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Theorem dedekindicclemicc 14952
Description: Lemma for dedekindicc 14953. Same as dedekindicc 14953, except that we merely show x to be an element of ( A [,] B ). Later we will strengthen that to ( A (,) B ). (Contributed by Jim Kingdon, 5-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dedekindicc.a |- ( ph -> A e. RR )
dedekindicc.b |- ( ph -> B e. RR )
dedekindicc.lss |- ( ph -> L C_ ( A [,] B ) )
dedekindicc.uss |- ( ph -> U C_ ( A [,] B ) )
dedekindicc.lm |- ( ph -> E. q e. ( A [,] B ) q e. L )
dedekindicc.um |- ( ph -> E. r e. ( A [,] B ) r e. U )
dedekindicc.lr |- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
dedekindicc.ur |- ( ph -> A. r e. ( A [,] B ) ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
dedekindicc.disj |- ( ph -> ( L i^i U ) = (/) )
dedekindicc.loc |- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) A. r e. ( A [,] B ) ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
dedekindicc.ab |- ( ph -> A < B )
Assertion
Ref Expression
dedekindicclemicc |- ( ph -> E! x e. ( A [,] B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
Distinct variable groups:   A, q, r, x   B, q, r, x   L, q, r, x   U, q, r, x   ph, q, r, x
Proof of Theorem dedekindicclemicc
Dummy variable y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dedekindicc.a . . 3 |- ( ph -> A e. RR )
2 dedekindicc.b . . 3 |- ( ph -> B e. RR )
3 dedekindicc.lss . . 3 |- ( ph -> L C_ ( A [,] B ) )
4 dedekindicc.uss . . 3 |- ( ph -> U C_ ( A [,] B ) )
5 dedekindicc.lm . . 3 |- ( ph -> E. q e. ( A [,] B ) q e. L )
6 dedekindicc.um . . 3 |- ( ph -> E. r e. ( A [,] B ) r e. U )
7 dedekindicc.lr . . 3 |- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
8 dedekindicc.ur . . 3 |- ( ph -> A. r e. ( A [,] B ) ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
9 dedekindicc.disj . . 3 |- ( ph -> ( L i^i U ) = (/) )
10 dedekindicc.loc . . 3 |- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) A. r e. ( A [,] B ) ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
11 dedekindicc.ab . . 3 |- ( ph -> A < B )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11dedekindicclemlu 14950 . 2 |- ( ph -> E. x e. ( A [,] B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
131ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ x < y ) -> A e. RR )
142ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ x < y ) -> B e. RR )
153ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ x < y ) -> L C_ ( A [,] B ) )
164ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ x < y ) -> U C_ ( A [,] B ) )
175ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ x < y ) -> E. q e. ( A [,] B ) q e. L )
186ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ x < y ) -> E. r e. ( A [,] B ) r e. U )
197ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ x < y ) -> A. q e. ( A [,] B ) ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
208ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ x < y ) -> A. r e. ( A [,] B ) ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
219ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ x < y ) -> ( L i^i U ) = (/) )
2210ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ x < y ) -> A. q e. ( A [,] B ) A. r e. ( A [,] B ) ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
2311ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ x < y ) -> A < B )
24 simprll 537 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) -> x e. ( A [,] B ) )
2524ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ x < y ) -> x e. ( A [,] B ) )
26 simprr 531 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) -> ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
2726ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ x < y ) -> ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
28 simprlr 538 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) -> y e. ( A [,] B ) )
2928ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ x < y ) -> y e. ( A [,] B ) )
30 simpllr 534 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ x < y ) -> ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) )
31 simpr 110 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ x < y ) -> x < y )
3213, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 27, 29, 30, 31dedekindicclemeu 14951 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ x < y ) -> F. )
331ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ y < x ) -> A e. RR )
342ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ y < x ) -> B e. RR )
353ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ y < x ) -> L C_ ( A [,] B ) )
364ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ y < x ) -> U C_ ( A [,] B ) )
375ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ y < x ) -> E. q e. ( A [,] B ) q e. L )
386ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ y < x ) -> E. r e. ( A [,] B ) r e. U )
397ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ y < x ) -> A. q e. ( A [,] B ) ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
408ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ y < x ) -> A. r e. ( A [,] B ) ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
419ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ y < x ) -> ( L i^i U ) = (/) )
4210ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ y < x ) -> A. q e. ( A [,] B ) A. r e. ( A [,] B ) ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
4311ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ y < x ) -> A < B )
4428ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ y < x ) -> y e. ( A [,] B ) )
45 simpllr 534 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ y < x ) -> ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) )
4624ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ y < x ) -> x e. ( A [,] B ) )
4726ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ y < x ) -> ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
48 simpr 110 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ y < x ) -> y < x )
4933, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48dedekindicclemeu 14951 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ y < x ) -> F. )
50 simpr 110 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) -> x # y )
51 iccssre 10047 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
521, 2, 51syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
5352ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
5424ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) -> x e. ( A [,] B ) )
5553, 54sseldd 3185 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) -> x e. RR )
5628ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) -> y e. ( A [,] B ) )
5753, 56sseldd 3185 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) -> y e. RR )
58 reaplt 8632 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x # y <-> ( x < y \/ y < x ) ) )
5955, 57, 58syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) -> ( x # y <-> ( x < y \/ y < x ) ) )
6050, 59mpbid 147 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) -> ( x < y \/ y < x ) )
6132, 49, 60mpjaodan 799 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) -> F. )
6261inegd 1383 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) -> -. x # y )
6352ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
6424adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) -> x e. ( A [,] B ) )
6563, 64sseldd 3185 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) -> x e. RR )
6665recnd 8072 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) -> x e. CC )
6728adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) -> y e. ( A [,] B ) )
6863, 67sseldd 3185 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) -> y e. RR )
6968recnd 8072 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) -> y e. CC )
70 apti 8666 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x = y <-> -. x # y ) )
7166, 69, 70syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) -> ( x = y <-> -. x # y ) )
7262, 71mpbird 167 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) -> x = y )
73 ancom 266 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) <-> ( A. r e. U x < r /\ A. q e. L q < x ) )
7473anbi2i 457 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) <-> ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. r e. U x < r /\ A. q e. L q < x ) ) )
75 anass 401 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ A. r e. U x < r ) /\ A. q e. L q < x ) <-> ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. r e. U x < r /\ A. q e. L q < x ) ) )
7674, 75bitr4i 187 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) <-> ( ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ A. r e. U x < r ) /\ A. q e. L q < x ) )
7776anbi2i 457 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) <-> ( ph /\ ( ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ A. r e. U x < r ) /\ A. q e. L q < x ) ) )
78 anass 401 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ A. r e. U x < r ) ) /\ A. q e. L q < x ) <-> ( ph /\ ( ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ A. r e. U x < r ) /\ A. q e. L q < x ) ) )
7977, 78bitr4i 187 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) <-> ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ A. r e. U x < r ) ) /\ A. q e. L q < x ) )
8079anbi1i 458 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) <-> ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ A. r e. U x < r ) ) /\ A. q e. L q < x ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) )
81 anass 401 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ A. r e. U x < r ) ) /\ A. q e. L q < x ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) <-> ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ A. r e. U x < r ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) ) )
8280, 81bitri 184 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) <-> ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ A. r e. U x < r ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) ) )
83 anass 401 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ A. r e. U x < r ) <-> ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ A. r e. U x < r ) ) )
8483bicomi 132 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ A. r e. U x < r ) ) <-> ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ A. r e. U x < r ) )
8584anbi1i 458 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ A. r e. U x < r ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) ) <-> ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ A. r e. U x < r ) /\ ( A. q e. L q < x /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) ) )
86 anass 401 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ A. r e. U x < r ) /\ ( A. q e. L q < x /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) ) <-> ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ ( A. r e. U x < r /\ ( A. q e. L q < x /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) ) ) )
8785, 86bitri 184 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ A. r e. U x < r ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) ) <-> ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ ( A. r e. U x < r /\ ( A. q e. L q < x /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) ) ) )
8882, 87bitri 184 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) <-> ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ ( A. r e. U x < r /\ ( A. q e. L q < x /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) ) ) )
89 anass 401 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. r e. U x < r /\ A. q e. L q < x ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) <-> ( A. r e. U x < r /\ ( A. q e. L q < x /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) ) )
90 ancom 266 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. r e. U x < r /\ A. q e. L q < x ) <-> ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
9190anbi1i 458 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. r e. U x < r /\ A. q e. L q < x ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) <-> ( ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) )
9289, 91bitr3i 186 . . . . . . . . 9 |- ( ( A. r e. U x < r /\ ( A. q e. L q < x /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) ) <-> ( ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) )
9392anbi2i 457 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ ( A. r e. U x < r /\ ( A. q e. L q < x /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) ) ) <-> ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ ( ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) ) )
9488, 93bitri 184 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) <-> ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ ( ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) ) )
9594imbi1i 238 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) -> x = y ) <-> ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ ( ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) ) -> x = y ) )
9672, 95mpbi 145 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ ( ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) ) -> x = y )
9796ex 115 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( ( ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) -> x = y ) )
9897ralrimivva 2579 . . 3 |- ( ph -> A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( ( ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) -> x = y ) )
99 breq2 4038 . . . . . 6 |- ( x = y -> ( q < x <-> q < y ) )
10099ralbidv 2497 . . . . 5 |- ( x = y -> ( A. q e. L q < x <-> A. q e. L q < y ) )
101 breq1 4037 . . . . . 6 |- ( x = y -> ( x < r <-> y < r ) )
102101ralbidv 2497 . . . . 5 |- ( x = y -> ( A. r e. U x < r <-> A. r e. U y < r ) )
103100, 102anbi12d 473 . . . 4 |- ( x = y -> ( ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) <-> ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) )
104103rmo4 2957 . . 3 |- ( E* x e. ( A [,] B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) <-> A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( ( ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) -> x = y ) )
10598, 104sylibr 134 . 2 |- ( ph -> E* x e. ( A [,] B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
106 reu5 2714 . 2 |- ( E! x e. ( A [,] B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) <-> ( E. x e. ( A [,] B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) /\ E* x e. ( A [,] B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) )
10712, 105, 106sylanbrc 417 1 |- ( ph -> E! x e. ( A [,] B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   F. wfal 1369   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   E!wreu 2477   E*wrmo 2478   i^i cin 3156   C_ wss 3157   (/)c0 3451   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925   CCcc 7894   RRcr 7895   < clt 8078   # cap 8625   [,]cicc 9983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016  ax-pre-suploc 8017
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-sup 7059  df-inf 7060  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-rp 9746  df-icc 9987  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181
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