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Theorem divalglemeuneg 11963
Description: Lemma for divalg 11964. Uniqueness for a negative denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
divalglemeuneg  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  ->  E! r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) ) )
Distinct variable groups:    D, q, r    N, q, r

Proof of Theorem divalglemeuneg
Dummy variables  s  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1001 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  ->  D  <  0 )
21lt0ne0d 8501 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  ->  D  =/=  0 )
3 divalglemex 11962 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  =/=  0 )  ->  E. r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) ) )
42, 3syld3an3 1294 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  ->  E. r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) ) )
5 nfv 1539 . . . . . 6  |-  F/ q ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)
6 nfre1 2533 . . . . . . 7  |-  F/ q E. q  e.  ZZ  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  s ) )
7 nfv 1539 . . . . . . 7  |-  F/ q  r  =  s
86, 7nfim 1583 . . . . . 6  |-  F/ q ( E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  s ) )  ->  r  =  s )
9 oveq1 5904 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( q  =  t  ->  (
q  x.  D )  =  ( t  x.  D ) )
109oveq1d 5912 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  =  t  ->  (
( q  x.  D
)  +  s )  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) )
1110eqeq2d 2201 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  =  t  ->  ( N  =  ( (
q  x.  D )  +  s )  <->  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )
12113anbi3d 1329 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  t  ->  (
( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  s ) )  <->  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) ) )
1312cbvrexv 2719 . . . . . . . 8  |-  ( E. q  e.  ZZ  (
0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  s ) )  <->  E. t  e.  ZZ  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )
14 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  <  t
)  ->  q  <  t )
15 simp2 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  ->  D  e.  ZZ )
1615znegcld 9408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  ->  -u D  e.  ZZ )
1715zred 9406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  ->  D  e.  RR )
1817lt0neg1d 8503 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  ->  ( D  <  0  <->  0  <  -u D ) )
191, 18mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  ->  0  <  -u D )
20 elnnz 9294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -u D  e.  NN  <->  ( -u D  e.  ZZ  /\  0  <  -u D ) )
2116, 19, 20sylanbrc 417 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  ->  -u D  e.  NN )
2221ad5antr 496 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  -u D  e.  NN )
23 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  ->  s  e.  ZZ )
2423ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  s  e.  ZZ )
25 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  ->  r  e.  ZZ )
2625ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  r  e.  ZZ )
27 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  t  e.  ZZ )
2827znegcld 9408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  -u t  e.  ZZ )
29 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  ->  q  e.  ZZ )
3029ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  q  e.  ZZ )
3130znegcld 9408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  -u q  e.  ZZ )
32 simpr1 1005 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  -> 
0  <_  r )
3332ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  0  <_  r
)
34 simpr2 1006 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  s  <  ( abs `  D ) )
35 simpll2 1039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  ->  D  e.  ZZ )
3635ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  D  e.  ZZ )
3736zred 9406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  D  e.  RR )
38 0red 7989 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  0  e.  RR )
39 simpll3 1040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  ->  D  <  0 )
4039ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  D  <  0
)
4137, 38, 40ltled 8107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  D  <_  0
)
4237, 41absnidd 11204 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  ( abs `  D
)  =  -u D
)
4334, 42breqtrd 4044 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  s  <  -u D
)
44 simpr3 1007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) )
4527zcnd 9407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  t  e.  CC )
4636zcnd 9407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  D  e.  CC )
4745, 46mul2negd 8401 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  ( -u t  x.  -u D )  =  ( t  x.  D
) )
4847oveq1d 5912 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  ( ( -u t  x.  -u D )  +  s )  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) )
4944, 48eqtr4d 2225 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  N  =  ( ( -u t  x.  -u D )  +  s ) )
50 simpr3 1007 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  ->  N  =  ( (
q  x.  D )  +  r ) )
5150ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) )
5230zcnd 9407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  q  e.  CC )
5352, 46mul2negd 8401 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  ( -u q  x.  -u D )  =  ( q  x.  D
) )
5453oveq1d 5912 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  ( ( -u q  x.  -u D )  +  r )  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )
5551, 54eqtr4d 2225 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  N  =  ( ( -u q  x.  -u D )  +  r ) )
5649, 55eqtr3d 2224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  ( ( -u t  x.  -u D )  +  s )  =  ( ( -u q  x.  -u D )  +  r ) )
5722, 24, 26, 28, 31, 33, 43, 56divalglemnqt 11960 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  -.  -u t  <  -u q )
5830zred 9406 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  q  e.  RR )
5927zred 9406 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  t  e.  RR )
6058, 59ltnegd 8511 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  ( q  < 
t  <->  -u t  <  -u q
) )
6157, 60mtbird 674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  -.  q  <  t )
6261adantr 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  <  t
)  ->  -.  q  <  t )
6314, 62pm2.21dd 621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  <  t
)  ->  r  =  s )
6436adantr 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  =  t )  ->  D  e.  ZZ )
6526adantr 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  =  t )  ->  r  e.  ZZ )
6624adantr 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  =  t )  ->  s  e.  ZZ )
6730adantr 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  =  t )  ->  q  e.  ZZ )
6827adantr 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  =  t )  ->  t  e.  ZZ )
69 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  =  t )  ->  q  =  t )
7051adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  =  t )  ->  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )
7144adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  =  t )  ->  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) )
7270, 71eqtr3d 2224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  =  t )  ->  ( (
q  x.  D )  +  r )  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) )
7364, 65, 66, 67, 68, 69, 72divalglemqt 11959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  =  t )  ->  r  =  s )
74 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  t  <  q
)  ->  t  <  q )
75 simpr1 1005 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  0  <_  s
)
76 simpr2 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  -> 
r  <  ( abs `  D ) )
7776ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  r  <  ( abs `  D ) )
7877, 42breqtrd 4044 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  r  <  -u D
)
7955, 49eqtr3d 2224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  ( ( -u q  x.  -u D )  +  r )  =  ( ( -u t  x.  -u D )  +  s ) )
8022, 26, 24, 31, 28, 75, 78, 79divalglemnqt 11960 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  -.  -u q  <  -u t )
8159, 58ltnegd 8511 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  ( t  < 
q  <->  -u q  <  -u t
) )
8280, 81mtbird 674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  -.  t  <  q )
8382adantr 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  t  <  q
)  ->  -.  t  <  q )
8474, 83pm2.21dd 621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  t  <  q
)  ->  r  =  s )
85 simplr 528 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  -> 
q  e.  ZZ )
8685ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  q  e.  ZZ )
87 ztri3or 9327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( q  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  ->  ( q  <  t  \/  q  =  t  \/  t  <  q ) )
8886, 27, 87syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  ( q  < 
t  \/  q  =  t  \/  t  < 
q ) )
8963, 73, 84, 88mpjao3dan 1318 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  r  =  s )
9089ex 115 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) )  ->  r  =  s ) )
9190rexlimdva 2607 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  -> 
( E. t  e.  ZZ  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) )  ->  r  =  s ) )
9213, 91biimtrid 152 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  -> 
( E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  s ) )  ->  r  =  s ) )
9392exp31 364 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  ->  ( q  e.  ZZ  ->  ( (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  ->  ( E. q  e.  ZZ  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  s ) )  -> 
r  =  s ) ) ) )
945, 8, 93rexlimd 2604 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  ->  ( E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  ->  ( E. q  e.  ZZ  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  s ) )  -> 
r  =  s ) ) )
9594impd 254 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  ->  ( ( E. q  e.  ZZ  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  /\  E. q  e.  ZZ  (
0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  s ) ) )  -> 
r  =  s ) )
9695ralrimivva 2572 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  ->  A. r  e.  ZZ  A. s  e.  ZZ  ( ( E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  /\  E. q  e.  ZZ  (
0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  s ) ) )  -> 
r  =  s ) )
97 breq2 4022 . . . . . 6  |-  ( r  =  s  ->  (
0  <_  r  <->  0  <_  s ) )
98 breq1 4021 . . . . . 6  |-  ( r  =  s  ->  (
r  <  ( abs `  D )  <->  s  <  ( abs `  D ) ) )
99 oveq2 5905 . . . . . . 7  |-  ( r  =  s  ->  (
( q  x.  D
)  +  r )  =  ( ( q  x.  D )  +  s ) )
10099eqeq2d 2201 . . . . . 6  |-  ( r  =  s  ->  ( N  =  ( (
q  x.  D )  +  r )  <->  N  =  ( ( q  x.  D )  +  s ) ) )
10197, 98, 1003anbi123d 1323 . . . . 5  |-  ( r  =  s  ->  (
( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  s ) ) ) )
102101rexbidv 2491 . . . 4  |-  ( r  =  s  ->  ( E. q  e.  ZZ  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  s ) ) ) )
103102rmo4 2945 . . 3  |-  ( E* r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  A. r  e.  ZZ  A. s  e.  ZZ  ( ( E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  /\  E. q  e.  ZZ  (
0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  s ) ) )  -> 
r  =  s ) )
10496, 103sylibr 134 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  ->  E* r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) ) )
105 reu5 2703 . 2  |-  ( E! r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  ( E. r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) )  /\  E* r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) ) ) )
1064, 104, 105sylanbrc 417 1  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  ->  E! r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    \/ w3o 979    /\ w3a 980    = wceq 1364    e. wcel 2160    =/= wne 2360   A.wral 2468   E.wrex 2469   E!wreu 2470   E*wrmo 2471   class class class wbr 4018   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   0cc0 7842    + caddc 7845    x. cmul 7847    < clt 8023    <_ cle 8024   -ucneg 8160   NNcn 8950   ZZcz 9284   abscabs 11041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960  ax-arch 7961
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-frec 6417  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-q 9652  df-rp 9686  df-fl 10303  df-mod 10356  df-seqfrec 10479  df-exp 10554  df-cj 10886  df-re 10887  df-im 10888  df-rsqrt 11042  df-abs 11043
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