Theorem elrealeu 7830

Description: The real number mapping in elreal 7829 is unique. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
elrealeu	|- ( A e. RR <-> E! x e. R. <. x , 0R >. = A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem elrealeu

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 7829	. . . 4 |- ( A e. RR <-> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
2	1	biimpi 120	. . 3 |- ( A e. RR -> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
3		eqtr3 2197	. . . . . . . 8 |- ( ( <. x , 0R >. = A /\ <. y , 0R >. = A ) -> <. x , 0R >. = <. y , 0R >. )
4		0r 7751	. . . . . . . . . 10 |- 0R e. R.
5		opthg 4240	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. R. /\ 0R e. R. ) -> ( <. x , 0R >. = <. y , 0R >. <-> ( x = y /\ 0R = 0R ) ) )
6	4, 5	mpan2 425	. . . . . . . . 9 |- ( x e. R. -> ( <. x , 0R >. = <. y , 0R >. <-> ( x = y /\ 0R = 0R ) ) )
7	6	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ x e. R. ) /\ y e. R. ) -> ( <. x , 0R >. = <. y , 0R >. <-> ( x = y /\ 0R = 0R ) ) )
8	3, 7	imbitrid 154	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ x e. R. ) /\ y e. R. ) -> ( ( <. x , 0R >. = A /\ <. y , 0R >. = A ) -> ( x = y /\ 0R = 0R ) ) )
9		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( x = y /\ 0R = 0R ) -> x = y )
10	8, 9	syl6 33	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ x e. R. ) /\ y e. R. ) -> ( ( <. x , 0R >. = A /\ <. y , 0R >. = A ) -> x = y ) )
11	10	ralrimiva 2550	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ x e. R. ) -> A. y e. R. ( ( <. x , 0R >. = A /\ <. y , 0R >. = A ) -> x = y ) )
12	11	ralrimiva 2550	. . . 4 |- ( A e. RR -> A. x e. R. A. y e. R. ( ( <. x , 0R >. = A /\ <. y , 0R >. = A ) -> x = y ) )
13		opeq1 3780	. . . . . 6 |- ( x = y -> <. x , 0R >. = <. y , 0R >. )
14	13	eqeq1d 2186	. . . . 5 |- ( x = y -> ( <. x , 0R >. = A <-> <. y , 0R >. = A ) )
15	14	rmo4 2932	. . . 4 |- ( E* x e. R. <. x , 0R >. = A <-> A. x e. R. A. y e. R. ( ( <. x , 0R >. = A /\ <. y , 0R >. = A ) -> x = y ) )
16	12, 15	sylibr 134	. . 3 |- ( A e. RR -> E* x e. R. <. x , 0R >. = A )
17		reu5 2690	. . 3 |- ( E! x e. R. <. x , 0R >. = A <-> ( E. x e. R. <. x , 0R >. = A /\ E* x e. R. <. x , 0R >. = A ) )
18	2, 16, 17	sylanbrc 417	. 2 |- ( A e. RR -> E! x e. R. <. x , 0R >. = A )
19		reurex 2691	. . 3 |- ( E! x e. R. <. x , 0R >. = A -> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
20	19, 1	sylibr 134	. 2 |- ( E! x e. R. <. x , 0R >. = A -> A e. RR )
21	18, 20	impbii 126	1 |- ( A e. RR <-> E! x e. R. <. x , 0R >. = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   E!wreu 2457   E*wrmo 2458   <.cop 3597   R.cnr 7298   0Rc0r 7299   RRcr 7812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-eprel 4291  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-1o 6419  df-oadd 6423  df-omul 6424  df-er 6537  df-ec 6539  df-qs 6543  df-ni 7305  df-pli 7306  df-mi 7307  df-lti 7308  df-plpq 7345  df-mpq 7346  df-enq 7348  df-nqqs 7349  df-plqqs 7350  df-mqqs 7351  df-1nqqs 7352  df-rq 7353  df-ltnqqs 7354  df-inp 7467  df-i1p 7468  df-enr 7727  df-nr 7728  df-0r 7732  df-r 7823

This theorem is referenced by:  axcaucvglemcl  7896  axcaucvglemval  7898