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Theorem dedekindicclemicc 13679
Description: Lemma for dedekindicc 13680. Same as dedekindicc 13680, except that we merely show  x to be an element of  ( A [,] B ). Later we will strengthen that to  ( A (,) B
). (Contributed by Jim Kingdon, 5-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dedekindicc.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
dedekindicc.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
dedekindicc.lss  |-  ( ph  ->  L  C_  ( A [,] B ) )
dedekindicc.uss  |-  ( ph  ->  U  C_  ( A [,] B ) )
dedekindicc.lm  |-  ( ph  ->  E. q  e.  ( A [,] B ) q  e.  L )
dedekindicc.um  |-  ( ph  ->  E. r  e.  ( A [,] B ) r  e.  U )
dedekindicc.lr  |-  ( ph  ->  A. q  e.  ( A [,] B ) ( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) )
dedekindicc.ur  |-  ( ph  ->  A. r  e.  ( A [,] B ) ( r  e.  U  <->  E. q  e.  U  q  <  r ) )
dedekindicc.disj  |-  ( ph  ->  ( L  i^i  U
)  =  (/) )
dedekindicc.loc  |-  ( ph  ->  A. q  e.  ( A [,] B ) A. r  e.  ( A [,] B ) ( q  <  r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U
) ) )
dedekindicc.ab  |-  ( ph  ->  A  <  B )
Assertion
Ref Expression
dedekindicclemicc  |-  ( ph  ->  E! x  e.  ( A [,] B ) ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )
Distinct variable groups:    A, q, r, x    B, q, r, x    L, q, r, x    U, q, r, x    ph, q,
r, x

Proof of Theorem dedekindicclemicc
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dedekindicc.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 dedekindicc.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 dedekindicc.lss . . 3  |-  ( ph  ->  L  C_  ( A [,] B ) )
4 dedekindicc.uss . . 3  |-  ( ph  ->  U  C_  ( A [,] B ) )
5 dedekindicc.lm . . 3  |-  ( ph  ->  E. q  e.  ( A [,] B ) q  e.  L )
6 dedekindicc.um . . 3  |-  ( ph  ->  E. r  e.  ( A [,] B ) r  e.  U )
7 dedekindicc.lr . . 3  |-  ( ph  ->  A. q  e.  ( A [,] B ) ( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) )
8 dedekindicc.ur . . 3  |-  ( ph  ->  A. r  e.  ( A [,] B ) ( r  e.  U  <->  E. q  e.  U  q  <  r ) )
9 dedekindicc.disj . . 3  |-  ( ph  ->  ( L  i^i  U
)  =  (/) )
10 dedekindicc.loc . . 3  |-  ( ph  ->  A. q  e.  ( A [,] B ) A. r  e.  ( A [,] B ) ( q  <  r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U
) ) )
11 dedekindicc.ab . . 3  |-  ( ph  ->  A  <  B )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11dedekindicclemlu 13677 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( A [,] B ) ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )
131ad4antr 494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y )  ->  A  e.  RR )
142ad4antr 494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y )  ->  B  e.  RR )
153ad4antr 494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y )  ->  L  C_  ( A [,] B
) )
164ad4antr 494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y )  ->  U  C_  ( A [,] B
) )
175ad4antr 494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y )  ->  E. q  e.  ( A [,] B
) q  e.  L
)
186ad4antr 494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y )  ->  E. r  e.  ( A [,] B
) r  e.  U
)
197ad4antr 494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y )  ->  A. q  e.  ( A [,] B
) ( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) )
208ad4antr 494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y )  ->  A. r  e.  ( A [,] B
) ( r  e.  U  <->  E. q  e.  U  q  <  r ) )
219ad4antr 494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y )  ->  ( L  i^i  U )  =  (/) )
2210ad4antr 494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y )  ->  A. q  e.  ( A [,] B
) A. r  e.  ( A [,] B
) ( q  < 
r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U ) ) )
2311ad4antr 494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y )  ->  A  <  B )
24 simprll 537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  ->  x  e.  ( A [,] B ) )
2524ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y )  ->  x  e.  ( A [,] B
) )
26 simprr 531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  ->  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r
) )
2726ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y )  ->  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )
28 simprlr 538 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  ->  y  e.  ( A [,] B ) )
2928ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y )  ->  y  e.  ( A [,] B
) )
30 simpllr 534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y )  ->  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )
31 simpr 110 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y )  ->  x  <  y )
3213, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 27, 29, 30, 31dedekindicclemeu 13678 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y )  -> F.  )
331ad4antr 494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x )  ->  A  e.  RR )
342ad4antr 494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x )  ->  B  e.  RR )
353ad4antr 494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x )  ->  L  C_  ( A [,] B
) )
364ad4antr 494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x )  ->  U  C_  ( A [,] B
) )
375ad4antr 494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x )  ->  E. q  e.  ( A [,] B
) q  e.  L
)
386ad4antr 494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x )  ->  E. r  e.  ( A [,] B
) r  e.  U
)
397ad4antr 494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x )  ->  A. q  e.  ( A [,] B
) ( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) )
408ad4antr 494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x )  ->  A. r  e.  ( A [,] B
) ( r  e.  U  <->  E. q  e.  U  q  <  r ) )
419ad4antr 494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x )  ->  ( L  i^i  U )  =  (/) )
4210ad4antr 494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x )  ->  A. q  e.  ( A [,] B
) A. r  e.  ( A [,] B
) ( q  < 
r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U ) ) )
4311ad4antr 494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x )  ->  A  <  B )
4428ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x )  ->  y  e.  ( A [,] B
) )
45 simpllr 534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x )  ->  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )
4624ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x )  ->  x  e.  ( A [,] B
) )
4726ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x )  ->  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )
48 simpr 110 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x )  ->  y  <  x )
4933, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48dedekindicclemeu 13678 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x )  -> F.  )
50 simpr 110 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  ->  x #  y )
51 iccssre 9924 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
521, 2, 51syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
5352ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
5424ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  ->  x  e.  ( A [,] B
) )
5553, 54sseldd 3154 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  ->  x  e.  RR )
5628ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  ->  y  e.  ( A [,] B
) )
5753, 56sseldd 3154 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  ->  y  e.  RR )
58 reaplt 8519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x #  y  <->  ( x  <  y  \/  y  < 
x ) ) )
5955, 57, 58syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  ->  (
x #  y  <->  ( x  <  y  \/  y  < 
x ) ) )
6050, 59mpbid 147 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  ->  (
x  <  y  \/  y  <  x ) )
6132, 49, 60mpjaodan 798 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  /\  x #  y )  -> F.  )
6261inegd 1372 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  ->  -.  x #  y )
6352ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  -> 
( A [,] B
)  C_  RR )
6424adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  ->  x  e.  ( A [,] B ) )
6563, 64sseldd 3154 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  ->  x  e.  RR )
6665recnd 7960 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  ->  x  e.  CC )
6728adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  -> 
y  e.  ( A [,] B ) )
6863, 67sseldd 3154 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  -> 
y  e.  RR )
6968recnd 7960 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  -> 
y  e.  CC )
70 apti 8553 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  =  y  <->  -.  x #  y )
)
7166, 69, 70syl2anc 411 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  -> 
( x  =  y  <->  -.  x #  y )
)
7262, 71mpbird 167 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  ->  x  =  y )
73 ancom 266 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  <->  ( A. r  e.  U  x  <  r  /\  A. q  e.  L  q  <  x ) )
7473anbi2i 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )  <->  ( (
x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. r  e.  U  x  <  r  /\  A. q  e.  L  q  <  x ) ) )
75 anass 401 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  A. q  e.  L  q  <  x )  <->  ( ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B
) )  /\  ( A. r  e.  U  x  <  r  /\  A. q  e.  L  q  <  x ) ) )
7674, 75bitr4i 187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )  <->  ( (
( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  A. q  e.  L  q  <  x ) )
7776anbi2i 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  <-> 
( ph  /\  (
( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  A. q  e.  L  q  <  x ) ) )
78 anass 401 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )  /\  A. q  e.  L  q  <  x )  <->  ( ph  /\  ( ( ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B
) )  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  A. q  e.  L  q  <  x ) ) )
7977, 78bitr4i 187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )  /\  A. q  e.  L  q  <  x ) )
8079anbi1i 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  <->  ( (
( ph  /\  (
( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )  /\  A. q  e.  L  q  <  x )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )
81 anass 401 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )  /\  A. q  e.  L  q  <  x )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  <->  ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B
) )  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) ) )
8280, 81bitri 184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  <->  ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B
) )  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) ) )
83 anass 401 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  A. r  e.  U  x  <  r
)  <->  ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )
8483bicomi 132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )  <-> 
( ( ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  A. r  e.  U  x  <  r
) )
8584anbi1i 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  <-> 
( ( ( ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) ) )
86 anass 401 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  A. r  e.  U  x  <  r
)  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  <->  ( ( ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. r  e.  U  x  <  r  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) ) ) )
8785, 86bitri 184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. r  e.  U  x  <  r  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r
) ) ) ) )
8882, 87bitri 184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  <->  ( ( ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. r  e.  U  x  <  r  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) ) ) )
89 anass 401 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. r  e.  U  x  <  r  /\  A. q  e.  L  q  <  x )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  <->  ( A. r  e.  U  x  <  r  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) ) )
90 ancom 266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. r  e.  U  x  <  r  /\  A. q  e.  L  q  <  x )  <->  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )
9190anbi1i 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. r  e.  U  x  <  r  /\  A. q  e.  L  q  <  x )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  <->  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )
9289, 91bitr3i 186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. r  e.  U  x  <  r  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  <-> 
( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r
)  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )
9392anbi2i 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. r  e.  U  x  <  r  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r
) ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) ) )
9488, 93bitri 184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  <->  ( ( ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  (
( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) ) )
9594imbi1i 238 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  ->  x  =  y )  <->  ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  ->  x  =  y )
)
9672, 95mpbi 145 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  ->  x  =  y )
9796ex 115 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r
)  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  ->  x  =  y ) )
9897ralrimivva 2557 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  ->  x  =  y ) )
99 breq2 4002 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
q  <  x  <->  q  <  y ) )
10099ralbidv 2475 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A. q  e.  L  q  <  x  <->  A. q  e.  L  q  <  y ) )
101 breq1 4001 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  <  r  <->  y  <  r ) )
102101ralbidv 2475 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A. r  e.  U  x  <  r  <->  A. r  e.  U  y  <  r ) )
103100, 102anbi12d 473 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  <->  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )
104103rmo4 2928 . . 3  |-  ( E* x  e.  ( A [,] B ) ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  <->  A. x  e.  ( A [,] B
) A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  ->  x  =  y )
)
10598, 104sylibr 134 . 2  |-  ( ph  ->  E* x  e.  ( A [,] B ) ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )
106 reu5 2687 . 2  |-  ( E! x  e.  ( A [,] B ) ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  <->  ( E. x  e.  ( A [,] B ) ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  E* x  e.  ( A [,] B
) ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r
) ) )
10712, 105, 106sylanbrc 417 1  |-  ( ph  ->  E! x  e.  ( A [,] B ) ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 708    = wceq 1353   F. wfal 1358    e. wcel 2146   A.wral 2453   E.wrex 2454   E!wreu 2455   E*wrmo 2456    i^i cin 3126    C_ wss 3127   (/)c0 3420   class class class wbr 3998  (class class class)co 5865   CCcc 7784   RRcr 7785    < clt 7966   # cap 8512   [,]cicc 9860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906  ax-pre-suploc 7907
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-sup 6973  df-inf 6974  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-4 8951  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-rp 9623  df-icc 9864  df-seqfrec 10414  df-exp 10488  df-cj 10817  df-re 10818  df-im 10819  df-rsqrt 10973  df-abs 10974
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