Theorem cats1fvn 11346

Description: The last symbol of a concatenation with a singleton word. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cats1cld.1	|- T = ( S ++ <" X "> )
cats1cli.2	|- S e. Word _V
cats1fvn.3	|- (♯ ` S ) = M

Assertion

Ref	Expression
cats1fvn	|- ( X e. V -> ( T ` M ) = X )

Proof of Theorem cats1fvn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cats1cld.1	. . . 4 |- T = ( S ++ <" X "> )
2		cats1fvn.3	. . . . . 6 |- (♯ ` S ) = M
3	2	oveq2i 6029	. . . . 5 |- ( 0 + (♯ ` S ) ) = ( 0 + M )
4		cats1cli.2	. . . . . . . . 9 |- S e. Word _V
5		lencl 11118	. . . . . . . . 9 |- ( S e. Word _V -> (♯ ` S ) e. NN0 )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- (♯ ` S ) e. NN0
7	2, 6	eqeltrri 2305	. . . . . . 7 |- M e. NN0
8	7	nn0cni 9414	. . . . . 6 |- M e. CC
9	8	addlidi 8322	. . . . 5 |- ( 0 + M ) = M
10	3, 9	eqtr2i 2253	. . . 4 |- M = ( 0 + (♯ ` S ) )
11	1, 10	fveq12i 5645	. . 3 |- ( T ` M ) = ( ( S ++ <" X "> ) ` ( 0 + (♯ ` S ) ) )
12		elex 2814	. . . . 5 |- ( X e. V -> X e. _V )
13	12	s1cld 11200	. . . 4 |- ( X e. V -> <" X "> e. Word _V )
14		s1leng 11202	. . . . . 6 |- ( X e. V -> (♯ ` <" X "> ) = 1 )
15		1nn 9154	. . . . . 6 |- 1 e. NN
16	14, 15	eqeltrdi 2322	. . . . 5 |- ( X e. V -> (♯ ` <" X "> ) e. NN )
17		lbfzo0 10420	. . . . 5 |- ( 0 e. ( 0..^ (♯ ` <" X "> ) ) <-> (♯ ` <" X "> ) e. NN )
18	16, 17	sylibr 134	. . . 4 |- ( X e. V -> 0 e. ( 0..^ (♯ ` <" X "> ) ) )
19		ccatval3 11177	. . . 4 |- ( ( S e. Word _V /\ <" X "> e. Word _V /\ 0 e. ( 0..^ (♯ ` <" X "> ) ) ) -> ( ( S ++ <" X "> ) ` ( 0 + (♯ ` S ) ) ) = ( <" X "> ` 0 ) )
20	4, 13, 18, 19	mp3an2i 1378	. . 3 |- ( X e. V -> ( ( S ++ <" X "> ) ` ( 0 + (♯ ` S ) ) ) = ( <" X "> ` 0 ) )
21	11, 20	eqtrid 2276	. 2 |- ( X e. V -> ( T ` M ) = ( <" X "> ` 0 ) )
22		s1fv 11204	. 2 |- ( X e. V -> ( <" X "> ` 0 ) = X )
23	21, 22	eqtrd 2264	1 |- ( X e. V -> ( T ` M ) = X )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   0cc0 8032   1c1 8033   + caddc 8035   NNcn 9143   NN0cn0 9402  ..^cfzo 10377  ♯chash 11038  Word cword 11114   ++ cconcat 11168   <"cs1 11193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-1o 6582  df-er 6702  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-ihash 11039  df-word 11115  df-concat 11169  df-s1 11194

This theorem is referenced by: (None)