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Theorem divalglemeunn 11525
Description: Lemma for divalg 11528. Uniqueness for a positive denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
divalglemeunn  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  E! r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )
Distinct variable groups:    D, q, r    N, q, r

Proof of Theorem divalglemeunn
Dummy variables  s  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divalglemnn 11522 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  E. r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )
2 nfv 1491 . . . . . 6  |-  F/ q ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)
3 nfre1 2451 . . . . . . 7  |-  F/ q E. q  e.  ZZ  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  s ) )
4 nfv 1491 . . . . . . 7  |-  F/ q  r  =  s
53, 4nfim 1534 . . . . . 6  |-  F/ q ( E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  s ) )  ->  r  =  s )
6 oveq1 5747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( q  =  t  ->  (
q  x.  D )  =  ( t  x.  D ) )
76oveq1d 5755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  =  t  ->  (
( q  x.  D
)  +  s )  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) )
87eqeq2d 2127 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  =  t  ->  ( N  =  ( (
q  x.  D )  +  s )  <->  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )
983anbi3d 1279 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  t  ->  (
( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  s ) )  <->  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) ) )
109cbvrexv 2630 . . . . . . . 8  |-  ( E. q  e.  ZZ  (
0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  s ) )  <->  E. t  e.  ZZ  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )
11 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  <  t
)  ->  q  <  t )
12 simplr 502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  ->  D  e.  NN )
1312ad4antr 483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  D  e.  NN )
14 simplrl 507 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  ->  r  e.  ZZ )
1514ad3antrrr 481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  r  e.  ZZ )
16 simplrr 508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  ->  s  e.  ZZ )
1716ad3antrrr 481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  s  e.  ZZ )
18 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  ->  q  e.  ZZ )
1918ad3antrrr 481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  q  e.  ZZ )
20 simplr 502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  t  e.  ZZ )
21 simpr1 970 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  0  <_  s )
22 simpr2 971 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  -> 
r  <  ( abs `  D ) )
2322ad2antrr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  r  <  ( abs `  D
) )
2413nnred 8693 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  D  e.  RR )
2513nnnn0d 8984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  D  e.  NN0 )
2625nn0ge0d 8987 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  0  <_  D )
2724, 26absidd 10890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  ( abs `  D )  =  D )
2823, 27breqtrd 3922 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  r  <  D )
29 simpr3 972 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  ->  N  =  ( (
q  x.  D )  +  r ) )
3029ad2antrr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )
31 simpr3 972 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) )
3230, 31eqtr3d 2150 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  (
( q  x.  D
)  +  r )  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) )
3313, 15, 17, 19, 20, 21, 28, 32divalglemnqt 11524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  -.  q  <  t )
3433adantr 272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  <  t
)  ->  -.  q  <  t )
3511, 34pm2.21dd 592 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  <  t
)  ->  r  =  s )
3613adantr 272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  =  t )  ->  D  e.  NN )
3736nnzd 9126 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  =  t )  ->  D  e.  ZZ )
3815adantr 272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  =  t )  ->  r  e.  ZZ )
3917adantr 272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  =  t )  ->  s  e.  ZZ )
4019adantr 272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  =  t )  ->  q  e.  ZZ )
4120adantr 272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  =  t )  ->  t  e.  ZZ )
42 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  =  t )  ->  q  =  t )
4332adantr 272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  =  t )  ->  ( (
q  x.  D )  +  r )  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) )
4437, 38, 39, 40, 41, 42, 43divalglemqt 11523 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  =  t )  ->  r  =  s )
45 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  t  <  q
)  ->  t  <  q )
46 simpr1 970 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  -> 
0  <_  r )
4746ad2antrr 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  0  <_  r )
48 simpr2 971 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  s  <  ( abs `  D
) )
4948, 27breqtrd 3922 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  s  <  D )
5031, 30eqtr3d 2150 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  (
( t  x.  D
)  +  s )  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )
5113, 17, 15, 20, 19, 47, 49, 50divalglemnqt 11524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  -.  t  <  q )
5251adantr 272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  t  <  q
)  ->  -.  t  <  q )
5345, 52pm2.21dd 592 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  t  <  q
)  ->  r  =  s )
54 ztri3or 9051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( q  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  ->  ( q  <  t  \/  q  =  t  \/  t  <  q ) )
5519, 20, 54syl2anc 406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  (
q  <  t  \/  q  =  t  \/  t  <  q ) )
5635, 44, 53, 55mpjao3dan 1268 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  r  =  s )
5756ex 114 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) )  ->  r  =  s ) )
5857rexlimdva 2524 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  -> 
( E. t  e.  ZZ  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) )  ->  r  =  s ) )
5910, 58syl5bi 151 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  -> 
( E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  s ) )  ->  r  =  s ) )
6059exp31 359 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( q  e.  ZZ  ->  ( ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) )  ->  ( E. q  e.  ZZ  (
0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  s ) )  ->  r  =  s ) ) ) )
612, 5, 60rexlimd 2521 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) )  ->  ( E. q  e.  ZZ  (
0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  s ) )  ->  r  =  s ) ) )
6261impd 252 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) )  /\  E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  r  =  s ) )
6362ralrimivva 2489 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  A. r  e.  ZZ  A. s  e.  ZZ  (
( E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) )  /\  E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  r  =  s ) )
64 breq2 3901 . . . . . 6  |-  ( r  =  s  ->  (
0  <_  r  <->  0  <_  s ) )
65 breq1 3900 . . . . . 6  |-  ( r  =  s  ->  (
r  <  ( abs `  D )  <->  s  <  ( abs `  D ) ) )
66 oveq2 5748 . . . . . . 7  |-  ( r  =  s  ->  (
( q  x.  D
)  +  r )  =  ( ( q  x.  D )  +  s ) )
6766eqeq2d 2127 . . . . . 6  |-  ( r  =  s  ->  ( N  =  ( (
q  x.  D )  +  r )  <->  N  =  ( ( q  x.  D )  +  s ) ) )
6864, 65, 673anbi123d 1273 . . . . 5  |-  ( r  =  s  ->  (
( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  s ) ) ) )
6968rexbidv 2413 . . . 4  |-  ( r  =  s  ->  ( E. q  e.  ZZ  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  s ) ) ) )
7069rmo4 2848 . . 3  |-  ( E* r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  A. r  e.  ZZ  A. s  e.  ZZ  ( ( E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  /\  E. q  e.  ZZ  (
0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  s ) ) )  -> 
r  =  s ) )
7163, 70sylibr 133 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  E* r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )
72 reu5 2618 . 2  |-  ( E! r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  ( E. r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) )  /\  E* r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) ) ) )
731, 71, 72sylanbrc 411 1  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  E! r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    \/ w3o 944    /\ w3a 945    = wceq 1314    e. wcel 1463   A.wral 2391   E.wrex 2392   E!wreu 2393   E*wrmo 2394   class class class wbr 3897   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   0cc0 7584    + caddc 7587    x. cmul 7589    < clt 7764    <_ cle 7765   NNcn 8680   ZZcz 9008   abscabs 10720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8396  df-inn 8681  df-2 8739  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-q 9364  df-rp 9394  df-fl 9994  df-mod 10047  df-seqfrec 10170  df-exp 10244  df-cj 10565  df-re 10566  df-im 10567  df-rsqrt 10721  df-abs 10722
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