Theorem s2fv0g 11483

Description: Extract the first symbol from a doubleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
s2fv0g	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( <" A B "> ` 0 ) = A )

Proof of Theorem s2fv0g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s2 11452	. 2 |- <" A B "> = ( <" A "> ++ <" B "> )
2		s1cl 11313	. . . 4 |- ( A e. V -> <" A "> e. Word V )
3		wrdv 11244	. . . 4 |- ( <" A "> e. Word V -> <" A "> e. Word _V )
4	2, 3	syl 14	. . 3 |- ( A e. V -> <" A "> e. Word _V )
5	4	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> <" A "> e. Word _V )
6		s1leng 11316	. . 3 |- ( A e. V -> (♯ ` <" A "> ) = 1 )
7	6	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> (♯ ` <" A "> ) = 1 )
8		simpl 109	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> A e. V )
9		simpr 110	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> B e. W )
10		s1fv 11318	. . 3 |- ( A e. V -> ( <" A "> ` 0 ) = A )
11	10	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( <" A "> ` 0 ) = A )
12		0nn0 9513	. . 3 |- 0 e. NN0
13	12	a1i 9	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> 0 e. NN0 )
14		0lt1 8402	. . 3 |- 0 < 1
15	14	a1i 9	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> 0 < 1 )
16	1, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 15	cats1fvd 11462	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( <" A B "> ` 0 ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   class class class wbr 4111   ` cfv 5354   0cc0 8129   1c1 8130   < clt 8310   NN0cn0 9498  ♯chash 11142  Word cword 11228   <"cs1 11307   <"cs2 11445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-1o 6649  df-er 6769  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-fz 10346  df-fzo 10481  df-ihash 11143  df-word 11229  df-concat 11283  df-s1 11308  df-s2 11452

This theorem is referenced by:  s3fv0g  11487  s2elclwwlknon2  16448