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Theorem divalglemeuneg 11527
Description: Lemma for divalg 11528. Uniqueness for a negative denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
divalglemeuneg  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  ->  E! r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) ) )
Distinct variable groups:    D, q, r    N, q, r

Proof of Theorem divalglemeuneg
Dummy variables  s  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 966 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  ->  D  <  0 )
21lt0ne0d 8239 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  ->  D  =/=  0 )
3 divalglemex 11526 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  =/=  0 )  ->  E. r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) ) )
42, 3syld3an3 1244 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  ->  E. r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) ) )
5 nfv 1491 . . . . . 6  |-  F/ q ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)
6 nfre1 2451 . . . . . . 7  |-  F/ q E. q  e.  ZZ  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  s ) )
7 nfv 1491 . . . . . . 7  |-  F/ q  r  =  s
86, 7nfim 1534 . . . . . 6  |-  F/ q ( E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  s ) )  ->  r  =  s )
9 oveq1 5747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( q  =  t  ->  (
q  x.  D )  =  ( t  x.  D ) )
109oveq1d 5755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  =  t  ->  (
( q  x.  D
)  +  s )  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) )
1110eqeq2d 2127 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  =  t  ->  ( N  =  ( (
q  x.  D )  +  s )  <->  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )
12113anbi3d 1279 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  t  ->  (
( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  s ) )  <->  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) ) )
1312cbvrexv 2630 . . . . . . . 8  |-  ( E. q  e.  ZZ  (
0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  s ) )  <->  E. t  e.  ZZ  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )
14 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  <  t
)  ->  q  <  t )
15 simp2 965 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  ->  D  e.  ZZ )
1615znegcld 9129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  ->  -u D  e.  ZZ )
1715zred 9127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  ->  D  e.  RR )
1817lt0neg1d 8241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  ->  ( D  <  0  <->  0  <  -u D ) )
191, 18mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  ->  0  <  -u D )
20 elnnz 9018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -u D  e.  NN  <->  ( -u D  e.  ZZ  /\  0  <  -u D ) )
2116, 19, 20sylanbrc 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  ->  -u D  e.  NN )
2221ad5antr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  -u D  e.  NN )
23 simplrr 508 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  ->  s  e.  ZZ )
2423ad3antrrr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  s  e.  ZZ )
25 simplrl 507 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  ->  r  e.  ZZ )
2625ad3antrrr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  r  e.  ZZ )
27 simplr 502 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  t  e.  ZZ )
2827znegcld 9129 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  -u t  e.  ZZ )
29 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  ->  q  e.  ZZ )
3029ad3antrrr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  q  e.  ZZ )
3130znegcld 9129 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  -u q  e.  ZZ )
32 simpr1 970 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  -> 
0  <_  r )
3332ad2antrr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  0  <_  r
)
34 simpr2 971 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  s  <  ( abs `  D ) )
35 simpll2 1004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  ->  D  e.  ZZ )
3635ad3antrrr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  D  e.  ZZ )
3736zred 9127 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  D  e.  RR )
38 0red 7731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  0  e.  RR )
39 simpll3 1005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  ->  D  <  0 )
4039ad3antrrr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  D  <  0
)
4137, 38, 40ltled 7845 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  D  <_  0
)
4237, 41absnidd 10883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  ( abs `  D
)  =  -u D
)
4334, 42breqtrd 3922 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  s  <  -u D
)
44 simpr3 972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) )
4527zcnd 9128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  t  e.  CC )
4636zcnd 9128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  D  e.  CC )
4745, 46mul2negd 8139 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  ( -u t  x.  -u D )  =  ( t  x.  D
) )
4847oveq1d 5755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  ( ( -u t  x.  -u D )  +  s )  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) )
4944, 48eqtr4d 2151 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  N  =  ( ( -u t  x.  -u D )  +  s ) )
50 simpr3 972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  ->  N  =  ( (
q  x.  D )  +  r ) )
5150ad2antrr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) )
5230zcnd 9128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  q  e.  CC )
5352, 46mul2negd 8139 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  ( -u q  x.  -u D )  =  ( q  x.  D
) )
5453oveq1d 5755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  ( ( -u q  x.  -u D )  +  r )  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )
5551, 54eqtr4d 2151 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  N  =  ( ( -u q  x.  -u D )  +  r ) )
5649, 55eqtr3d 2150 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  ( ( -u t  x.  -u D )  +  s )  =  ( ( -u q  x.  -u D )  +  r ) )
5722, 24, 26, 28, 31, 33, 43, 56divalglemnqt 11524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  -.  -u t  <  -u q )
5830zred 9127 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  q  e.  RR )
5927zred 9127 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  t  e.  RR )
6058, 59ltnegd 8248 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  ( q  < 
t  <->  -u t  <  -u q
) )
6157, 60mtbird 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  -.  q  <  t )
6261adantr 272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  <  t
)  ->  -.  q  <  t )
6314, 62pm2.21dd 592 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  <  t
)  ->  r  =  s )
6436adantr 272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  =  t )  ->  D  e.  ZZ )
6526adantr 272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  =  t )  ->  r  e.  ZZ )
6624adantr 272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  =  t )  ->  s  e.  ZZ )
6730adantr 272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  =  t )  ->  q  e.  ZZ )
6827adantr 272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  =  t )  ->  t  e.  ZZ )
69 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  =  t )  ->  q  =  t )
7051adantr 272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  =  t )  ->  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )
7144adantr 272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  =  t )  ->  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) )
7270, 71eqtr3d 2150 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  =  t )  ->  ( (
q  x.  D )  +  r )  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) )
7364, 65, 66, 67, 68, 69, 72divalglemqt 11523 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  =  t )  ->  r  =  s )
74 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  t  <  q
)  ->  t  <  q )
75 simpr1 970 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  0  <_  s
)
76 simpr2 971 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  -> 
r  <  ( abs `  D ) )
7776ad2antrr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  r  <  ( abs `  D ) )
7877, 42breqtrd 3922 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  r  <  -u D
)
7955, 49eqtr3d 2150 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  ( ( -u q  x.  -u D )  +  r )  =  ( ( -u t  x.  -u D )  +  s ) )
8022, 26, 24, 31, 28, 75, 78, 79divalglemnqt 11524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  -.  -u q  <  -u t )
8159, 58ltnegd 8248 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  ( t  < 
q  <->  -u q  <  -u t
) )
8280, 81mtbird 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  -.  t  <  q )
8382adantr 272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  t  <  q
)  ->  -.  t  <  q )
8474, 83pm2.21dd 592 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  t  <  q
)  ->  r  =  s )
85 simplr 502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  -> 
q  e.  ZZ )
8685ad2antrr 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  q  e.  ZZ )
87 ztri3or 9051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( q  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  ->  ( q  <  t  \/  q  =  t  \/  t  <  q ) )
8886, 27, 87syl2anc 406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  ( q  < 
t  \/  q  =  t  \/  t  < 
q ) )
8963, 73, 84, 88mpjao3dan 1268 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  ->  r  =  s )
9089ex 114 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) )  ->  r  =  s ) )
9190rexlimdva 2524 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  -> 
( E. t  e.  ZZ  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) )  ->  r  =  s ) )
9213, 91syl5bi 151 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  -> 
( E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  s ) )  ->  r  =  s ) )
9392exp31 359 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  ->  ( q  e.  ZZ  ->  ( (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  ->  ( E. q  e.  ZZ  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  s ) )  -> 
r  =  s ) ) ) )
945, 8, 93rexlimd 2521 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  ->  ( E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  ->  ( E. q  e.  ZZ  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  s ) )  -> 
r  =  s ) ) )
9594impd 252 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  ->  ( ( E. q  e.  ZZ  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  /\  E. q  e.  ZZ  (
0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  s ) ) )  -> 
r  =  s ) )
9695ralrimivva 2489 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  ->  A. r  e.  ZZ  A. s  e.  ZZ  ( ( E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  /\  E. q  e.  ZZ  (
0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  s ) ) )  -> 
r  =  s ) )
97 breq2 3901 . . . . . 6  |-  ( r  =  s  ->  (
0  <_  r  <->  0  <_  s ) )
98 breq1 3900 . . . . . 6  |-  ( r  =  s  ->  (
r  <  ( abs `  D )  <->  s  <  ( abs `  D ) ) )
99 oveq2 5748 . . . . . . 7  |-  ( r  =  s  ->  (
( q  x.  D
)  +  r )  =  ( ( q  x.  D )  +  s ) )
10099eqeq2d 2127 . . . . . 6  |-  ( r  =  s  ->  ( N  =  ( (
q  x.  D )  +  r )  <->  N  =  ( ( q  x.  D )  +  s ) ) )
10197, 98, 1003anbi123d 1273 . . . . 5  |-  ( r  =  s  ->  (
( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  s ) ) ) )
102101rexbidv 2413 . . . 4  |-  ( r  =  s  ->  ( E. q  e.  ZZ  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  s ) ) ) )
103102rmo4 2848 . . 3  |-  ( E* r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  A. r  e.  ZZ  A. s  e.  ZZ  ( ( E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  /\  E. q  e.  ZZ  (
0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  s ) ) )  -> 
r  =  s ) )
10496, 103sylibr 133 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  ->  E* r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) ) )
105 reu5 2618 . 2  |-  ( E! r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  ( E. r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) )  /\  E* r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) ) ) )
1064, 104, 105sylanbrc 411 1  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  ->  E! r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    \/ w3o 944    /\ w3a 945    = wceq 1314    e. wcel 1463    =/= wne 2283   A.wral 2391   E.wrex 2392   E!wreu 2393   E*wrmo 2394   class class class wbr 3897   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   0cc0 7584    + caddc 7587    x. cmul 7589    < clt 7764    <_ cle 7765   -ucneg 7898   NNcn 8680   ZZcz 9008   abscabs 10720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8396  df-inn 8681  df-2 8739  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-q 9364  df-rp 9394  df-fl 9994  df-mod 10047  df-seqfrec 10170  df-exp 10244  df-cj 10565  df-re 10566  df-im 10567  df-rsqrt 10721  df-abs 10722
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