Theorem s1fv 11179

Description: Sole symbol of a singleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
s1fv	|- ( A e. B -> ( <" A "> ` 0 ) = A )

Proof of Theorem s1fv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1val 11170	. . 3 |- ( A e. B -> <" A "> = { <. 0 , A >. } )
2	1	fveq1d 5634	. 2 |- ( A e. B -> ( <" A "> ` 0 ) = ( { <. 0 , A >. } ` 0 ) )
3		0nn0 9400	. . 3 |- 0 e. NN0
4		fvsng 5842	. . 3 |- ( ( 0 e. NN0 /\ A e. B ) -> ( { <. 0 , A >. } ` 0 ) = A )
5	3, 4	mpan 424	. 2 |- ( A e. B -> ( { <. 0 , A >. } ` 0 ) = A )
6	2, 5	eqtrd 2262	1 |- ( A e. B -> ( <" A "> ` 0 ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   {csn 3666   <.cop 3669   ` cfv 5321   0cc0 8015   NN0cn0 9385   <"cs1 11168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-1cn 8108  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-mulcl 8113  ax-i2m1 8120

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fv 5329  df-n0 9386  df-s1 11169

This theorem is referenced by:  lsws1  11180  eqs1  11181  wrdl1s1  11183  ccats1val2  11192  ccat1st1st  11193  cats1un  11274  cats1fvn  11317  cats1fvnd  11318  s2fv0g  11340  loopclwwlkn1b  16187  clwwlkn1loopb  16188