Theorem s1fv 11339

Description: Sole symbol of a singleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
s1fv	|- ( A e. B -> ( <" A "> ` 0 ) = A )

Proof of Theorem s1fv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1val 11330	. . 3 |- ( A e. B -> <" A "> = { <. 0 , A >. } )
2	1	fveq1d 5677	. 2 |- ( A e. B -> ( <" A "> ` 0 ) = ( { <. 0 , A >. } ` 0 ) )
3		0nn0 9528	. . 3 |- 0 e. NN0
4		fvsng 5885	. . 3 |- ( ( 0 e. NN0 /\ A e. B ) -> ( { <. 0 , A >. } ` 0 ) = A )
5	3, 4	mpan 424	. 2 |- ( A e. B -> ( { <. 0 , A >. } ` 0 ) = A )
6	2, 5	eqtrd 2267	1 |- ( A e. B -> ( <" A "> ` 0 ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   {csn 3694   <.cop 3697   ` cfv 5357   0cc0 8143   NN0cn0 9513   <"cs1 11328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-1cn 8236  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-mulcl 8241  ax-i2m1 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3046  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-n0 9514  df-s1 11329

This theorem is referenced by:  lsws1  11340  eqs1  11341  wrdl1s1  11343  ccats1val2  11353  ccat1st1st  11354  cats1un  11438  cats1fvn  11481  cats1fvnd  11482  s2fv0g  11504  loopclwwlkn1b  16540  clwwlkn1loopb  16541  konigsberglem1  16609