Theorem s1fv 11372

Description: Sole symbol of a singleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
s1fv	|- ( A e. B -> ( <" A "> ` 0 ) = A )

Proof of Theorem s1fv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1val 11363	. . 3 |- ( A e. B -> <" A "> = { <. 0 , A >. } )
2	1	fveq1d 5692	. 2 |- ( A e. B -> ( <" A "> ` 0 ) = ( { <. 0 , A >. } ` 0 ) )
3		0nn0 9557	. . 3 |- 0 e. NN0
4		fvsng 5902	. . 3 |- ( ( 0 e. NN0 /\ A e. B ) -> ( { <. 0 , A >. } ` 0 ) = A )
5	3, 4	mpan 428	. 2 |- ( A e. B -> ( { <. 0 , A >. } ` 0 ) = A )
6	2, 5	eqtrd 2271	1 |- ( A e. B -> ( <" A "> ` 0 ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   {csn 3705   <.cop 3708   ` cfv 5372   0cc0 8169   NN0cn0 9542   <"cs1 11361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-1cn 8262  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-mulcl 8267  ax-i2m1 8274

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-n0 9543  df-s1 11362

This theorem is referenced by:  lsws1  11373  eqs1  11374  wrdl1s1  11376  ccats1val2  11386  ccat1st1st  11387  cats1un  11471  cats1fvn  11514  cats1fvnd  11515  s2fv0g  11537  loopclwwlkn1b  16574  clwwlkn1loopb  16575  konigsberglem1  16643