Theorem ccats1val2 11408

Description: Value of the symbol concatenated with a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Aug-2018.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 14-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ccats1val2	|- ( ( W e. Word V /\ S e. V /\ I = (♯ ` W ) ) -> ( ( W ++ <" S "> ) ` I ) = S )

Proof of Theorem ccats1val2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1028	. . 3 |- ( ( W e. Word V /\ S e. V /\ I = (♯ ` W ) ) -> W e. Word V )
2		s1cl 11389	. . . 4 |- ( S e. V -> <" S "> e. Word V )
3	2	3ad2ant2 1050	. . 3 |- ( ( W e. Word V /\ S e. V /\ I = (♯ ` W ) ) -> <" S "> e. Word V )
4		lencl 11308	. . . . . . 7 |- ( W e. Word V -> (♯ ` W ) e. NN0 )
5	4	nn0zd 9766	. . . . . 6 |- ( W e. Word V -> (♯ ` W ) e. ZZ )
6		elfzomin 10624	. . . . . 6 |- ( (♯ ` W ) e. ZZ -> (♯ ` W ) e. ( (♯ ` W )..^ ( (♯ ` W ) + 1 ) ) )
7	1, 5, 6	3syl 17	. . . . 5 |- ( ( W e. Word V /\ S e. V /\ I = (♯ ` W ) ) -> (♯ ` W ) e. ( (♯ ` W )..^ ( (♯ ` W ) + 1 ) ) )
8		s1leng 11392	. . . . . . . 8 |- ( S e. V -> (♯ ` <" S "> ) = 1 )
9	8	oveq2d 6101	. . . . . . 7 |- ( S e. V -> ( (♯ ` W ) + (♯ ` <" S "> ) ) = ( (♯ ` W ) + 1 ) )
10	9	oveq2d 6101	. . . . . 6 |- ( S e. V -> ( (♯ ` W )..^ ( (♯ ` W ) + (♯ ` <" S "> ) ) ) = ( (♯ ` W )..^ ( (♯ ` W ) + 1 ) ) )
11	10	3ad2ant2 1050	. . . . 5 |- ( ( W e. Word V /\ S e. V /\ I = (♯ ` W ) ) -> ( (♯ ` W )..^ ( (♯ ` W ) + (♯ ` <" S "> ) ) ) = ( (♯ ` W )..^ ( (♯ ` W ) + 1 ) ) )
12	7, 11	eleqtrrd 2318	. . . 4 |- ( ( W e. Word V /\ S e. V /\ I = (♯ ` W ) ) -> (♯ ` W ) e. ( (♯ ` W )..^ ( (♯ ` W ) + (♯ ` <" S "> ) ) ) )
13		eleq1 2301	. . . . 5 |- ( I = (♯ ` W ) -> ( I e. ( (♯ ` W )..^ ( (♯ ` W ) + (♯ ` <" S "> ) ) ) <-> (♯ ` W ) e. ( (♯ ` W )..^ ( (♯ ` W ) + (♯ ` <" S "> ) ) ) ) )
14	13	3ad2ant3 1051	. . . 4 |- ( ( W e. Word V /\ S e. V /\ I = (♯ ` W ) ) -> ( I e. ( (♯ ` W )..^ ( (♯ ` W ) + (♯ ` <" S "> ) ) ) <-> (♯ ` W ) e. ( (♯ ` W )..^ ( (♯ ` W ) + (♯ ` <" S "> ) ) ) ) )
15	12, 14	mpbird 167	. . 3 |- ( ( W e. Word V /\ S e. V /\ I = (♯ ` W ) ) -> I e. ( (♯ ` W )..^ ( (♯ ` W ) + (♯ ` <" S "> ) ) ) )
16		ccatval2 11366	. . 3 |- ( ( W e. Word V /\ <" S "> e. Word V /\ I e. ( (♯ ` W )..^ ( (♯ ` W ) + (♯ ` <" S "> ) ) ) ) -> ( ( W ++ <" S "> ) ` I ) = ( <" S "> ` ( I - (♯ ` W ) ) ) )
17	1, 3, 15, 16	syl3anc 1278	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ S e. V /\ I = (♯ ` W ) ) -> ( ( W ++ <" S "> ) ` I ) = ( <" S "> ` ( I - (♯ ` W ) ) ) )
18		oveq1 6092	. . . . 5 |- ( I = (♯ ` W ) -> ( I - (♯ ` W ) ) = ( (♯ ` W ) - (♯ ` W ) ) )
19	18	3ad2ant3 1051	. . . 4 |- ( ( W e. Word V /\ S e. V /\ I = (♯ ` W ) ) -> ( I - (♯ ` W ) ) = ( (♯ ` W ) - (♯ ` W ) ) )
20	4	nn0cnd 9622	. . . . . 6 |- ( W e. Word V -> (♯ ` W ) e. CC )
21	20	subidd 8625	. . . . 5 |- ( W e. Word V -> ( (♯ ` W ) - (♯ ` W ) ) = 0 )
22	21	3ad2ant1 1049	. . . 4 |- ( ( W e. Word V /\ S e. V /\ I = (♯ ` W ) ) -> ( (♯ ` W ) - (♯ ` W ) ) = 0 )
23	19, 22	eqtrd 2271	. . 3 |- ( ( W e. Word V /\ S e. V /\ I = (♯ ` W ) ) -> ( I - (♯ ` W ) ) = 0 )
24	23	fveq2d 5699	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ S e. V /\ I = (♯ ` W ) ) -> ( <" S "> ` ( I - (♯ ` W ) ) ) = ( <" S "> ` 0 ) )
25		s1fv 11394	. . 3 |- ( S e. V -> ( <" S "> ` 0 ) = S )
26	25	3ad2ant2 1050	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ S e. V /\ I = (♯ ` W ) ) -> ( <" S "> ` 0 ) = S )
27	17, 24, 26	3eqtrd 2275	1 |- ( ( W e. Word V /\ S e. V /\ I = (♯ ` W ) ) -> ( ( W ++ <" S "> ) ` I ) = S )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   0cc0 8179   1c1 8180   + caddc 8182   - cmin 8497   ZZcz 9644  ..^cfzo 10549  ♯chash 11214  Word cword 11304   ++ cconcat 11358   <"cs1 11383

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-ihash 11215  df-word 11305  df-concat 11359  df-s1 11384

This theorem is used by:  ccatws1ls  11410  ccatw2s1p1g  11413  ccatw2s1p2  11414