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Theorem dedekindicclemicc 12818
Description: Lemma for dedekindicc 12819. Same as dedekindicc 12819, except that we merely show x to be an element of ( A [,] B ). Later we will strengthen that to ( A (,) B ). (Contributed by Jim Kingdon, 5-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dedekindicc.a |- ( ph -> A e. RR )
dedekindicc.b |- ( ph -> B e. RR )
dedekindicc.lss |- ( ph -> L C_ ( A [,] B ) )
dedekindicc.uss |- ( ph -> U C_ ( A [,] B ) )
dedekindicc.lm |- ( ph -> E. q e. ( A [,] B ) q e. L )
dedekindicc.um |- ( ph -> E. r e. ( A [,] B ) r e. U )
dedekindicc.lr |- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
dedekindicc.ur |- ( ph -> A. r e. ( A [,] B ) ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
dedekindicc.disj |- ( ph -> ( L i^i U ) = (/) )
dedekindicc.loc |- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) A. r e. ( A [,] B ) ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
dedekindicc.ab |- ( ph -> A < B )
Assertion
Ref Expression
dedekindicclemicc |- ( ph -> E! x e. ( A [,] B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
Distinct variable groups:   A, q, r, x   B, q, r, x   L, q, r, x   U, q, r, x   ph, q, r, x
Proof of Theorem dedekindicclemicc
Dummy variable y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dedekindicc.a . . 3 |- ( ph -> A e. RR )
2 dedekindicc.b . . 3 |- ( ph -> B e. RR )
3 dedekindicc.lss . . 3 |- ( ph -> L C_ ( A [,] B ) )
4 dedekindicc.uss . . 3 |- ( ph -> U C_ ( A [,] B ) )
5 dedekindicc.lm . . 3 |- ( ph -> E. q e. ( A [,] B ) q e. L )
6 dedekindicc.um . . 3 |- ( ph -> E. r e. ( A [,] B ) r e. U )
7 dedekindicc.lr . . 3 |- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
8 dedekindicc.ur . . 3 |- ( ph -> A. r e. ( A [,] B ) ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
9 dedekindicc.disj . . 3 |- ( ph -> ( L i^i U ) = (/) )
10 dedekindicc.loc . . 3 |- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) A. r e. ( A [,] B ) ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
11 dedekindicc.ab . . 3 |- ( ph -> A < B )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11dedekindicclemlu 12816 . 2 |- ( ph -> E. x e. ( A [,] B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
131ad4antr 486 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ x < y ) -> A e. RR )
142ad4antr 486 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ x < y ) -> B e. RR )
153ad4antr 486 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ x < y ) -> L C_ ( A [,] B ) )
164ad4antr 486 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ x < y ) -> U C_ ( A [,] B ) )
175ad4antr 486 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ x < y ) -> E. q e. ( A [,] B ) q e. L )
186ad4antr 486 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ x < y ) -> E. r e. ( A [,] B ) r e. U )
197ad4antr 486 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ x < y ) -> A. q e. ( A [,] B ) ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
208ad4antr 486 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ x < y ) -> A. r e. ( A [,] B ) ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
219ad4antr 486 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ x < y ) -> ( L i^i U ) = (/) )
2210ad4antr 486 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ x < y ) -> A. q e. ( A [,] B ) A. r e. ( A [,] B ) ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
2311ad4antr 486 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ x < y ) -> A < B )
24 simprll 527 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) -> x e. ( A [,] B ) )
2524ad3antrrr 484 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ x < y ) -> x e. ( A [,] B ) )
26 simprr 522 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) -> ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
2726ad3antrrr 484 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ x < y ) -> ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
28 simprlr 528 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) -> y e. ( A [,] B ) )
2928ad3antrrr 484 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ x < y ) -> y e. ( A [,] B ) )
30 simpllr 524 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ x < y ) -> ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) )
31 simpr 109 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ x < y ) -> x < y )
3213, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 27, 29, 30, 31dedekindicclemeu 12817 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ x < y ) -> F. )
331ad4antr 486 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ y < x ) -> A e. RR )
342ad4antr 486 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ y < x ) -> B e. RR )
353ad4antr 486 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ y < x ) -> L C_ ( A [,] B ) )
364ad4antr 486 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ y < x ) -> U C_ ( A [,] B ) )
375ad4antr 486 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ y < x ) -> E. q e. ( A [,] B ) q e. L )
386ad4antr 486 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ y < x ) -> E. r e. ( A [,] B ) r e. U )
397ad4antr 486 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ y < x ) -> A. q e. ( A [,] B ) ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
408ad4antr 486 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ y < x ) -> A. r e. ( A [,] B ) ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
419ad4antr 486 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ y < x ) -> ( L i^i U ) = (/) )
4210ad4antr 486 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ y < x ) -> A. q e. ( A [,] B ) A. r e. ( A [,] B ) ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
4311ad4antr 486 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ y < x ) -> A < B )
4428ad3antrrr 484 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ y < x ) -> y e. ( A [,] B ) )
45 simpllr 524 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ y < x ) -> ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) )
4624ad3antrrr 484 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ y < x ) -> x e. ( A [,] B ) )
4726ad3antrrr 484 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ y < x ) -> ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
48 simpr 109 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ y < x ) -> y < x )
4933, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48dedekindicclemeu 12817 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) /\ y < x ) -> F. )
50 simpr 109 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) -> x # y )
51 iccssre 9768 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
521, 2, 51syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
5352ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
5424ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) -> x e. ( A [,] B ) )
5553, 54sseldd 3103 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) -> x e. RR )
5628ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) -> y e. ( A [,] B ) )
5753, 56sseldd 3103 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) -> y e. RR )
58 reaplt 8374 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x # y <-> ( x < y \/ y < x ) ) )
5955, 57, 58syl2anc 409 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) -> ( x # y <-> ( x < y \/ y < x ) ) )
6050, 59mpbid 146 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) -> ( x < y \/ y < x ) )
6132, 49, 60mpjaodan 788 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) /\ x # y ) -> F. )
6261inegd 1351 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) -> -. x # y )
6352ad2antrr 480 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
6424adantr 274 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) -> x e. ( A [,] B ) )
6563, 64sseldd 3103 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) -> x e. RR )
6665recnd 7818 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) -> x e. CC )
6728adantr 274 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) -> y e. ( A [,] B ) )
6863, 67sseldd 3103 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) -> y e. RR )
6968recnd 7818 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) -> y e. CC )
70 apti 8408 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x = y <-> -. x # y ) )
7166, 69, 70syl2anc 409 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) -> ( x = y <-> -. x # y ) )
7262, 71mpbird 166 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) -> x = y )
73 ancom 264 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) <-> ( A. r e. U x < r /\ A. q e. L q < x ) )
7473anbi2i 453 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) <-> ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. r e. U x < r /\ A. q e. L q < x ) ) )
75 anass 399 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ A. r e. U x < r ) /\ A. q e. L q < x ) <-> ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. r e. U x < r /\ A. q e. L q < x ) ) )
7674, 75bitr4i 186 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) <-> ( ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ A. r e. U x < r ) /\ A. q e. L q < x ) )
7776anbi2i 453 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) <-> ( ph /\ ( ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ A. r e. U x < r ) /\ A. q e. L q < x ) ) )
78 anass 399 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ A. r e. U x < r ) ) /\ A. q e. L q < x ) <-> ( ph /\ ( ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ A. r e. U x < r ) /\ A. q e. L q < x ) ) )
7977, 78bitr4i 186 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) <-> ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ A. r e. U x < r ) ) /\ A. q e. L q < x ) )
8079anbi1i 454 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) <-> ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ A. r e. U x < r ) ) /\ A. q e. L q < x ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) )
81 anass 399 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ A. r e. U x < r ) ) /\ A. q e. L q < x ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) <-> ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ A. r e. U x < r ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) ) )
8280, 81bitri 183 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) <-> ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ A. r e. U x < r ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) ) )
83 anass 399 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ A. r e. U x < r ) <-> ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ A. r e. U x < r ) ) )
8483bicomi 131 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ A. r e. U x < r ) ) <-> ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ A. r e. U x < r ) )
8584anbi1i 454 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ A. r e. U x < r ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) ) <-> ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ A. r e. U x < r ) /\ ( A. q e. L q < x /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) ) )
86 anass 399 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ A. r e. U x < r ) /\ ( A. q e. L q < x /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) ) <-> ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ ( A. r e. U x < r /\ ( A. q e. L q < x /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) ) ) )
8785, 86bitri 183 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ A. r e. U x < r ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) ) <-> ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ ( A. r e. U x < r /\ ( A. q e. L q < x /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) ) ) )
8882, 87bitri 183 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) <-> ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ ( A. r e. U x < r /\ ( A. q e. L q < x /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) ) ) )
89 anass 399 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. r e. U x < r /\ A. q e. L q < x ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) <-> ( A. r e. U x < r /\ ( A. q e. L q < x /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) ) )
90 ancom 264 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. r e. U x < r /\ A. q e. L q < x ) <-> ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
9190anbi1i 454 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. r e. U x < r /\ A. q e. L q < x ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) <-> ( ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) )
9289, 91bitr3i 185 . . . . . . . . 9 |- ( ( A. r e. U x < r /\ ( A. q e. L q < x /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) ) <-> ( ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) )
9392anbi2i 453 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ ( A. r e. U x < r /\ ( A. q e. L q < x /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) ) ) <-> ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ ( ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) ) )
9488, 93bitri 183 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) <-> ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ ( ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) ) )
9594imbi1i 237 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) -> x = y ) <-> ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ ( ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) ) -> x = y ) )
9672, 95mpbi 144 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ ( ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) ) -> x = y )
9796ex 114 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( ( ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) -> x = y ) )
9897ralrimivva 2517 . . 3 |- ( ph -> A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( ( ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) -> x = y ) )
99 breq2 3941 . . . . . 6 |- ( x = y -> ( q < x <-> q < y ) )
10099ralbidv 2438 . . . . 5 |- ( x = y -> ( A. q e. L q < x <-> A. q e. L q < y ) )
101 breq1 3940 . . . . . 6 |- ( x = y -> ( x < r <-> y < r ) )
102101ralbidv 2438 . . . . 5 |- ( x = y -> ( A. r e. U x < r <-> A. r e. U y < r ) )
103100, 102anbi12d 465 . . . 4 |- ( x = y -> ( ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) <-> ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) )
104103rmo4 2881 . . 3 |- ( E* x e. ( A [,] B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) <-> A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( ( ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) /\ ( A. q e. L q < y /\ A. r e. U y < r ) ) -> x = y ) )
10598, 104sylibr 133 . 2 |- ( ph -> E* x e. ( A [,] B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
106 reu5 2646 . 2 |- ( E! x e. ( A [,] B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) <-> ( E. x e. ( A [,] B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) /\ E* x e. ( A [,] B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) )
10712, 105, 106sylanbrc 414 1 |- ( ph -> E! x e. ( A [,] B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   = wceq 1332   F. wfal 1337   e. wcel 1481   A.wral 2417   E.wrex 2418   E!wreu 2419   E*wrmo 2420   i^i cin 3075   C_ wss 3076   (/)c0 3368   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782   CCcc 7642   RRcr 7643   < clt 7824   # cap 8367   [,]cicc 9704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764  ax-pre-suploc 7765
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-sup 6879  df-inf 6880  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-rp 9471  df-icc 9708  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803
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