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Theorem divalglemeuneg 12564
Description: Lemma for divalg 12565. Uniqueness for a negative denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
divalglemeuneg |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> E! r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
Distinct variable groups:   D, q, r   N, q, r
Proof of Theorem divalglemeuneg
Dummy variables s t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1026 . . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> D < 0 )
21lt0ne0d 8752 . . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> D =/= 0 )
3 divalglemex 12563 . . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D =/= 0 ) -> E. r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
42, 3syld3an3 1319 . 2 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> E. r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
5 nfv 1577 . . . . . 6 |- F/ q ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) )
6 nfre1 2576 . . . . . . 7 |- F/ q E. q e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) )
7 nfv 1577 . . . . . . 7 |- F/ q r = s
86, 7nfim 1621 . . . . . 6 |- F/ q ( E. q e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) -> r = s )
9 oveq1 6035 . . . . . . . . . . . 12 |- ( q = t -> ( q x. D ) = ( t x. D ) )
109oveq1d 6043 . . . . . . . . . . 11 |- ( q = t -> ( ( q x. D ) + s ) = ( ( t x. D ) + s ) )
1110eqeq2d 2243 . . . . . . . . . 10 |- ( q = t -> ( N = ( ( q x. D ) + s ) <-> N = ( ( t x. D ) + s ) ) )
12113anbi3d 1355 . . . . . . . . 9 |- ( q = t -> ( ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) <-> ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) )
1312cbvrexv 2769 . . . . . . . 8 |- ( E. q e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) <-> E. t e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) )
14 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q < t ) -> q < t )
15 simp2 1025 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> D e. ZZ )
1615znegcld 9665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> -u D e. ZZ )
1715zred 9663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> D e. RR )
1817lt0neg1d 8754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> ( D < 0 <-> 0 < -u D ) )
191, 18mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> 0 < -u D )
20 elnnz 9550 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -u D e. NN <-> ( -u D e. ZZ /\ 0 < -u D ) )
2116, 19, 20sylanbrc 417 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> -u D e. NN )
2221ad5antr 496 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> -u D e. NN )
23 simplrr 538 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) -> s e. ZZ )
2423ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> s e. ZZ )
25 simplrl 537 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) -> r e. ZZ )
2625ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> r e. ZZ )
27 simplr 529 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> t e. ZZ )
2827znegcld 9665 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> -u t e. ZZ )
29 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) -> q e. ZZ )
3029ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> q e. ZZ )
3130znegcld 9665 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> -u q e. ZZ )
32 simpr1 1030 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) -> 0 <_ r )
3332ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> 0 <_ r )
34 simpr2 1031 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> s < ( abs ` D ) )
35 simpll2 1064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) -> D e. ZZ )
3635ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> D e. ZZ )
3736zred 9663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> D e. RR )
38 0red 8240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> 0 e. RR )
39 simpll3 1065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) -> D < 0 )
4039ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> D < 0 )
4137, 38, 40ltled 8357 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> D <_ 0 )
4237, 41absnidd 11800 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> ( abs ` D ) = -u D )
4334, 42breqtrd 4119 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> s < -u D )
44 simpr3 1032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> N = ( ( t x. D ) + s ) )
4527zcnd 9664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> t e. CC )
4636zcnd 9664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> D e. CC )
4745, 46mul2negd 8651 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> ( -u t x. -u D ) = ( t x. D ) )
4847oveq1d 6043 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> ( ( -u t x. -u D ) + s ) = ( ( t x. D ) + s ) )
4944, 48eqtr4d 2267 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> N = ( ( -u t x. -u D ) + s ) )
50 simpr3 1032 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) -> N = ( ( q x. D ) + r ) )
5150ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> N = ( ( q x. D ) + r ) )
5230zcnd 9664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> q e. CC )
5352, 46mul2negd 8651 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> ( -u q x. -u D ) = ( q x. D ) )
5453oveq1d 6043 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> ( ( -u q x. -u D ) + r ) = ( ( q x. D ) + r ) )
5551, 54eqtr4d 2267 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> N = ( ( -u q x. -u D ) + r ) )
5649, 55eqtr3d 2266 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> ( ( -u t x. -u D ) + s ) = ( ( -u q x. -u D ) + r ) )
5722, 24, 26, 28, 31, 33, 43, 56divalglemnqt 12561 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> -. -u t < -u q )
5830zred 9663 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> q e. RR )
5927zred 9663 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> t e. RR )
6058, 59ltnegd 8762 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> ( q < t <-> -u t < -u q ) )
6157, 60mtbird 680 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> -. q < t )
6261adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q < t ) -> -. q < t )
6314, 62pm2.21dd 625 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q < t ) -> r = s )
6436adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q = t ) -> D e. ZZ )
6526adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q = t ) -> r e. ZZ )
6624adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q = t ) -> s e. ZZ )
6730adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q = t ) -> q e. ZZ )
6827adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q = t ) -> t e. ZZ )
69 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q = t ) -> q = t )
7051adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q = t ) -> N = ( ( q x. D ) + r ) )
7144adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q = t ) -> N = ( ( t x. D ) + s ) )
7270, 71eqtr3d 2266 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q = t ) -> ( ( q x. D ) + r ) = ( ( t x. D ) + s ) )
7364, 65, 66, 67, 68, 69, 72divalglemqt 12560 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q = t ) -> r = s )
74 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ t < q ) -> t < q )
75 simpr1 1030 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> 0 <_ s )
76 simpr2 1031 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) -> r < ( abs ` D ) )
7776ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> r < ( abs ` D ) )
7877, 42breqtrd 4119 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> r < -u D )
7955, 49eqtr3d 2266 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> ( ( -u q x. -u D ) + r ) = ( ( -u t x. -u D ) + s ) )
8022, 26, 24, 31, 28, 75, 78, 79divalglemnqt 12561 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> -. -u q < -u t )
8159, 58ltnegd 8762 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> ( t < q <-> -u q < -u t ) )
8280, 81mtbird 680 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> -. t < q )
8382adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ t < q ) -> -. t < q )
8474, 83pm2.21dd 625 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ t < q ) -> r = s )
85 simplr 529 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) -> q e. ZZ )
8685ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> q e. ZZ )
87 ztri3or 9583 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( q e. ZZ /\ t e. ZZ ) -> ( q < t \/ q = t \/ t < q ) )
8886, 27, 87syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> ( q < t \/ q = t \/ t < q ) )
8963, 73, 84, 88mpjao3dan 1344 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> r = s )
9089ex 115 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) -> ( ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) -> r = s ) )
9190rexlimdva 2651 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) -> ( E. t e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) -> r = s ) )
9213, 91biimtrid 152 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) -> ( E. q e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) -> r = s ) )
9392exp31 364 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( q e. ZZ -> ( ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) -> ( E. q e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) -> r = s ) ) ) )
945, 8, 93rexlimd 2648 . . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) -> ( E. q e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) -> r = s ) ) )
9594impd 254 . . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( ( E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) /\ E. q e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) ) -> r = s ) )
9695ralrimivva 2615 . . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> A. r e. ZZ A. s e. ZZ ( ( E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) /\ E. q e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) ) -> r = s ) )
97 breq2 4097 . . . . . 6 |- ( r = s -> ( 0 <_ r <-> 0 <_ s ) )
98 breq1 4096 . . . . . 6 |- ( r = s -> ( r < ( abs ` D ) <-> s < ( abs ` D ) ) )
99 oveq2 6036 . . . . . . 7 |- ( r = s -> ( ( q x. D ) + r ) = ( ( q x. D ) + s ) )
10099eqeq2d 2243 . . . . . 6 |- ( r = s -> ( N = ( ( q x. D ) + r ) <-> N = ( ( q x. D ) + s ) ) )
10197, 98, 1003anbi123d 1349 . . . . 5 |- ( r = s -> ( ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) ) )
102101rexbidv 2534 . . . 4 |- ( r = s -> ( E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> E. q e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) ) )
103102rmo4 3000 . . 3 |- ( E* r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> A. r e. ZZ A. s e. ZZ ( ( E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) /\ E. q e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) ) -> r = s ) )
10496, 103sylibr 134 . 2 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> E* r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
105 reu5 2752 . 2 |- ( E! r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> ( E. r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) /\ E* r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) )
1064, 104, 105sylanbrc 417 1 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> E! r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ w3o 1004   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   =/= wne 2403   A.wral 2511   E.wrex 2512   E!wreu 2513   E*wrmo 2514   class class class wbr 4093   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   0cc0 8092   + caddc 8095   x. cmul 8097   < clt 8273   <_ cle 8274   -ucneg 8410   NNcn 9202   ZZcz 9540   abscabs 11637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-q 9915  df-rp 9950  df-fl 10593  df-mod 10648  df-seqfrec 10773  df-exp 10864  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484  df-rsqrt 11638  df-abs 11639
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