Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dedekindicclemicc Unicode version

Theorem dedekindicclemicc 12789
 Description: Lemma for dedekindicc 12790. Same as dedekindicc 12790, except that we merely show to be an element of . Later we will strengthen that to . (Contributed by Jim Kingdon, 5-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dedekindicc.a
dedekindicc.b
dedekindicc.lss
dedekindicc.uss
dedekindicc.lm
dedekindicc.um
dedekindicc.lr
dedekindicc.ur
dedekindicc.disj
dedekindicc.loc
dedekindicc.ab
Assertion
Ref Expression
dedekindicclemicc
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,

Proof of Theorem dedekindicclemicc
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dedekindicc.a . . 3
2 dedekindicc.b . . 3
3 dedekindicc.lss . . 3
4 dedekindicc.uss . . 3
5 dedekindicc.lm . . 3
6 dedekindicc.um . . 3
7 dedekindicc.lr . . 3
8 dedekindicc.ur . . 3
9 dedekindicc.disj . . 3
10 dedekindicc.loc . . 3
11 dedekindicc.ab . . 3
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11dedekindicclemlu 12787 . 2
131ad4antr 485 . . . . . . . . . 10 #
142ad4antr 485 . . . . . . . . . 10 #
153ad4antr 485 . . . . . . . . . 10 #
164ad4antr 485 . . . . . . . . . 10 #
175ad4antr 485 . . . . . . . . . 10 #
186ad4antr 485 . . . . . . . . . 10 #
197ad4antr 485 . . . . . . . . . 10 #
208ad4antr 485 . . . . . . . . . 10 #
219ad4antr 485 . . . . . . . . . 10 #
2210ad4antr 485 . . . . . . . . . 10 #
2311ad4antr 485 . . . . . . . . . 10 #
24 simprll 526 . . . . . . . . . . 11
2524ad3antrrr 483 . . . . . . . . . 10 #
26 simprr 521 . . . . . . . . . . 11
2726ad3antrrr 483 . . . . . . . . . 10 #
28 simprlr 527 . . . . . . . . . . 11
2928ad3antrrr 483 . . . . . . . . . 10 #
30 simpllr 523 . . . . . . . . . 10 #
31 simpr 109 . . . . . . . . . 10 #
3213, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 27, 29, 30, 31dedekindicclemeu 12788 . . . . . . . . 9 #
331ad4antr 485 . . . . . . . . . 10 #
342ad4antr 485 . . . . . . . . . 10 #
353ad4antr 485 . . . . . . . . . 10 #
364ad4antr 485 . . . . . . . . . 10 #
375ad4antr 485 . . . . . . . . . 10 #
386ad4antr 485 . . . . . . . . . 10 #
397ad4antr 485 . . . . . . . . . 10 #
408ad4antr 485 . . . . . . . . . 10 #
419ad4antr 485 . . . . . . . . . 10 #
4210ad4antr 485 . . . . . . . . . 10 #
4311ad4antr 485 . . . . . . . . . 10 #
4428ad3antrrr 483 . . . . . . . . . 10 #
45 simpllr 523 . . . . . . . . . 10 #
4624ad3antrrr 483 . . . . . . . . . 10 #
4726ad3antrrr 483 . . . . . . . . . 10 #
48 simpr 109 . . . . . . . . . 10 #
4933, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48dedekindicclemeu 12788 . . . . . . . . 9 #
50 simpr 109 . . . . . . . . . 10 # #
51 iccssre 9745 . . . . . . . . . . . . . 14
521, 2, 51syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . 13
5352ad3antrrr 483 . . . . . . . . . . . 12 #
5424ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . 12 #
5553, 54sseldd 3098 . . . . . . . . . . 11 #
5628ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . 12 #
5753, 56sseldd 3098 . . . . . . . . . . 11 #
58 reaplt 8357 . . . . . . . . . . 11 #
5955, 57, 58syl2anc 408 . . . . . . . . . 10 # #
6050, 59mpbid 146 . . . . . . . . 9 #
6132, 49, 60mpjaodan 787 . . . . . . . 8 #
6261inegd 1350 . . . . . . 7 #
6352ad2antrr 479 . . . . . . . . . 10
6424adantr 274 . . . . . . . . . 10
6563, 64sseldd 3098 . . . . . . . . 9
6665recnd 7801 . . . . . . . 8
6728adantr 274 . . . . . . . . . 10
6863, 67sseldd 3098 . . . . . . . . 9
6968recnd 7801 . . . . . . . 8
70 apti 8391 . . . . . . . 8 #
7166, 69, 70syl2anc 408 . . . . . . 7 #
7262, 71mpbird 166 . . . . . 6
73 ancom 264 . . . . . . . . . . . . . . 15
7473anbi2i 452 . . . . . . . . . . . . . 14
75 anass 398 . . . . . . . . . . . . . 14
7674, 75bitr4i 186 . . . . . . . . . . . . 13
7776anbi2i 452 . . . . . . . . . . . 12
78 anass 398 . . . . . . . . . . . 12
7977, 78bitr4i 186 . . . . . . . . . . 11
8079anbi1i 453 . . . . . . . . . 10
81 anass 398 . . . . . . . . . 10
8280, 81bitri 183 . . . . . . . . 9
83 anass 398 . . . . . . . . . . . 12
8483bicomi 131 . . . . . . . . . . 11
8584anbi1i 453 . . . . . . . . . 10
86 anass 398 . . . . . . . . . 10
8785, 86bitri 183 . . . . . . . . 9
8882, 87bitri 183 . . . . . . . 8
89 anass 398 . . . . . . . . . 10
90 ancom 264 . . . . . . . . . . 11
9190anbi1i 453 . . . . . . . . . 10
9289, 91bitr3i 185 . . . . . . . . 9
9392anbi2i 452 . . . . . . . 8
9488, 93bitri 183 . . . . . . 7
9594imbi1i 237 . . . . . 6
9672, 95mpbi 144 . . . . 5
9796ex 114 . . . 4
9897ralrimivva 2514 . . 3
99 breq2 3933 . . . . . 6
10099ralbidv 2437 . . . . 5
101 breq1 3932 . . . . . 6
102101ralbidv 2437 . . . . 5
103100, 102anbi12d 464 . . . 4
104103rmo4 2877 . . 3
10598, 104sylibr 133 . 2
106 reu5 2643 . 2
10712, 105, 106sylanbrc 413 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 103   wb 104   wo 697   wceq 1331   wfal 1336   wcel 1480  wral 2416  wrex 2417  wreu 2418  wrmo 2419   cin 3070   wss 3071  c0 3363   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  cc 7625  cr 7626   clt 7807   # cap 8350  cicc 9681 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747  ax-pre-suploc 7748 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-rp 9449  df-icc 9685  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778 This theorem is referenced by:  dedekindicc  12790
 Copyright terms: Public domain W3C validator