Theorem elrealeu 7791

Description: The real number mapping in elreal 7790 is unique. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
elrealeu	|- ( A e. RR <-> E! x e. R. <. x , 0R >. = A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem elrealeu

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 7790	. . . 4 |- ( A e. RR <-> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
2	1	biimpi 119	. . 3 |- ( A e. RR -> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
3		eqtr3 2190	. . . . . . . 8 |- ( ( <. x , 0R >. = A /\ <. y , 0R >. = A ) -> <. x , 0R >. = <. y , 0R >. )
4		0r 7712	. . . . . . . . . 10 |- 0R e. R.
5		opthg 4223	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. R. /\ 0R e. R. ) -> ( <. x , 0R >. = <. y , 0R >. <-> ( x = y /\ 0R = 0R ) ) )
6	4, 5	mpan2 423	. . . . . . . . 9 |- ( x e. R. -> ( <. x , 0R >. = <. y , 0R >. <-> ( x = y /\ 0R = 0R ) ) )
7	6	ad2antlr 486	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ x e. R. ) /\ y e. R. ) -> ( <. x , 0R >. = <. y , 0R >. <-> ( x = y /\ 0R = 0R ) ) )
8	3, 7	syl5ib 153	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ x e. R. ) /\ y e. R. ) -> ( ( <. x , 0R >. = A /\ <. y , 0R >. = A ) -> ( x = y /\ 0R = 0R ) ) )
9		simpl 108	. . . . . . 7 |- ( ( x = y /\ 0R = 0R ) -> x = y )
10	8, 9	syl6 33	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ x e. R. ) /\ y e. R. ) -> ( ( <. x , 0R >. = A /\ <. y , 0R >. = A ) -> x = y ) )
11	10	ralrimiva 2543	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ x e. R. ) -> A. y e. R. ( ( <. x , 0R >. = A /\ <. y , 0R >. = A ) -> x = y ) )
12	11	ralrimiva 2543	. . . 4 |- ( A e. RR -> A. x e. R. A. y e. R. ( ( <. x , 0R >. = A /\ <. y , 0R >. = A ) -> x = y ) )
13		opeq1 3765	. . . . . 6 |- ( x = y -> <. x , 0R >. = <. y , 0R >. )
14	13	eqeq1d 2179	. . . . 5 |- ( x = y -> ( <. x , 0R >. = A <-> <. y , 0R >. = A ) )
15	14	rmo4 2923	. . . 4 |- ( E* x e. R. <. x , 0R >. = A <-> A. x e. R. A. y e. R. ( ( <. x , 0R >. = A /\ <. y , 0R >. = A ) -> x = y ) )
16	12, 15	sylibr 133	. . 3 |- ( A e. RR -> E* x e. R. <. x , 0R >. = A )
17		reu5 2682	. . 3 |- ( E! x e. R. <. x , 0R >. = A <-> ( E. x e. R. <. x , 0R >. = A /\ E* x e. R. <. x , 0R >. = A ) )
18	2, 16, 17	sylanbrc 415	. 2 |- ( A e. RR -> E! x e. R. <. x , 0R >. = A )
19		reurex 2683	. . 3 |- ( E! x e. R. <. x , 0R >. = A -> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
20	19, 1	sylibr 133	. 2 |- ( E! x e. R. <. x , 0R >. = A -> A e. RR )
21	18, 20	impbii 125	1 |- ( A e. RR <-> E! x e. R. <. x , 0R >. = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   E!wreu 2450   E*wrmo 2451   <.cop 3586   R.cnr 7259   0Rc0r 7260   RRcr 7773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-eprel 4274  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-pli 7267  df-mi 7268  df-lti 7269  df-plpq 7306  df-mpq 7307  df-enq 7309  df-nqqs 7310  df-plqqs 7311  df-mqqs 7312  df-1nqqs 7313  df-rq 7314  df-ltnqqs 7315  df-inp 7428  df-i1p 7429  df-enr 7688  df-nr 7689  df-0r 7693  df-r 7784

This theorem is referenced by:  axcaucvglemcl  7857  axcaucvglemval  7859