ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elrealeu Unicode version

Theorem elrealeu 7605
Description: The real number mapping in elreal 7604 is unique. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
elrealeu  |-  ( A  e.  RR  <->  E! x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem elrealeu
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 7604 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  <->  E. x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
21biimpi 119 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  E. x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
3 eqtr3 2137 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. x ,  0R >.  =  A  /\  <. y ,  0R >.  =  A
)  ->  <. x ,  0R >.  =  <. y ,  0R >. )
4 0r 7526 . . . . . . . . . 10  |-  0R  e.  R.
5 opthg 4130 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  R.  /\  0R  e.  R. )  -> 
( <. x ,  0R >.  =  <. y ,  0R >.  <-> 
( x  =  y  /\  0R  =  0R ) ) )
64, 5mpan2 421 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  R.  ->  ( <. x ,  0R >.  = 
<. y ,  0R >.  <->  (
x  =  y  /\  0R  =  0R )
) )
76ad2antlr 480 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  R. )  /\  y  e.  R. )  ->  ( <. x ,  0R >.  =  <. y ,  0R >.  <->  ( x  =  y  /\  0R  =  0R ) ) )
83, 7syl5ib 153 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  R. )  /\  y  e.  R. )  ->  ( ( <.
x ,  0R >.  =  A  /\  <. y ,  0R >.  =  A
)  ->  ( x  =  y  /\  0R  =  0R ) ) )
9 simpl 108 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  y  /\  0R  =  0R )  ->  x  =  y )
108, 9syl6 33 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  R. )  /\  y  e.  R. )  ->  ( ( <.
x ,  0R >.  =  A  /\  <. y ,  0R >.  =  A
)  ->  x  =  y ) )
1110ralrimiva 2482 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  R. )  ->  A. y  e.  R.  ( ( <. x ,  0R >.  =  A  /\  <. y ,  0R >.  =  A )  ->  x  =  y )
)
1211ralrimiva 2482 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  A. x  e.  R.  A. y  e. 
R.  ( ( <.
x ,  0R >.  =  A  /\  <. y ,  0R >.  =  A
)  ->  x  =  y ) )
13 opeq1 3675 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  <. x ,  0R >.  =  <. y ,  0R >. )
1413eqeq1d 2126 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( <. x ,  0R >.  =  A  <->  <. y ,  0R >.  =  A ) )
1514rmo4 2850 . . . 4  |-  ( E* x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A  <->  A. x  e.  R.  A. y  e.  R.  (
( <. x ,  0R >.  =  A  /\  <. y ,  0R >.  =  A )  ->  x  =  y ) )
1612, 15sylibr 133 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  E* x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A
)
17 reu5 2620 . . 3  |-  ( E! x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A  <-> 
( E. x  e. 
R.  <. x ,  0R >.  =  A  /\  E* x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A
) )
182, 16, 17sylanbrc 413 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  E! x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A
)
19 reurex 2621 . . 3  |-  ( E! x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A  ->  E. x  e.  R.  <.
x ,  0R >.  =  A )
2019, 1sylibr 133 . 2  |-  ( E! x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A  ->  A  e.  RR )
2118, 20impbii 125 1  |-  ( A  e.  RR  <->  E! x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1316    e. wcel 1465   A.wral 2393   E.wrex 2394   E!wreu 2395   E*wrmo 2396   <.cop 3500   R.cnr 7073   0Rc0r 7074   RRcr 7587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-eprel 4181  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-irdg 6235  df-1o 6281  df-oadd 6285  df-omul 6286  df-er 6397  df-ec 6399  df-qs 6403  df-ni 7080  df-pli 7081  df-mi 7082  df-lti 7083  df-plpq 7120  df-mpq 7121  df-enq 7123  df-nqqs 7124  df-plqqs 7125  df-mqqs 7126  df-1nqqs 7127  df-rq 7128  df-ltnqqs 7129  df-inp 7242  df-i1p 7243  df-enr 7502  df-nr 7503  df-0r 7507  df-r 7598
This theorem is referenced by:  axcaucvglemcl  7671  axcaucvglemval  7673
  Copyright terms: Public domain W3C validator