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Theorem divalglemeunn 11812
Description: Lemma for divalg 11815. Uniqueness for a positive denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
divalglemeunn  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  E! r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )
Distinct variable groups:    D, q, r    N, q, r

Proof of Theorem divalglemeunn
Dummy variables  s  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divalglemnn 11809 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  E. r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )
2 nfv 1508 . . . . . 6  |-  F/ q ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)
3 nfre1 2500 . . . . . . 7  |-  F/ q E. q  e.  ZZ  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  s ) )
4 nfv 1508 . . . . . . 7  |-  F/ q  r  =  s
53, 4nfim 1552 . . . . . 6  |-  F/ q ( E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  s ) )  ->  r  =  s )
6 oveq1 5831 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( q  =  t  ->  (
q  x.  D )  =  ( t  x.  D ) )
76oveq1d 5839 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  =  t  ->  (
( q  x.  D
)  +  s )  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) )
87eqeq2d 2169 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  =  t  ->  ( N  =  ( (
q  x.  D )  +  s )  <->  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )
983anbi3d 1300 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  t  ->  (
( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  s ) )  <->  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) ) )
109cbvrexv 2681 . . . . . . . 8  |-  ( E. q  e.  ZZ  (
0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  s ) )  <->  E. t  e.  ZZ  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )
11 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  <  t
)  ->  q  <  t )
12 simplr 520 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  ->  D  e.  NN )
1312ad4antr 486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  D  e.  NN )
14 simplrl 525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  ->  r  e.  ZZ )
1514ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  r  e.  ZZ )
16 simplrr 526 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  ->  s  e.  ZZ )
1716ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  s  e.  ZZ )
18 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  ->  q  e.  ZZ )
1918ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  q  e.  ZZ )
20 simplr 520 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  t  e.  ZZ )
21 simpr1 988 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  0  <_  s )
22 simpr2 989 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  -> 
r  <  ( abs `  D ) )
2322ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  r  <  ( abs `  D
) )
2413nnred 8846 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  D  e.  RR )
2513nnnn0d 9143 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  D  e.  NN0 )
2625nn0ge0d 9146 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  0  <_  D )
2724, 26absidd 11067 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  ( abs `  D )  =  D )
2823, 27breqtrd 3990 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  r  <  D )
29 simpr3 990 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  ->  N  =  ( (
q  x.  D )  +  r ) )
3029ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )
31 simpr3 990 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) )
3230, 31eqtr3d 2192 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  (
( q  x.  D
)  +  r )  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) )
3313, 15, 17, 19, 20, 21, 28, 32divalglemnqt 11811 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  -.  q  <  t )
3433adantr 274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  <  t
)  ->  -.  q  <  t )
3511, 34pm2.21dd 610 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  <  t
)  ->  r  =  s )
3613adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  =  t )  ->  D  e.  NN )
3736nnzd 9285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  =  t )  ->  D  e.  ZZ )
3815adantr 274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  =  t )  ->  r  e.  ZZ )
3917adantr 274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  =  t )  ->  s  e.  ZZ )
4019adantr 274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  =  t )  ->  q  e.  ZZ )
4120adantr 274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  =  t )  ->  t  e.  ZZ )
42 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  =  t )  ->  q  =  t )
4332adantr 274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  =  t )  ->  ( (
q  x.  D )  +  r )  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) )
4437, 38, 39, 40, 41, 42, 43divalglemqt 11810 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  =  t )  ->  r  =  s )
45 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  t  <  q
)  ->  t  <  q )
46 simpr1 988 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  -> 
0  <_  r )
4746ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  0  <_  r )
48 simpr2 989 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  s  <  ( abs `  D
) )
4948, 27breqtrd 3990 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  s  <  D )
5031, 30eqtr3d 2192 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  (
( t  x.  D
)  +  s )  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )
5113, 17, 15, 20, 19, 47, 49, 50divalglemnqt 11811 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  -.  t  <  q )
5251adantr 274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  t  <  q
)  ->  -.  t  <  q )
5345, 52pm2.21dd 610 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  t  <  q
)  ->  r  =  s )
54 ztri3or 9210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( q  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  ->  ( q  <  t  \/  q  =  t  \/  t  <  q ) )
5519, 20, 54syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  (
q  <  t  \/  q  =  t  \/  t  <  q ) )
5635, 44, 53, 55mpjao3dan 1289 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  r  =  s )
5756ex 114 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) )  ->  r  =  s ) )
5857rexlimdva 2574 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  -> 
( E. t  e.  ZZ  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) )  ->  r  =  s ) )
5910, 58syl5bi 151 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  -> 
( E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  s ) )  ->  r  =  s ) )
6059exp31 362 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( q  e.  ZZ  ->  ( ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) )  ->  ( E. q  e.  ZZ  (
0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  s ) )  ->  r  =  s ) ) ) )
612, 5, 60rexlimd 2571 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) )  ->  ( E. q  e.  ZZ  (
0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  s ) )  ->  r  =  s ) ) )
6261impd 252 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) )  /\  E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  r  =  s ) )
6362ralrimivva 2539 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  A. r  e.  ZZ  A. s  e.  ZZ  (
( E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) )  /\  E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  r  =  s ) )
64 breq2 3969 . . . . . 6  |-  ( r  =  s  ->  (
0  <_  r  <->  0  <_  s ) )
65 breq1 3968 . . . . . 6  |-  ( r  =  s  ->  (
r  <  ( abs `  D )  <->  s  <  ( abs `  D ) ) )
66 oveq2 5832 . . . . . . 7  |-  ( r  =  s  ->  (
( q  x.  D
)  +  r )  =  ( ( q  x.  D )  +  s ) )
6766eqeq2d 2169 . . . . . 6  |-  ( r  =  s  ->  ( N  =  ( (
q  x.  D )  +  r )  <->  N  =  ( ( q  x.  D )  +  s ) ) )
6864, 65, 673anbi123d 1294 . . . . 5  |-  ( r  =  s  ->  (
( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  s ) ) ) )
6968rexbidv 2458 . . . 4  |-  ( r  =  s  ->  ( E. q  e.  ZZ  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  s ) ) ) )
7069rmo4 2905 . . 3  |-  ( E* r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  A. r  e.  ZZ  A. s  e.  ZZ  ( ( E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  /\  E. q  e.  ZZ  (
0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  s ) ) )  -> 
r  =  s ) )
7163, 70sylibr 133 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  E* r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )
72 reu5 2669 . 2  |-  ( E! r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  ( E. r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) )  /\  E* r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) ) ) )
731, 71, 72sylanbrc 414 1  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  E! r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    \/ w3o 962    /\ w3a 963    = wceq 1335    e. wcel 2128   A.wral 2435   E.wrex 2436   E!wreu 2437   E*wrmo 2438   class class class wbr 3965   ` cfv 5170  (class class class)co 5824   0cc0 7732    + caddc 7735    x. cmul 7737    < clt 7912    <_ cle 7913   NNcn 8833   ZZcz 9167   abscabs 10897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850  ax-arch 7851
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-frec 6338  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546  df-inn 8834  df-2 8892  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-q 9529  df-rp 9561  df-fl 10169  df-mod 10222  df-seqfrec 10345  df-exp 10419  df-cj 10742  df-re 10743  df-im 10744  df-rsqrt 10898  df-abs 10899
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