Theorem ccats1val2 11353

Description: Value of the symbol concatenated with a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Aug-2018.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 14-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ccats1val2	|- ( ( W e. Word V /\ S e. V /\ I = (♯ ` W ) ) -> ( ( W ++ <" S "> ) ` I ) = S )

Proof of Theorem ccats1val2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1024	. . 3 |- ( ( W e. Word V /\ S e. V /\ I = (♯ ` W ) ) -> W e. Word V )
2		s1cl 11334	. . . 4 |- ( S e. V -> <" S "> e. Word V )
3	2	3ad2ant2 1046	. . 3 |- ( ( W e. Word V /\ S e. V /\ I = (♯ ` W ) ) -> <" S "> e. Word V )
4		lencl 11253	. . . . . . 7 |- ( W e. Word V -> (♯ ` W ) e. NN0 )
5	4	nn0zd 9716	. . . . . 6 |- ( W e. Word V -> (♯ ` W ) e. ZZ )
6		elfzomin 10573	. . . . . 6 |- ( (♯ ` W ) e. ZZ -> (♯ ` W ) e. ( (♯ ` W )..^ ( (♯ ` W ) + 1 ) ) )
7	1, 5, 6	3syl 17	. . . . 5 |- ( ( W e. Word V /\ S e. V /\ I = (♯ ` W ) ) -> (♯ ` W ) e. ( (♯ ` W )..^ ( (♯ ` W ) + 1 ) ) )
8		s1leng 11337	. . . . . . . 8 |- ( S e. V -> (♯ ` <" S "> ) = 1 )
9	8	oveq2d 6074	. . . . . . 7 |- ( S e. V -> ( (♯ ` W ) + (♯ ` <" S "> ) ) = ( (♯ ` W ) + 1 ) )
10	9	oveq2d 6074	. . . . . 6 |- ( S e. V -> ( (♯ ` W )..^ ( (♯ ` W ) + (♯ ` <" S "> ) ) ) = ( (♯ ` W )..^ ( (♯ ` W ) + 1 ) ) )
11	10	3ad2ant2 1046	. . . . 5 |- ( ( W e. Word V /\ S e. V /\ I = (♯ ` W ) ) -> ( (♯ ` W )..^ ( (♯ ` W ) + (♯ ` <" S "> ) ) ) = ( (♯ ` W )..^ ( (♯ ` W ) + 1 ) ) )
12	7, 11	eleqtrrd 2314	. . . 4 |- ( ( W e. Word V /\ S e. V /\ I = (♯ ` W ) ) -> (♯ ` W ) e. ( (♯ ` W )..^ ( (♯ ` W ) + (♯ ` <" S "> ) ) ) )
13		eleq1 2297	. . . . 5 |- ( I = (♯ ` W ) -> ( I e. ( (♯ ` W )..^ ( (♯ ` W ) + (♯ ` <" S "> ) ) ) <-> (♯ ` W ) e. ( (♯ ` W )..^ ( (♯ ` W ) + (♯ ` <" S "> ) ) ) ) )
14	13	3ad2ant3 1047	. . . 4 |- ( ( W e. Word V /\ S e. V /\ I = (♯ ` W ) ) -> ( I e. ( (♯ ` W )..^ ( (♯ ` W ) + (♯ ` <" S "> ) ) ) <-> (♯ ` W ) e. ( (♯ ` W )..^ ( (♯ ` W ) + (♯ ` <" S "> ) ) ) ) )
15	12, 14	mpbird 167	. . 3 |- ( ( W e. Word V /\ S e. V /\ I = (♯ ` W ) ) -> I e. ( (♯ ` W )..^ ( (♯ ` W ) + (♯ ` <" S "> ) ) ) )
16		ccatval2 11311	. . 3 |- ( ( W e. Word V /\ <" S "> e. Word V /\ I e. ( (♯ ` W )..^ ( (♯ ` W ) + (♯ ` <" S "> ) ) ) ) -> ( ( W ++ <" S "> ) ` I ) = ( <" S "> ` ( I - (♯ ` W ) ) ) )
17	1, 3, 15, 16	syl3anc 1274	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ S e. V /\ I = (♯ ` W ) ) -> ( ( W ++ <" S "> ) ` I ) = ( <" S "> ` ( I - (♯ ` W ) ) ) )
18		oveq1 6065	. . . . 5 |- ( I = (♯ ` W ) -> ( I - (♯ ` W ) ) = ( (♯ ` W ) - (♯ ` W ) ) )
19	18	3ad2ant3 1047	. . . 4 |- ( ( W e. Word V /\ S e. V /\ I = (♯ ` W ) ) -> ( I - (♯ ` W ) ) = ( (♯ ` W ) - (♯ ` W ) ) )
20	4	nn0cnd 9572	. . . . . 6 |- ( W e. Word V -> (♯ ` W ) e. CC )
21	20	subidd 8588	. . . . 5 |- ( W e. Word V -> ( (♯ ` W ) - (♯ ` W ) ) = 0 )
22	21	3ad2ant1 1045	. . . 4 |- ( ( W e. Word V /\ S e. V /\ I = (♯ ` W ) ) -> ( (♯ ` W ) - (♯ ` W ) ) = 0 )
23	19, 22	eqtrd 2267	. . 3 |- ( ( W e. Word V /\ S e. V /\ I = (♯ ` W ) ) -> ( I - (♯ ` W ) ) = 0 )
24	23	fveq2d 5679	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ S e. V /\ I = (♯ ` W ) ) -> ( <" S "> ` ( I - (♯ ` W ) ) ) = ( <" S "> ` 0 ) )
25		s1fv 11339	. . 3 |- ( S e. V -> ( <" S "> ` 0 ) = S )
26	25	3ad2ant2 1046	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ S e. V /\ I = (♯ ` W ) ) -> ( <" S "> ` 0 ) = S )
27	17, 24, 26	3eqtrd 2271	1 |- ( ( W e. Word V /\ S e. V /\ I = (♯ ` W ) ) -> ( ( W ++ <" S "> ) ` I ) = S )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   - cmin 8460   ZZcz 9594  ..^cfzo 10498  ♯chash 11163  Word cword 11249   ++ cconcat 11303   <"cs1 11328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-ihash 11164  df-word 11250  df-concat 11304  df-s1 11329

This theorem is referenced by:  ccatws1ls  11355  ccatw2s1p1g  11358  ccatw2s1p2  11359