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Theorem divalglemeuneg 12483
Description: Lemma for divalg 12484. Uniqueness for a negative denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
divalglemeuneg |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> E! r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
Distinct variable groups:   D, q, r   N, q, r
Proof of Theorem divalglemeuneg
Dummy variables s t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1025 . . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> D < 0 )
21lt0ne0d 8692 . . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> D =/= 0 )
3 divalglemex 12482 . . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D =/= 0 ) -> E. r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
42, 3syld3an3 1318 . 2 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> E. r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
5 nfv 1576 . . . . . 6 |- F/ q ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) )
6 nfre1 2575 . . . . . . 7 |- F/ q E. q e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) )
7 nfv 1576 . . . . . . 7 |- F/ q r = s
86, 7nfim 1620 . . . . . 6 |- F/ q ( E. q e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) -> r = s )
9 oveq1 6024 . . . . . . . . . . . 12 |- ( q = t -> ( q x. D ) = ( t x. D ) )
109oveq1d 6032 . . . . . . . . . . 11 |- ( q = t -> ( ( q x. D ) + s ) = ( ( t x. D ) + s ) )
1110eqeq2d 2243 . . . . . . . . . 10 |- ( q = t -> ( N = ( ( q x. D ) + s ) <-> N = ( ( t x. D ) + s ) ) )
12113anbi3d 1354 . . . . . . . . 9 |- ( q = t -> ( ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) <-> ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) )
1312cbvrexv 2768 . . . . . . . 8 |- ( E. q e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) <-> E. t e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) )
14 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q < t ) -> q < t )
15 simp2 1024 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> D e. ZZ )
1615znegcld 9603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> -u D e. ZZ )
1715zred 9601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> D e. RR )
1817lt0neg1d 8694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> ( D < 0 <-> 0 < -u D ) )
191, 18mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> 0 < -u D )
20 elnnz 9488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -u D e. NN <-> ( -u D e. ZZ /\ 0 < -u D ) )
2116, 19, 20sylanbrc 417 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> -u D e. NN )
2221ad5antr 496 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> -u D e. NN )
23 simplrr 538 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) -> s e. ZZ )
2423ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> s e. ZZ )
25 simplrl 537 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) -> r e. ZZ )
2625ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> r e. ZZ )
27 simplr 529 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> t e. ZZ )
2827znegcld 9603 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> -u t e. ZZ )
29 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) -> q e. ZZ )
3029ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> q e. ZZ )
3130znegcld 9603 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> -u q e. ZZ )
32 simpr1 1029 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) -> 0 <_ r )
3332ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> 0 <_ r )
34 simpr2 1030 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> s < ( abs ` D ) )
35 simpll2 1063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) -> D e. ZZ )
3635ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> D e. ZZ )
3736zred 9601 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> D e. RR )
38 0red 8179 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> 0 e. RR )
39 simpll3 1064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) -> D < 0 )
4039ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> D < 0 )
4137, 38, 40ltled 8297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> D <_ 0 )
4237, 41absnidd 11720 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> ( abs ` D ) = -u D )
4334, 42breqtrd 4114 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> s < -u D )
44 simpr3 1031 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> N = ( ( t x. D ) + s ) )
4527zcnd 9602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> t e. CC )
4636zcnd 9602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> D e. CC )
4745, 46mul2negd 8591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> ( -u t x. -u D ) = ( t x. D ) )
4847oveq1d 6032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> ( ( -u t x. -u D ) + s ) = ( ( t x. D ) + s ) )
4944, 48eqtr4d 2267 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> N = ( ( -u t x. -u D ) + s ) )
50 simpr3 1031 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) -> N = ( ( q x. D ) + r ) )
5150ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> N = ( ( q x. D ) + r ) )
5230zcnd 9602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> q e. CC )
5352, 46mul2negd 8591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> ( -u q x. -u D ) = ( q x. D ) )
5453oveq1d 6032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> ( ( -u q x. -u D ) + r ) = ( ( q x. D ) + r ) )
5551, 54eqtr4d 2267 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> N = ( ( -u q x. -u D ) + r ) )
5649, 55eqtr3d 2266 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> ( ( -u t x. -u D ) + s ) = ( ( -u q x. -u D ) + r ) )
5722, 24, 26, 28, 31, 33, 43, 56divalglemnqt 12480 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> -. -u t < -u q )
5830zred 9601 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> q e. RR )
5927zred 9601 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> t e. RR )
6058, 59ltnegd 8702 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> ( q < t <-> -u t < -u q ) )
6157, 60mtbird 679 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> -. q < t )
6261adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q < t ) -> -. q < t )
6314, 62pm2.21dd 625 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q < t ) -> r = s )
6436adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q = t ) -> D e. ZZ )
6526adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q = t ) -> r e. ZZ )
6624adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q = t ) -> s e. ZZ )
6730adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q = t ) -> q e. ZZ )
6827adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q = t ) -> t e. ZZ )
69 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q = t ) -> q = t )
7051adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q = t ) -> N = ( ( q x. D ) + r ) )
7144adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q = t ) -> N = ( ( t x. D ) + s ) )
7270, 71eqtr3d 2266 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q = t ) -> ( ( q x. D ) + r ) = ( ( t x. D ) + s ) )
7364, 65, 66, 67, 68, 69, 72divalglemqt 12479 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q = t ) -> r = s )
74 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ t < q ) -> t < q )
75 simpr1 1029 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> 0 <_ s )
76 simpr2 1030 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) -> r < ( abs ` D ) )
7776ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> r < ( abs ` D ) )
7877, 42breqtrd 4114 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> r < -u D )
7955, 49eqtr3d 2266 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> ( ( -u q x. -u D ) + r ) = ( ( -u t x. -u D ) + s ) )
8022, 26, 24, 31, 28, 75, 78, 79divalglemnqt 12480 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> -. -u q < -u t )
8159, 58ltnegd 8702 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> ( t < q <-> -u q < -u t ) )
8280, 81mtbird 679 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> -. t < q )
8382adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ t < q ) -> -. t < q )
8474, 83pm2.21dd 625 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ t < q ) -> r = s )
85 simplr 529 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) -> q e. ZZ )
8685ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> q e. ZZ )
87 ztri3or 9521 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( q e. ZZ /\ t e. ZZ ) -> ( q < t \/ q = t \/ t < q ) )
8886, 27, 87syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> ( q < t \/ q = t \/ t < q ) )
8963, 73, 84, 88mpjao3dan 1343 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> r = s )
9089ex 115 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) -> ( ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) -> r = s ) )
9190rexlimdva 2650 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) -> ( E. t e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) -> r = s ) )
9213, 91biimtrid 152 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) -> ( E. q e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) -> r = s ) )
9392exp31 364 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( q e. ZZ -> ( ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) -> ( E. q e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) -> r = s ) ) ) )
945, 8, 93rexlimd 2647 . . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) -> ( E. q e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) -> r = s ) ) )
9594impd 254 . . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( ( E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) /\ E. q e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) ) -> r = s ) )
9695ralrimivva 2614 . . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> A. r e. ZZ A. s e. ZZ ( ( E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) /\ E. q e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) ) -> r = s ) )
97 breq2 4092 . . . . . 6 |- ( r = s -> ( 0 <_ r <-> 0 <_ s ) )
98 breq1 4091 . . . . . 6 |- ( r = s -> ( r < ( abs ` D ) <-> s < ( abs ` D ) ) )
99 oveq2 6025 . . . . . . 7 |- ( r = s -> ( ( q x. D ) + r ) = ( ( q x. D ) + s ) )
10099eqeq2d 2243 . . . . . 6 |- ( r = s -> ( N = ( ( q x. D ) + r ) <-> N = ( ( q x. D ) + s ) ) )
10197, 98, 1003anbi123d 1348 . . . . 5 |- ( r = s -> ( ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) ) )
102101rexbidv 2533 . . . 4 |- ( r = s -> ( E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> E. q e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) ) )
103102rmo4 2999 . . 3 |- ( E* r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> A. r e. ZZ A. s e. ZZ ( ( E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) /\ E. q e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) ) -> r = s ) )
10496, 103sylibr 134 . 2 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> E* r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
105 reu5 2751 . 2 |- ( E! r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> ( E. r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) /\ E* r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) )
1064, 104, 105sylanbrc 417 1 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> E! r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ w3o 1003   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   =/= wne 2402   A.wral 2510   E.wrex 2511   E!wreu 2512   E*wrmo 2513   class class class wbr 4088   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   0cc0 8031   + caddc 8034   x. cmul 8036   < clt 8213   <_ cle 8214   -ucneg 8350   NNcn 9142   ZZcz 9478   abscabs 11557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-q 9853  df-rp 9888  df-fl 10529  df-mod 10584  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559
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