Theorem elrealeu 8048

Description: The real number mapping in elreal 8047 is unique. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
elrealeu	|- ( A e. RR <-> E! x e. R. <. x , 0R >. = A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem elrealeu

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 8047	. . . 4 |- ( A e. RR <-> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
2	1	biimpi 120	. . 3 |- ( A e. RR -> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
3		eqtr3 2251	. . . . . . . 8 |- ( ( <. x , 0R >. = A /\ <. y , 0R >. = A ) -> <. x , 0R >. = <. y , 0R >. )
4		0r 7969	. . . . . . . . . 10 |- 0R e. R.
5		opthg 4330	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. R. /\ 0R e. R. ) -> ( <. x , 0R >. = <. y , 0R >. <-> ( x = y /\ 0R = 0R ) ) )
6	4, 5	mpan2 425	. . . . . . . . 9 |- ( x e. R. -> ( <. x , 0R >. = <. y , 0R >. <-> ( x = y /\ 0R = 0R ) ) )
7	6	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ x e. R. ) /\ y e. R. ) -> ( <. x , 0R >. = <. y , 0R >. <-> ( x = y /\ 0R = 0R ) ) )
8	3, 7	imbitrid 154	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ x e. R. ) /\ y e. R. ) -> ( ( <. x , 0R >. = A /\ <. y , 0R >. = A ) -> ( x = y /\ 0R = 0R ) ) )
9		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( x = y /\ 0R = 0R ) -> x = y )
10	8, 9	syl6 33	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ x e. R. ) /\ y e. R. ) -> ( ( <. x , 0R >. = A /\ <. y , 0R >. = A ) -> x = y ) )
11	10	ralrimiva 2605	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ x e. R. ) -> A. y e. R. ( ( <. x , 0R >. = A /\ <. y , 0R >. = A ) -> x = y ) )
12	11	ralrimiva 2605	. . . 4 |- ( A e. RR -> A. x e. R. A. y e. R. ( ( <. x , 0R >. = A /\ <. y , 0R >. = A ) -> x = y ) )
13		opeq1 3862	. . . . . 6 |- ( x = y -> <. x , 0R >. = <. y , 0R >. )
14	13	eqeq1d 2240	. . . . 5 |- ( x = y -> ( <. x , 0R >. = A <-> <. y , 0R >. = A ) )
15	14	rmo4 2999	. . . 4 |- ( E* x e. R. <. x , 0R >. = A <-> A. x e. R. A. y e. R. ( ( <. x , 0R >. = A /\ <. y , 0R >. = A ) -> x = y ) )
16	12, 15	sylibr 134	. . 3 |- ( A e. RR -> E* x e. R. <. x , 0R >. = A )
17		reu5 2751	. . 3 |- ( E! x e. R. <. x , 0R >. = A <-> ( E. x e. R. <. x , 0R >. = A /\ E* x e. R. <. x , 0R >. = A ) )
18	2, 16, 17	sylanbrc 417	. 2 |- ( A e. RR -> E! x e. R. <. x , 0R >. = A )
19		reurex 2752	. . 3 |- ( E! x e. R. <. x , 0R >. = A -> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
20	19, 1	sylibr 134	. 2 |- ( E! x e. R. <. x , 0R >. = A -> A e. RR )
21	18, 20	impbii 126	1 |- ( A e. RR <-> E! x e. R. <. x , 0R >. = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   E.wrex 2511   E!wreu 2512   E*wrmo 2513   <.cop 3672   R.cnr 7516   0Rc0r 7517   RRcr 8030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-eprel 4386  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-irdg 6535  df-1o 6581  df-oadd 6585  df-omul 6586  df-er 6701  df-ec 6703  df-qs 6707  df-ni 7523  df-pli 7524  df-mi 7525  df-lti 7526  df-plpq 7563  df-mpq 7564  df-enq 7566  df-nqqs 7567  df-plqqs 7568  df-mqqs 7569  df-1nqqs 7570  df-rq 7571  df-ltnqqs 7572  df-inp 7685  df-i1p 7686  df-enr 7945  df-nr 7946  df-0r 7950  df-r 8041

This theorem is referenced by:  axcaucvglemcl  8114  axcaucvglemval  8116