divalglemeunn - Intuitionistic Logic Explorer

	Intuitionistic Logic Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > divalglemeunn		Unicode version

Theorem divalglemeunn 11858

Description: Lemma for divalg 11861. Uniqueness for a positive denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Dec-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
divalglemeunn	$/\$ $/\$ $/\$

Distinct variable groups:

Proof of Theorem divalglemeunn Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divalglemnn 11855	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
2		nfv 1516	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
3		nfre1 2509	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
4		nfv 1516	. . . . . . 7
5	3, 4	nfim 1560	. . . . . 6 $/\$ $/\$
6		oveq1 5849	. . . . . . . . . . . 12
7	6	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . 11
8	7	eqeq2d 2177	. . . . . . . . . 10
9	8	3anbi3d 1308	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10	9	cbvrexv 2693	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
11		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
12		simplr 520	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
13	12	ad4antr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
14		simplrl 525	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
15	14	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
16		simplrr 526	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
17	16	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
18		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
19	18	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
20		simplr 520	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
21		simpr1 993	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
22		simpr2 994	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
23	22	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
24	13	nnred 8870	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
25	13	nnnn0d 9167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26	25	nn0ge0d 9170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
27	24, 26	absidd 11109	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28	23, 27	breqtrd 4008	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
29		simpr3 995	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30	29	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
31		simpr3 995	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
32	30, 31	eqtr3d 2200	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
33	13, 15, 17, 19, 20, 21, 28, 32	divalglemnqt 11857	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34	33	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35	11, 34	pm2.21dd 610	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
36	13	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37	36	nnzd 9312	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
38	15	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39	17	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40	19	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41	20	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43	32	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44	37, 38, 39, 40, 41, 42, 43	divalglemqt 11856	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
45		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46		simpr1 993	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47	46	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48		simpr2 994	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	48, 27	breqtrd 4008	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	31, 30	eqtr3d 2200	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	13, 17, 15, 20, 19, 47, 49, 50	divalglemnqt 11857	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52	51	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	45, 52	pm2.21dd 610	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54		ztri3or 9234	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $\/$
55	19, 20, 54	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
56	35, 44, 53, 55	mpjao3dan 1297	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57	56	ex 114	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	57	rexlimdva 2583	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	10, 58	syl5bi 151	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	59	exp31 362	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	2, 5, 60	rexlimd 2580	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62	61	impd 252	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63	62	ralrimivva 2548	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64		breq2 3986	. . . . . 6
65		breq1 3985	. . . . . 6
66		oveq2 5850	. . . . . . 7
67	66	eqeq2d 2177	. . . . . 6
68	64, 65, 67	3anbi123d 1302	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
69	68	rexbidv 2467	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70	69	rmo4 2919	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71	63, 70	sylibr 133	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
72		reu5 2678	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73	1, 71, 72	sylanbrc 414	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 103 $\/$ w3o 967 $/\$ w3a 968

wceq 1343

wcel 2136

wral 2444

wrex 2445

wreu 2446

wrmo 2447 class class class wbr 3982

cfv 5188 (class class class)co 5842

cc0 7753

caddc 7756

cmul 7758

clt 7933

cle 7934

cn 8857

cz 9191

cabs 10939

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1435 ax-7 1436 ax-gen 1437 ax-ie1 1481 ax-ie2 1482 ax-8 1492 ax-10 1493 ax-11 1494 ax-i12 1495 ax-bndl 1497 ax-4 1498 ax-17 1514 ax-i9 1518 ax-ial 1522 ax-i5r 1523 ax-13 2138 ax-14 2139 ax-ext 2147 ax-coll 4097 ax-sep 4100 ax-nul 4108 ax-pow 4153 ax-pr 4187 ax-un 4411 ax-setind 4514 ax-iinf 4565 ax-cnex 7844 ax-resscn 7845 ax-1cn 7846 ax-1re 7847 ax-icn 7848 ax-addcl 7849 ax-addrcl 7850 ax-mulcl 7851 ax-mulrcl 7852 ax-addcom 7853 ax-mulcom 7854 ax-addass 7855 ax-mulass 7856 ax-distr 7857 ax-i2m1 7858 ax-0lt1 7859 ax-1rid 7860 ax-0id 7861 ax-rnegex 7862 ax-precex 7863 ax-cnre 7864 ax-pre-ltirr 7865 ax-pre-ltwlin 7866 ax-pre-lttrn 7867 ax-pre-apti 7868 ax-pre-ltadd 7869 ax-pre-mulgt0 7870 ax-pre-mulext 7871 ax-arch 7872

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 825 df-3or 969 df-3an 970 df-tru 1346 df-fal 1349 df-nf 1449 df-sb 1751 df-eu 2017 df-mo 2018 df-clab 2152 df-cleq 2158 df-clel 2161 df-nfc 2297 df-ne 2337 df-nel 2432 df-ral 2449 df-rex 2450 df-reu 2451 df-rmo 2452 df-rab 2453 df-v 2728 df-sbc 2952 df-csb 3046 df-dif 3118 df-un 3120 df-in 3122 df-ss 3129 df-nul 3410 df-if 3521 df-pw 3561 df-sn 3582 df-pr 3583 df-op 3585 df-uni 3790 df-int 3825 df-iun 3868 df-br 3983 df-opab 4044 df-mpt 4045 df-tr 4081 df-id 4271 df-po 4274 df-iso 4275 df-iord 4344 df-on 4346 df-ilim 4347 df-suc 4349 df-iom 4568 df-xp 4610 df-rel 4611 df-cnv 4612 df-co 4613 df-dm 4614 df-rn 4615 df-res 4616 df-ima 4617 df-iota 5153 df-fun 5190 df-fn 5191 df-f 5192 df-f1 5193 df-fo 5194 df-f1o 5195 df-fv 5196 df-riota 5798 df-ov 5845 df-oprab 5846 df-mpo 5847 df-1st 6108 df-2nd 6109 df-recs 6273 df-frec 6359 df-pnf 7935 df-mnf 7936 df-xr 7937 df-ltxr 7938 df-le 7939 df-sub 8071 df-neg 8072 df-reap 8473 df-ap 8480 df-div 8569 df-inn 8858 df-2 8916 df-n0 9115 df-z 9192 df-uz 9467 df-q 9558 df-rp 9590 df-fl 10205 df-mod 10258 df-seqfrec 10381 df-exp 10455 df-cj 10784 df-re 10785 df-im 10786 df-rsqrt 10940 df-abs 10941

This theorem is referenced by: divalg 11861

W3C validator