrimivva 2559 . . 3 |- ( ph -> A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( ( ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) -> x = y ) )
99 breq2 4004 . . . . . 6 |- ( x = y -> ( q < x <-> q < y ) )
10099ralbidv 2477 . . . . 5 |- ( x = y -> ( A. q e. L q < x <-> A. q e. L q < y ) )
101 breq1 4003 . . . . . 6 |- ( x = y -> ( x < r <-> y < r ) )
102101ralbidv 2477 . . . . 5 |- ( x = y -> ( A. r e. U x < r <-> A. r e. U y < r ) )
103100, 102anbi12d 473 . . . 4 |- ( x = y -> ( ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) <-> ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) )
104103rmo4 2930 . . 3 |- ( E* x e. ( A [,] B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) <-> A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( ( ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) -> x = y ) )
10598, 104sylibr 134 . 2 |- ( ph -> E* x e. ( A [,] B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
106 reu5 2689 . 2 |- ( E! x e. ( A [,] B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) <-> ( E. x e. ( A [,] B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) /\ E* x e. ( A [,] B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) )
10712, 105, 106sylanbrc 417 1 |- ( ph -> E! x e. ( A [,] B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   = wceq 1353   F. wfal 1358   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   E!wreu 2457   E*wrmo 2458   i^i cin 3128   C_ wss 3129   (/)c0 3422   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869   CCcc 7800   RRcr 7801   < clt 7982   # cap 8528   [,]cicc 9878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922  ax-pre-suploc 7923
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-rp 9641  df-icc 9882  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992
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