Theorem s1fv 11202

Description: Sole symbol of a singleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
s1fv	|- ( A e. B -> ( <" A "> ` 0 ) = A )

Proof of Theorem s1fv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1val 11193	. . 3 |- ( A e. B -> <" A "> = { <. 0 , A >. } )
2	1	fveq1d 5641	. 2 |- ( A e. B -> ( <" A "> ` 0 ) = ( { <. 0 , A >. } ` 0 ) )
3		0nn0 9416	. . 3 |- 0 e. NN0
4		fvsng 5849	. . 3 |- ( ( 0 e. NN0 /\ A e. B ) -> ( { <. 0 , A >. } ` 0 ) = A )
5	3, 4	mpan 424	. 2 |- ( A e. B -> ( { <. 0 , A >. } ` 0 ) = A )
6	2, 5	eqtrd 2264	1 |- ( A e. B -> ( <" A "> ` 0 ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   {csn 3669   <.cop 3672   ` cfv 5326   0cc0 8031   NN0cn0 9401   <"cs1 11191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-1cn 8124  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-mulcl 8129  ax-i2m1 8136

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-n0 9402  df-s1 11192

This theorem is referenced by:  lsws1  11203  eqs1  11204  wrdl1s1  11206  ccats1val2  11216  ccat1st1st  11217  cats1un  11301  cats1fvn  11344  cats1fvnd  11345  s2fv0g  11367  loopclwwlkn1b  16269  clwwlkn1loopb  16270