Theorem s1fv 11103

Description: Sole symbol of a singleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
s1fv	|- ( A e. B -> ( <" A "> ` 0 ) = A )

Proof of Theorem s1fv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1val 11094	. . 3 |- ( A e. B -> <" A "> = { <. 0 , A >. } )
2	1	fveq1d 5591	. 2 |- ( A e. B -> ( <" A "> ` 0 ) = ( { <. 0 , A >. } ` 0 ) )
3		0nn0 9330	. . 3 |- 0 e. NN0
4		fvsng 5793	. . 3 |- ( ( 0 e. NN0 /\ A e. B ) -> ( { <. 0 , A >. } ` 0 ) = A )
5	3, 4	mpan 424	. 2 |- ( A e. B -> ( { <. 0 , A >. } ` 0 ) = A )
6	2, 5	eqtrd 2239	1 |- ( A e. B -> ( <" A "> ` 0 ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2177   {csn 3638   <.cop 3641   ` cfv 5280   0cc0 7945   NN0cn0 9315   <"cs1 11092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-1cn 8038  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-mulcl 8043  ax-i2m1 8050

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-sbc 3003  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-br 4052  df-opab 4114  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fv 5288  df-n0 9316  df-s1 11093

This theorem is referenced by:  lsws1  11104  eqs1  11105  wrdl1s1  11107  ccats1val2  11115  ccat1st1st  11116  cats1un  11197