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Theorem divalglemeuneg 12064
Description: Lemma for divalg 12065. Uniqueness for a negative denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
divalglemeuneg |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> E! r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
Distinct variable groups:   D, q, r   N, q, r
Proof of Theorem divalglemeuneg
Dummy variables s t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1001 . . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> D < 0 )
21lt0ne0d 8532 . . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> D =/= 0 )
3 divalglemex 12063 . . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D =/= 0 ) -> E. r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
42, 3syld3an3 1294 . 2 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> E. r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
5 nfv 1539 . . . . . 6 |- F/ q ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) )
6 nfre1 2537 . . . . . . 7 |- F/ q E. q e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) )
7 nfv 1539 . . . . . . 7 |- F/ q r = s
86, 7nfim 1583 . . . . . 6 |- F/ q ( E. q e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) -> r = s )
9 oveq1 5925 . . . . . . . . . . . 12 |- ( q = t -> ( q x. D ) = ( t x. D ) )
109oveq1d 5933 . . . . . . . . . . 11 |- ( q = t -> ( ( q x. D ) + s ) = ( ( t x. D ) + s ) )
1110eqeq2d 2205 . . . . . . . . . 10 |- ( q = t -> ( N = ( ( q x. D ) + s ) <-> N = ( ( t x. D ) + s ) ) )
12113anbi3d 1329 . . . . . . . . 9 |- ( q = t -> ( ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) <-> ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) )
1312cbvrexv 2727 . . . . . . . 8 |- ( E. q e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) <-> E. t e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) )
14 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q < t ) -> q < t )
15 simp2 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> D e. ZZ )
1615znegcld 9441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> -u D e. ZZ )
1715zred 9439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> D e. RR )
1817lt0neg1d 8534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> ( D < 0 <-> 0 < -u D ) )
191, 18mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> 0 < -u D )
20 elnnz 9327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -u D e. NN <-> ( -u D e. ZZ /\ 0 < -u D ) )
2116, 19, 20sylanbrc 417 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> -u D e. NN )
2221ad5antr 496 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> -u D e. NN )
23 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) -> s e. ZZ )
2423ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> s e. ZZ )
25 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) -> r e. ZZ )
2625ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> r e. ZZ )
27 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> t e. ZZ )
2827znegcld 9441 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> -u t e. ZZ )
29 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) -> q e. ZZ )
3029ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> q e. ZZ )
3130znegcld 9441 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> -u q e. ZZ )
32 simpr1 1005 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) -> 0 <_ r )
3332ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> 0 <_ r )
34 simpr2 1006 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> s < ( abs ` D ) )
35 simpll2 1039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) -> D e. ZZ )
3635ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> D e. ZZ )
3736zred 9439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> D e. RR )
38 0red 8020 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> 0 e. RR )
39 simpll3 1040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) -> D < 0 )
4039ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> D < 0 )
4137, 38, 40ltled 8138 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> D <_ 0 )
4237, 41absnidd 11304 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> ( abs ` D ) = -u D )
4334, 42breqtrd 4055 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> s < -u D )
44 simpr3 1007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> N = ( ( t x. D ) + s ) )
4527zcnd 9440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> t e. CC )
4636zcnd 9440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> D e. CC )
4745, 46mul2negd 8432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> ( -u t x. -u D ) = ( t x. D ) )
4847oveq1d 5933 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> ( ( -u t x. -u D ) + s ) = ( ( t x. D ) + s ) )
4944, 48eqtr4d 2229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> N = ( ( -u t x. -u D ) + s ) )
50 simpr3 1007 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) -> N = ( ( q x. D ) + r ) )
5150ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> N = ( ( q x. D ) + r ) )
5230zcnd 9440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> q e. CC )
5352, 46mul2negd 8432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> ( -u q x. -u D ) = ( q x. D ) )
5453oveq1d 5933 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> ( ( -u q x. -u D ) + r ) = ( ( q x. D ) + r ) )
5551, 54eqtr4d 2229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> N = ( ( -u q x. -u D ) + r ) )
5649, 55eqtr3d 2228 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> ( ( -u t x. -u D ) + s ) = ( ( -u q x. -u D ) + r ) )
5722, 24, 26, 28, 31, 33, 43, 56divalglemnqt 12061 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> -. -u t < -u q )
5830zred 9439 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> q e. RR )
5927zred 9439 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> t e. RR )
6058, 59ltnegd 8542 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> ( q < t <-> -u t < -u q ) )
6157, 60mtbird 674 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> -. q < t )
6261adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q < t ) -> -. q < t )
6314, 62pm2.21dd 621 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q < t ) -> r = s )
6436adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q = t ) -> D e. ZZ )
6526adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q = t ) -> r e. ZZ )
6624adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q = t ) -> s e. ZZ )
6730adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q = t ) -> q e. ZZ )
6827adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q = t ) -> t e. ZZ )
69 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q = t ) -> q = t )
7051adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q = t ) -> N = ( ( q x. D ) + r ) )
7144adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q = t ) -> N = ( ( t x. D ) + s ) )
7270, 71eqtr3d 2228 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q = t ) -> ( ( q x. D ) + r ) = ( ( t x. D ) + s ) )
7364, 65, 66, 67, 68, 69, 72divalglemqt 12060 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ q = t ) -> r = s )
74 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ t < q ) -> t < q )
75 simpr1 1005 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> 0 <_ s )
76 simpr2 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) -> r < ( abs ` D ) )
7776ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> r < ( abs ` D ) )
7877, 42breqtrd 4055 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> r < -u D )
7955, 49eqtr3d 2228 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> ( ( -u q x. -u D ) + r ) = ( ( -u t x. -u D ) + s ) )
8022, 26, 24, 31, 28, 75, 78, 79divalglemnqt 12061 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> -. -u q < -u t )
8159, 58ltnegd 8542 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> ( t < q <-> -u q < -u t ) )
8280, 81mtbird 674 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> -. t < q )
8382adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ t < q ) -> -. t < q )
8474, 83pm2.21dd 621 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) /\ t < q ) -> r = s )
85 simplr 528 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) -> q e. ZZ )
8685ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> q e. ZZ )
87 ztri3or 9360 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( q e. ZZ /\ t e. ZZ ) -> ( q < t \/ q = t \/ t < q ) )
8886, 27, 87syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> ( q < t \/ q = t \/ t < q ) )
8963, 73, 84, 88mpjao3dan 1318 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) /\ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) ) -> r = s )
9089ex 115 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) /\ t e. ZZ ) -> ( ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) -> r = s ) )
9190rexlimdva 2611 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) -> ( E. t e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( t x. D ) + s ) ) -> r = s ) )
9213, 91biimtrid 152 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ q e. ZZ ) /\ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) -> ( E. q e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) -> r = s ) )
9392exp31 364 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( q e. ZZ -> ( ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) -> ( E. q e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) -> r = s ) ) ) )
945, 8, 93rexlimd 2608 . . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) -> ( E. q e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) -> r = s ) ) )
9594impd 254 . . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( ( E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) /\ E. q e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) ) -> r = s ) )
9695ralrimivva 2576 . . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> A. r e. ZZ A. s e. ZZ ( ( E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) /\ E. q e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) ) -> r = s ) )
97 breq2 4033 . . . . . 6 |- ( r = s -> ( 0 <_ r <-> 0 <_ s ) )
98 breq1 4032 . . . . . 6 |- ( r = s -> ( r < ( abs ` D ) <-> s < ( abs ` D ) ) )
99 oveq2 5926 . . . . . . 7 |- ( r = s -> ( ( q x. D ) + r ) = ( ( q x. D ) + s ) )
10099eqeq2d 2205 . . . . . 6 |- ( r = s -> ( N = ( ( q x. D ) + r ) <-> N = ( ( q x. D ) + s ) ) )
10197, 98, 1003anbi123d 1323 . . . . 5 |- ( r = s -> ( ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) ) )
102101rexbidv 2495 . . . 4 |- ( r = s -> ( E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> E. q e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) ) )
103102rmo4 2953 . . 3 |- ( E* r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> A. r e. ZZ A. s e. ZZ ( ( E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) /\ E. q e. ZZ ( 0 <_ s /\ s < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + s ) ) ) -> r = s ) )
10496, 103sylibr 134 . 2 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> E* r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
105 reu5 2711 . 2 |- ( E! r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> ( E. r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) /\ E* r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) )
1064, 104, 105sylanbrc 417 1 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> E! r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ w3o 979   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   A.wral 2472   E.wrex 2473   E!wreu 2474   E*wrmo 2475   class class class wbr 4029   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   0cc0 7872   + caddc 7875   x. cmul 7877   < clt 8054   <_ cle 8055   -ucneg 8191   NNcn 8982   ZZcz 9317   abscabs 11141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fl 10339  df-mod 10394  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143
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