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Theorem divalglemeuneg 12105
Description: Lemma for divalg 12106. Uniqueness for a negative denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
divalglemeuneg |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> E! r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
Distinct variable groups:   D, q, r   N, q, r
Proof of Theorem divalglemeuneg
Dummy variables s t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1001 . . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> D < 0 )
21lt0ne0d 8557 . . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> D =/= 0 )
3 divalglemex 12104 . . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D =/= 0 ) -> E. r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
42, 3syld3an3 1294 . 2 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> E. r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
5 nfv 1542 . . . . . 6 |- F/ q ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) )
6 nfre1 2540 . . . . . . 7 |- F/ q E. q e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) )
7 nfv 1542 . . . . . . 7 |- F/ q r = s
86, 7nfim 1586 . . . . . 6 |- F/ q ( E. q e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) -> r = s )
9 oveq1 5932 . . . . . . . . . . . 12 |- ( q = t -> ( q x. D ) = ( t x. D ) )
109oveq1d 5940 . . . . . . . . . . 11 |- ( q = t -> ( ( q x. D ) + s ) = ( ( t x. D ) + s ) )
1110eqeq2d 2208 . . . . . . . . . 10 |- ( q = t -> ( N = ( ( q x. D ) + s ) <-> N = ( ( t x. D ) + s ) ) )
12113anbi3d 1329 . . . . . . . . 9 |- ( q = t -> ( ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) <-> ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) )
1312cbvrexv 2730 . . . . . . . 8 |- ( E. q e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) <-> E. t e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) )
14 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q < t ) -> q < t )
15 simp2 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> D e. ZZ )
1615znegcld 9467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> -u D e. ZZ )
1715zred 9465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> D e. RR )
1817lt0neg1d 8559 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> ( D < 0 <-> 0 < -u D ) )
191, 18mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> 0 < -u D )
20 elnnz 9353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -u D e. NN <-> ( -u D e. ZZ /\ 0 < -u D ) )
2116, 19, 20sylanbrc 417 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> -u D e. NN )
2221ad5antr 496 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> -u D e. NN )
23 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) -> s e. ZZ )
2423ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> s e. ZZ )
25 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) -> r e. ZZ )
2625ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> r e. ZZ )
27 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> t e. ZZ )
2827znegcld 9467 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> -u t e. ZZ )
29 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) -> q e. ZZ )
3029ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> q e. ZZ )
3130znegcld 9467 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> -u q e. ZZ )
32 simpr1 1005 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) -> 0 <_ r )
3332ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> 0 <_ r )
34 simpr2 1006 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> s < ( abs ` D ) )
35 simpll2 1039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) -> D e. ZZ )
3635ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> D e. ZZ )
3736zred 9465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> D e. RR )
38 0red 8044 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> 0 e. RR )
39 simpll3 1040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) -> D < 0 )
4039ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> D < 0 )
4137, 38, 40ltled 8162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> D <_ 0 )
4237, 41absnidd 11342 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> ( abs ` D ) = -u D )
4334, 42breqtrd 4060 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> s < -u D )
44 simpr3 1007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> N = ( ( t x. D ) + s ) )
4527zcnd 9466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> t e. CC )
4636zcnd 9466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> D e. CC )
4745, 46mul2negd 8456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> ( -u t x. -u D ) = ( t x. D ) )
4847oveq1d 5940 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> ( ( -u t x. -u D ) + s ) = ( ( t x. D ) + s ) )
4944, 48eqtr4d 2232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> N = ( ( -u t x. -u D ) + s ) )
50 simpr3 1007 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) -> N = ( ( q x. D ) + r ) )
5150ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> N = ( ( q x. D ) + r ) )
5230zcnd 9466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> q e. CC )
5352, 46mul2negd 8456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> ( -u q x. -u D ) = ( q x. D ) )
5453oveq1d 5940 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> ( ( -u q x. -u D ) + r ) = ( ( q x. D ) + r ) )
5551, 54eqtr4d 2232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> N = ( ( -u q x. -u D ) + r ) )
5649, 55eqtr3d 2231 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> ( ( -u t x. -u D ) + s ) = ( ( -u q x. -u D ) + r ) )
5722, 24, 26, 28, 31, 33, 43, 56divalglemnqt 12102 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> -. -u t < -u q )
5830zred 9465 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> q e. RR )
5927zred 9465 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> t e. RR )
6058, 59ltnegd 8567 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> ( q < t <-> -u t < -u q ) )
6157, 60mtbird 674 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> -. q < t )
6261adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q < t ) -> -. q < t )
6314, 62pm2.21dd 621 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q < t ) -> r = s )
6436adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q = t ) -> D e. ZZ )
6526adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q = t ) -> r e. ZZ )
6624adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q = t ) -> s e. ZZ )
6730adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q = t ) -> q e. ZZ )
6827adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q = t ) -> t e. ZZ )
69 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q = t ) -> q = t )
7051adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q = t ) -> N = ( ( q x. D ) + r ) )
7144adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q = t ) -> N = ( ( t x. D ) + s ) )
7270, 71eqtr3d 2231 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q = t ) -> ( ( q x. D ) + r ) = ( ( t x. D ) + s ) )
7364, 65, 66, 67, 68, 69, 72divalglemqt 12101 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q = t ) -> r = s )
74 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ t < q ) -> t < q )
75 simpr1 1005 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> 0 <_ s )
76 simpr2 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) -> r < ( abs ` D ) )
7776ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> r < ( abs ` D ) )
7877, 42breqtrd 4060 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> r < -u D )
7955, 49eqtr3d 2231 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> ( ( -u q x. -u D ) + r ) = ( ( -u t x. -u D ) + s ) )
8022, 26, 24, 31, 28, 75, 78, 79divalglemnqt 12102 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> -. -u q < -u t )
8159, 58ltnegd 8567 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> ( t < q <-> -u q < -u t ) )
8280, 81mtbird 674 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> -. t < q )
8382adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ t < q ) -> -. t < q )
8474, 83pm2.21dd 621 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ t < q ) -> r = s )
85 simplr 528 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) -> q e. ZZ )
8685ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> q e. ZZ )
87 ztri3or 9386 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( q e. ZZ /\ t e. ZZ ) -> ( q < t \/ q = t \/ t < q ) )
8886, 27, 87syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> ( q < t \/ q = t \/ t < q ) )
8963, 73, 84, 88mpjao3dan 1318 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> r = s )
9089ex 115 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) -> ( ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) -> r = s ) )
9190rexlimdva 2614 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) -> ( E. t e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) -> r = s ) )
9213, 91biimtrid 152 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) -> ( E. q e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) -> r = s ) )
9392exp31 364 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( q e. ZZ -> ( ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) -> ( E. q e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) -> r = s ) ) ) )
945, 8, 93rexlimd 2611 . . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) -> ( E. q e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) -> r = s ) ) )
9594impd 254 . . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( ( E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) /\ E. q e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) ) -> r = s ) )
9695ralrimivva 2579 . . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> A. r e. ZZ A. s e. ZZ ( ( E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) /\ E. q e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) ) -> r = s ) )
97 breq2 4038 . . . . . 6 |- ( r = s -> ( 0 <_ r <-> 0 <_ s ) )
98 breq1 4037 . . . . . 6 |- ( r = s -> ( r < ( abs ` D ) <-> s < ( abs ` D ) ) )
99 oveq2 5933 . . . . . . 7 |- ( r = s -> ( ( q x. D ) + r ) = ( ( q x. D ) + s ) )
10099eqeq2d 2208 . . . . . 6 |- ( r = s -> ( N = ( ( q x. D ) + r ) <-> N = ( ( q x. D ) + s ) ) )
10197, 98, 1003anbi123d 1323 . . . . 5 |- ( r = s -> ( ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) ) )
102101rexbidv 2498 . . . 4 |- ( r = s -> ( E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> E. q e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) ) )
103102rmo4 2957 . . 3 |- ( E* r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> A. r e. ZZ A. s e. ZZ ( ( E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) /\ E. q e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) ) -> r = s ) )
10496, 103sylibr 134 . 2 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> E* r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
105 reu5 2714 . 2 |- ( E! r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> ( E. r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) /\ E* r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) )
1064, 104, 105sylanbrc 417 1 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> E! r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ w3o 979   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   A.wral 2475   E.wrex 2476   E!wreu 2477   E*wrmo 2478   class class class wbr 4034   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   0cc0 7896   + caddc 7899   x. cmul 7901   < clt 8078   <_ cle 8079   -ucneg 8215   NNcn 9007   ZZcz 9343   abscabs 11179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-fl 10377  df-mod 10432  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181
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