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Theorem divalglemeuneg 11005
Description: Lemma for divalg 11006. Uniqueness for a negative denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
divalglemeuneg |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> E! r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
Distinct variable groups:   D, q, r   N, q, r
Proof of Theorem divalglemeuneg
Dummy variables s t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 945 . . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> D < 0 )
21lt0ne0d 7967 . . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> D =/= 0 )
3 divalglemex 11004 . . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D =/= 0 ) -> E. r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
42, 3syld3an3 1219 . 2 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> E. r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
5 nfv 1466 . . . . . 6 |- F/ q ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) )
6 nfre1 2419 . . . . . . 7 |- F/ q E. q e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) )
7 nfv 1466 . . . . . . 7 |- F/ q r = s
86, 7nfim 1509 . . . . . 6 |- F/ q ( E. q e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) -> r = s )
9 oveq1 5641 . . . . . . . . . . . 12 |- ( q = t -> ( q x. D ) = ( t x. D ) )
109oveq1d 5649 . . . . . . . . . . 11 |- ( q = t -> ( ( q x. D ) + s ) = ( ( t x. D ) + s ) )
1110eqeq2d 2099 . . . . . . . . . 10 |- ( q = t -> ( N = ( ( q x. D ) + s ) <-> N = ( ( t x. D ) + s ) ) )
12113anbi3d 1254 . . . . . . . . 9 |- ( q = t -> ( ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) <-> ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) )
1312cbvrexv 2591 . . . . . . . 8 |- ( E. q e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) <-> E. t e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) )
14 simpr 108 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q < t ) -> q < t )
15 simp2 944 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> D e. ZZ )
1615znegcld 8840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> -u D e. ZZ )
1715zred 8838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> D e. RR )
1817lt0neg1d 7969 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> ( D < 0 <-> 0 < -u D ) )
191, 18mpbid 145 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> 0 < -u D )
20 elnnz 8730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -u D e. NN <-> ( -u D e. ZZ /\ 0 < -u D ) )
2116, 19, 20sylanbrc 408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> -u D e. NN )
2221ad5antr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> -u D e. NN )
23 simplrr 503 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) -> s e. ZZ )
2423ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> s e. ZZ )
25 simplrl 502 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) -> r e. ZZ )
2625ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> r e. ZZ )
27 simplr 497 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> t e. ZZ )
2827znegcld 8840 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> -u t e. ZZ )
29 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) -> q e. ZZ )
3029ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> q e. ZZ )
3130znegcld 8840 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> -u q e. ZZ )
32 simpr1 949 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) -> 0 <_ r )
3332ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> 0 <_ r )
34 simpr2 950 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> s < ( abs ` D ) )
35 simpll2 983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) -> D e. ZZ )
3635ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> D e. ZZ )
3736zred 8838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> D e. RR )
38 0red 7468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> 0 e. RR )
39 simpll3 984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) -> D < 0 )
4039ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> D < 0 )
4137, 38, 40ltled 7581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> D <_ 0 )
4237, 41absnidd 10558 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> ( abs ` D ) = -u D )
4334, 42breqtrd 3861 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> s < -u D )
44 simpr3 951 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> N = ( ( t x. D ) + s ) )
4527zcnd 8839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> t e. CC )
4636zcnd 8839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> D e. CC )
4745, 46mul2negd 7870 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> ( -u t x. -u D ) = ( t x. D ) )
4847oveq1d 5649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> ( ( -u t x. -u D ) + s ) = ( ( t x. D ) + s ) )
4944, 48eqtr4d 2123 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> N = ( ( -u t x. -u D ) + s ) )
50 simpr3 951 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) -> N = ( ( q x. D ) + r ) )
5150ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> N = ( ( q x. D ) + r ) )
5230zcnd 8839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> q e. CC )
5352, 46mul2negd 7870 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> ( -u q x. -u D ) = ( q x. D ) )
5453oveq1d 5649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> ( ( -u q x. -u D ) + r ) = ( ( q x. D ) + r ) )
5551, 54eqtr4d 2123 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> N = ( ( -u q x. -u D ) + r ) )
5649, 55eqtr3d 2122 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> ( ( -u t x. -u D ) + s ) = ( ( -u q x. -u D ) + r ) )
5722, 24, 26, 28, 31, 33, 43, 56divalglemnqt 11002 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> -. -u t < -u q )
5830zred 8838 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> q e. RR )
5927zred 8838 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> t e. RR )
6058, 59ltnegd 7976 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> ( q < t <-> -u t < -u q ) )
6157, 60mtbird 633 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> -. q < t )
6261adantr 270 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q < t ) -> -. q < t )
6314, 62pm2.21dd 585 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q < t ) -> r = s )
6436adantr 270 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q = t ) -> D e. ZZ )
6526adantr 270 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q = t ) -> r e. ZZ )
6624adantr 270 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q = t ) -> s e. ZZ )
6730adantr 270 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q = t ) -> q e. ZZ )
6827adantr 270 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q = t ) -> t e. ZZ )
69 simpr 108 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q = t ) -> q = t )
7051adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q = t ) -> N = ( ( q x. D ) + r ) )
7144adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q = t ) -> N = ( ( t x. D ) + s ) )
7270, 71eqtr3d 2122 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q = t ) -> ( ( q x. D ) + r ) = ( ( t x. D ) + s ) )
7364, 65, 66, 67, 68, 69, 72divalglemqt 11001 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q = t ) -> r = s )
74 simpr 108 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ t < q ) -> t < q )
75 simpr1 949 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> 0 <_ s )
76 simpr2 950 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) -> r < ( abs ` D ) )
7776ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> r < ( abs ` D ) )
7877, 42breqtrd 3861 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> r < -u D )
7955, 49eqtr3d 2122 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> ( ( -u q x. -u D ) + r ) = ( ( -u t x. -u D ) + s ) )
8022, 26, 24, 31, 28, 75, 78, 79divalglemnqt 11002 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> -. -u q < -u t )
8159, 58ltnegd 7976 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> ( t < q <-> -u q < -u t ) )
8280, 81mtbird 633 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> -. t < q )
8382adantr 270 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ t < q ) -> -. t < q )
8474, 83pm2.21dd 585 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ t < q ) -> r = s )
85 simplr 497 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) -> q e. ZZ )
8685ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> q e. ZZ )
87 ztri3or 8763 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( q e. ZZ /\ t e. ZZ ) -> ( q < t \/ q = t \/ t < q ) )
8886, 27, 87syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> ( q < t \/ q = t \/ t < q ) )
8963, 73, 84, 88mpjao3dan 1243 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> r = s )
9089ex 113 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) -> ( ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) -> r = s ) )
9190rexlimdva 2489 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) -> ( E. t e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) -> r = s ) )
9213, 91syl5bi 150 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) -> ( E. q e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) -> r = s ) )
9392exp31 356 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( q e. ZZ -> ( ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) -> ( E. q e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) -> r = s ) ) ) )
945, 8, 93rexlimd 2486 . . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) -> ( E. q e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) -> r = s ) ) )
9594impd 251 . . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( ( E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) /\ E. q e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) ) -> r = s ) )
9695ralrimivva 2455 . . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> A. r e. ZZ A. s e. ZZ ( ( E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) /\ E. q e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) ) -> r = s ) )
97 breq2 3841 . . . . . 6 |- ( r = s -> ( 0 <_ r <-> 0 <_ s ) )
98 breq1 3840 . . . . . 6 |- ( r = s -> ( r < ( abs ` D ) <-> s < ( abs ` D ) ) )
99 oveq2 5642 . . . . . . 7 |- ( r = s -> ( ( q x. D ) + r ) = ( ( q x. D ) + s ) )
10099eqeq2d 2099 . . . . . 6 |- ( r = s -> ( N = ( ( q x. D ) + r ) <-> N = ( ( q x. D ) + s ) ) )
10197, 98, 1003anbi123d 1248 . . . . 5 |- ( r = s -> ( ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) ) )
102101rexbidv 2381 . . . 4 |- ( r = s -> ( E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> E. q e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) ) )
103102rmo4 2806 . . 3 |- ( E* r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> A. r e. ZZ A. s e. ZZ ( ( E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) /\ E. q e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) ) -> r = s ) )
10496, 103sylibr 132 . 2 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> E* r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
105 reu5 2579 . 2 |- ( E! r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> ( E. r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) /\ E* r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) )
1064, 104, 105sylanbrc 408 1 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> E! r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   \/ w3o 923   /\ w3a 924   = wceq 1289   e. wcel 1438   =/= wne 2255   A.wral 2359   E.wrex 2360   E!wreu 2361   E*wrmo 2362   class class class wbr 3837   ` cfv 5002  (class class class)co 5634   0cc0 7329   + caddc 7332   x. cmul 7334   < clt 7501   <_ cle 7502   -ucneg 7633   NNcn 8394   ZZcz 8720   abscabs 10395
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442  ax-arch 7443
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-frec 6138  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-q 9074  df-rp 9104  df-fl 9642  df-mod 9695  df-iseq 9818  df-seq3 9819  df-exp 9920  df-cj 10241  df-re 10242  df-im 10243  df-rsqrt 10396  df-abs 10397
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