Theorem konigsberglem1 16643

Description: Lemma 1 for konigsberg 16648: Vertex 0 has degree three. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) (Revised by AV, 4-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	|- V = ( 0 ... 3 )
konigsberg.e	|- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
konigsberg.g	|- G = <. V , E >.

Assertion

Ref	Expression
konigsberglem1	|- ( (VtxDeg ` G ) ` 0 ) = 3

Proof of Theorem konigsberglem1

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9634	. . . . . . 7 |- 0 e. ZZ
2		3z 9652	. . . . . . 7 |- 3 e. ZZ
3		fzfig 10845	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> ( 0 ... 3 ) e. Fin )
4	1, 2, 3	mp2an 430	. . . . . 6 |- ( 0 ... 3 ) e. Fin
5	4	elexi 2834	. . . . 5 |- ( 0 ... 3 ) e. _V
6		1zzd 9650	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
7		prexg 4344	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> { 0 , 1 } e. _V )
8	1, 6, 7	sylancr 418	. . . . . . . 8 |- ( T. -> { 0 , 1 } e. _V )
9	1	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> 0 e. ZZ )
10		2z 9651	. . . . . . . . 9 |- 2 e. ZZ
11		prexg 4344	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> { 0 , 2 } e. _V )
12	9, 10, 11	sylancl 417	. . . . . . . 8 |- ( T. -> { 0 , 2 } e. _V )
13		prexg 4344	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> { 0 , 3 } e. _V )
14	9, 2, 13	sylancl 417	. . . . . . . 8 |- ( T. -> { 0 , 3 } e. _V )
15		prexg 4344	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> { 1 , 2 } e. _V )
16	6, 10, 15	sylancl 417	. . . . . . . 8 |- ( T. -> { 1 , 2 } e. _V )
17	10	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> 2 e. ZZ )
18		prexg 4344	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> { 2 , 3 } e. _V )
19	17, 2, 18	sylancl 417	. . . . . . . 8 |- ( T. -> { 2 , 3 } e. _V )
20	8, 12, 14, 16, 16, 19	s6cld 11532	. . . . . . 7 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> e. Word _V )
21	20	mptru 1411	. . . . . 6 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> e. Word _V
22	21	elexi 2834	. . . . 5 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> e. _V
23	5, 22	opvtxfvi 16182	. . . 4 |- (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> >. ) = ( 0 ... 3 )
24	23	eqcomi 2242	. . 3 |- ( 0 ... 3 ) = (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> >. )
25		3nn0 9560	. . . . 5 |- 3 e. NN0
26		0elfz 10503	. . . . 5 |- ( 3 e. NN0 -> 0 e. ( 0 ... 3 ) )
27	25, 26	ax-mp 5	. . . 4 |- 0 e. ( 0 ... 3 )
28	27	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> 0 e. ( 0 ... 3 ) )
29	5, 22	opiedgfvi 16183	. . . 4 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> >. ) = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } ">
30	29	eqcomi 2242	. . 3 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> = (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> >. )
31	19	s1cld 11368	. . . . . 6 |- ( T. -> <" { 2 , 3 } "> e. Word _V )
32	31	mptru 1411	. . . . 5 |- <" { 2 , 3 } "> e. Word _V
33		df-s7 11511	. . . . 5 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> ++ <" { 2 , 3 } "> )
34		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( 0 ... 3 ) = ( 0 ... 3 )
35		eqid 2238	. . . . . 6 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
36		eqid 2238	. . . . . 6 |- <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> >. = <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> >.
37	34, 35, 36	konigsbergssiedgwen 16641	. . . . 5 |- ( ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> e. Word _V /\ <" { 2 , 3 } "> e. Word _V /\ <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> ++ <" { 2 , 3 } "> ) ) -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
38	21, 32, 33, 37	mp3an 1378	. . . 4 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) }
39	38	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
40	8, 12, 14, 16, 16	s5cld 11531	. . . . . . . 8 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> e. Word _V )
41	40	mptru 1411	. . . . . . 7 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> e. Word _V
42	41	elexi 2834	. . . . . 6 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> e. _V
43	5, 42	opvtxfvi 16182	. . . . 5 |- (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> >. ) = ( 0 ... 3 )
44	43	eqcomi 2242	. . . 4 |- ( 0 ... 3 ) = (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> >. )
45	5, 42	opiedgfvi 16183	. . . . 5 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> >. ) = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } ">
46	45	eqcomi 2242	. . . 4 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> = (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> >. )
47	19, 19	s2cld 11528	. . . . 5 |- ( T. -> <" { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V )
48	8, 12, 14, 16, 16, 19, 19	s5s2d 11555	. . . . 5 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> ) )
49	34, 35, 36	konigsbergssiedgwen 16641	. . . . 5 |- ( ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> e. Word _V /\ <" { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V /\ <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> ) ) -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
50	40, 47, 48, 49	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
51	8, 12, 14, 16	s4cld 11530	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> e. Word _V )
52	51	mptru 1411	. . . . . . . 8 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> e. Word _V
53	52	elexi 2834	. . . . . . 7 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> e. _V
54	5, 53	opvtxfvi 16182	. . . . . 6 |- (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> >. ) = ( 0 ... 3 )
55	54	eqcomi 2242	. . . . 5 |- ( 0 ... 3 ) = (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> >. )
56	5, 53	opiedgfvi 16183	. . . . . 6 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> >. ) = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } ">
57	56	eqcomi 2242	. . . . 5 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> = (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> >. )
58	16, 19, 19	s3cld 11529	. . . . . 6 |- ( T. -> <" { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V )
59	8, 12, 14, 16, 16, 19, 19	s4s3d 11552	. . . . . 6 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> ) )
60	34, 35, 36	konigsbergssiedgwen 16641	. . . . . 6 |- ( ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> e. Word _V /\ <" { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V /\ <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> ) ) -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
61	51, 58, 59, 60	syl3anc 1278	. . . . 5 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
62	8	mptru 1411	. . . . . . . . . 10 |- { 0 , 1 } e. _V
63	1, 10, 11	mp2an 430	. . . . . . . . . 10 |- { 0 , 2 } e. _V
64	1, 2, 13	mp2an 430	. . . . . . . . . 10 |- { 0 , 3 } e. _V
65		s3cl 11536	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { 0 , 1 } e. _V /\ { 0 , 2 } e. _V /\ { 0 , 3 } e. _V ) -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> e. Word _V )
66	62, 63, 64, 65	mp3an 1378	. . . . . . . . 9 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> e. Word _V
67	66	elexi 2834	. . . . . . . 8 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> e. _V
68	5, 67	opvtxfvi 16182	. . . . . . 7 |- (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> >. ) = ( 0 ... 3 )
69	68	eqcomi 2242	. . . . . 6 |- ( 0 ... 3 ) = (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> >. )
70	5, 67	opiedgfvi 16183	. . . . . . 7 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> >. ) = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } ">
71	70	eqcomi 2242	. . . . . 6 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> = (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> >. )
72	16, 16, 19, 19	s4cld 11530	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> <" { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V )
73	72	mptru 1411	. . . . . . . 8 |- <" { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V
74	8, 12, 14, 16, 16, 19, 19	s3s4d 11553	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> ++ <" { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> ) )
75	74	mptru 1411	. . . . . . . 8 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> ++ <" { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> )
76	34, 35, 36	konigsbergssiedgwen 16641	. . . . . . . 8 |- ( ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> e. Word _V /\ <" { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V /\ <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> ++ <" { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> ) ) -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
77	66, 73, 75, 76	mp3an 1378	. . . . . . 7 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) }
78	77	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
79		s2cl 11535	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { 0 , 1 } e. _V /\ { 0 , 2 } e. _V ) -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> e. Word _V )
80	62, 63, 79	mp2an 430	. . . . . . . . . . 11 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> e. Word _V
81	80	elexi 2834	. . . . . . . . . 10 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> e. _V
82	5, 81	opvtxfvi 16182	. . . . . . . . 9 |- (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> >. ) = ( 0 ... 3 )
83	82	eqcomi 2242	. . . . . . . 8 |- ( 0 ... 3 ) = (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> >. )
84	5, 81	opiedgfvi 16183	. . . . . . . . 9 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> >. ) = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } ">
85	84	eqcomi 2242	. . . . . . . 8 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> = (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> >. )
86		s1fv 11372	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { 0 , 1 } e. _V -> ( <" { 0 , 1 } "> ` 0 ) = { 0 , 1 } )
87	62, 86	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( <" { 0 , 1 } "> ` 0 ) = { 0 , 1 }
88		1nn 9294	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. NN
89		s1cl 11367	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { 0 , 1 } e. _V -> <" { 0 , 1 } "> e. Word _V )
90	62, 89	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- <" { 0 , 1 } "> e. Word _V
91	12, 14, 16, 16, 19, 19	s6cld 11532	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( T. -> <" { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V )
92	91	mptru 1411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- <" { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V
93	8, 12, 14, 16, 16, 19, 19	s1s6d 11548	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } "> ++ <" { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> ) )
94	93	mptru 1411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } "> ++ <" { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> )
95	34, 35, 36	konigsbergssiedgwen 16641	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( <" { 0 , 1 } "> e. Word _V /\ <" { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V /\ <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } "> ++ <" { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> ) ) -> <" { 0 , 1 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
96	90, 92, 94, 95	mp3an 1378	. . . . . . . . . . . . 13 |- <" { 0 , 1 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) }
97		s1leng 11370	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { 0 , 1 } e. _V -> (♯ ` <" { 0 , 1 } "> ) = 1 )
98	62, 97	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- (♯ ` <" { 0 , 1 } "> ) = 1
99	96, 98	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <" { 0 , 1 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } /\ (♯ ` <" { 0 , 1 } "> ) = 1 )
100		fstwrdne0 11322	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. NN /\ ( <" { 0 , 1 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } /\ (♯ ` <" { 0 , 1 } "> ) = 1 ) ) -> ( <" { 0 , 1 } "> ` 0 ) e. { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
101	88, 99, 100	mp2an 430	. . . . . . . . . . 11 |- ( <" { 0 , 1 } "> ` 0 ) e. { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) }
102	87, 101	eqeltrri 2312	. . . . . . . . . 10 |- { 0 , 1 } e. { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) }
103	102	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> { 0 , 1 } e. { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
104		2nn0 9559	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. NN0
105		2re 9353	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. RR
106		3re 9357	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 3 e. RR
107		2lt3 9454	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 < 3
108	105, 106, 107	ltleii 8418	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 <_ 3
109		elfz2nn0 10497	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 e. ( 0 ... 3 ) <-> ( 2 e. NN0 /\ 3 e. NN0 /\ 2 <_ 3 ) )
110	104, 25, 108, 109	mpbir3an 1210	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. ( 0 ... 3 )
111		prelpwi 4349	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. ( 0 ... 3 ) /\ 2 e. ( 0 ... 3 ) ) -> { 0 , 2 } e. ~P ( 0 ... 3 ) )
112	27, 110, 111	mp2an 430	. . . . . . . . . . 11 |- { 0 , 2 } e. ~P ( 0 ... 3 )
113		0ne2 9489	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 =/= 2
114		pr2ne 7528	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> ( { 0 , 2 } ~~ 2o <-> 0 =/= 2 ) )
115	1, 10, 114	mp2an 430	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { 0 , 2 } ~~ 2o <-> 0 =/= 2 )
116	113, 115	mpbir 146	. . . . . . . . . . . 12 |- { 0 , 2 } ~~ 2o
117	116	olci 744	. . . . . . . . . . 11 |- ( { 0 , 2 } ~~ 1o \/ { 0 , 2 } ~~ 2o )
118		breq1 4128	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = { 0 , 2 } -> ( x ~~ 1o <-> { 0 , 2 } ~~ 1o ) )
119		breq1 4128	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = { 0 , 2 } -> ( x ~~ 2o <-> { 0 , 2 } ~~ 2o ) )
120	118, 119	orbi12d 805	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = { 0 , 2 } -> ( ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) <-> ( { 0 , 2 } ~~ 1o \/ { 0 , 2 } ~~ 2o ) ) )
121	120	elrab 2982	. . . . . . . . . . 11 |- ( { 0 , 2 } e. { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } <-> ( { 0 , 2 } e. ~P ( 0 ... 3 ) /\ ( { 0 , 2 } ~~ 1o \/ { 0 , 2 } ~~ 2o ) ) )
122	112, 117, 121	mpbir2an 955	. . . . . . . . . 10 |- { 0 , 2 } e. { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) }
123	122	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> { 0 , 2 } e. { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
124	103, 123	s2cld 11528	. . . . . . . 8 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
125	90	elexi 2834	. . . . . . . . . . . 12 |- <" { 0 , 1 } "> e. _V
126	5, 125	opvtxfvi 16182	. . . . . . . . . . 11 |- (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } "> >. ) = ( 0 ... 3 )
127	126	eqcomi 2242	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 ... 3 ) = (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } "> >. )
128	5, 125	opiedgfvi 16183	. . . . . . . . . . 11 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } "> >. ) = <" { 0 , 1 } ">
129	128	eqcomi 2242	. . . . . . . . . 10 |- <" { 0 , 1 } "> = (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } "> >. )
130	96	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
131		0ex 4255	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (/) e. _V
132	5, 131	opvtxfvi 16182	. . . . . . . . . . . . 13 |- (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , (/) >. ) = ( 0 ... 3 )
133	132	eqcomi 2242	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 ... 3 ) = (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , (/) >. )
134	5, 131	opiedgfvi 16183	. . . . . . . . . . . . 13 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , (/) >. ) = (/)
135	134	eqcomi 2242	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) = (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , (/) >. )
136		wrd0 11307	. . . . . . . . . . . . 13 |- (/) e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) }
137	136	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> (/) e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
138		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (/) = (/)
139	138	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> (/) = (/) )
140	4	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> ( 0 ... 3 ) e. Fin )
141		upgr0eop 16277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 ... 3 ) e. Fin -> <. ( 0 ... 3 ) , (/) >. e. UPGraph )
142	4, 141	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- <. ( 0 ... 3 ) , (/) >. e. UPGraph
143	142	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> <. ( 0 ... 3 ) , (/) >. e. UPGraph )
144	133, 135, 28, 139, 140, 143	vtxdgfi0e 16450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , (/) >. ) ` 0 ) = 0 )
145	126	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } "> >. ) = ( 0 ... 3 ) )
146		1nn0 9558	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. NN0
147		1le3 9495	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 <_ 3
148		elfz2nn0 10497	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 e. ( 0 ... 3 ) <-> ( 1 e. NN0 /\ 3 e. NN0 /\ 1 <_ 3 ) )
149	146, 25, 147, 148	mpbir3an 1210	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. ( 0 ... 3 )
150	149	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> 1 e. ( 0 ... 3 ) )
151		1ne0 9351	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 =/= 0
152	151	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> 1 =/= 0 )
153		ccatlid 11352	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( <" { 0 , 1 } "> e. Word _V -> ( (/) ++ <" { 0 , 1 } "> ) = <" { 0 , 1 } "> )
154	90, 153	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (/) ++ <" { 0 , 1 } "> ) = <" { 0 , 1 } ">
155	128, 154	eqtr4i 2262	. . . . . . . . . . . . 13 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } "> >. ) = ( (/) ++ <" { 0 , 1 } "> )
156	155	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } "> >. ) = ( (/) ++ <" { 0 , 1 } "> ) )
157	133, 28, 135, 137, 144, 145, 140, 150, 152, 156	vdegp1bid 16470	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } "> >. ) ` 0 ) = ( 0 + 1 ) )
158		0p1e1 9397	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + 1 ) = 1
159	157, 158	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } "> >. ) ` 0 ) = 1 )
160	82	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> >. ) = ( 0 ... 3 ) )
161	110	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> 2 e. ( 0 ... 3 ) )
162		2ne0 9375	. . . . . . . . . . 11 |- 2 =/= 0
163	162	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> 2 =/= 0 )
164		df-s2 11506	. . . . . . . . . . . 12 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> = ( <" { 0 , 1 } "> ++ <" { 0 , 2 } "> )
165	84, 164	eqtri 2259	. . . . . . . . . . 11 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } "> ++ <" { 0 , 2 } "> )
166	165	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } "> ++ <" { 0 , 2 } "> ) )
167	127, 28, 129, 130, 159, 160, 140, 161, 163, 166	vdegp1bid 16470	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> >. ) ` 0 ) = ( 1 + 1 ) )
168		1p1e2 9400	. . . . . . . . 9 |- ( 1 + 1 ) = 2
169	167, 168	eqtrdi 2287	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> >. ) ` 0 ) = 2 )
170	68	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> >. ) = ( 0 ... 3 ) )
171		nn0fz0 10504	. . . . . . . . . 10 |- ( 3 e. NN0 <-> 3 e. ( 0 ... 3 ) )
172	25, 171	mpbi 145	. . . . . . . . 9 |- 3 e. ( 0 ... 3 )
173	172	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> 3 e. ( 0 ... 3 ) )
174		3ne0 9378	. . . . . . . . 9 |- 3 =/= 0
175	174	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> 3 =/= 0 )
176		df-s3 11507	. . . . . . . . . 10 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> ++ <" { 0 , 3 } "> )
177	70, 176	eqtri 2259	. . . . . . . . 9 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> ++ <" { 0 , 3 } "> )
178	177	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> ++ <" { 0 , 3 } "> ) )
179	83, 28, 85, 124, 169, 170, 140, 173, 175, 178	vdegp1bid 16470	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> >. ) ` 0 ) = ( 2 + 1 ) )
180		2p1e3 9417	. . . . . . 7 |- ( 2 + 1 ) = 3
181	179, 180	eqtrdi 2287	. . . . . 6 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> >. ) ` 0 ) = 3 )
182	54	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> >. ) = ( 0 ... 3 ) )
183		1ne2 9490	. . . . . . 7 |- 1 =/= 2
184	183	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> 1 =/= 2 )
185		df-s4 11508	. . . . . . . 8 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> ++ <" { 1 , 2 } "> )
186	56, 185	eqtri 2259	. . . . . . 7 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> ++ <" { 1 , 2 } "> )
187	186	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> ++ <" { 1 , 2 } "> ) )
188	69, 28, 71, 78, 181, 182, 140, 150, 152, 161, 163, 184, 187	vdegp1aid 16469	. . . . 5 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> >. ) ` 0 ) = 3 )
189	43	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> >. ) = ( 0 ... 3 ) )
190		df-s5 11509	. . . . . . 7 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 1 , 2 } "> )
191	45, 190	eqtri 2259	. . . . . 6 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 1 , 2 } "> )
192	191	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 1 , 2 } "> ) )
193	55, 28, 57, 61, 188, 189, 140, 150, 152, 161, 163, 184, 192	vdegp1aid 16469	. . . 4 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> >. ) ` 0 ) = 3 )
194	23	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> >. ) = ( 0 ... 3 ) )
195	105, 107	ltneii 8412	. . . . 5 |- 2 =/= 3
196	195	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> 2 =/= 3 )
197		df-s6 11510	. . . . . 6 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 2 , 3 } "> )
198	29, 197	eqtri 2259	. . . . 5 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 2 , 3 } "> )
199	198	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 2 , 3 } "> ) )
200	44, 28, 46, 50, 193, 194, 140, 161, 163, 173, 175, 196, 199	vdegp1aid 16469	. . 3 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> >. ) ` 0 ) = 3 )
201		konigsberg.v	. . . . 5 |- V = ( 0 ... 3 )
202		konigsberg.e	. . . . 5 |- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
203		konigsberg.g	. . . . 5 |- G = <. V , E >.
204	201, 202, 203	konigsbergvtx 16637	. . . 4 |- (Vtx ` G ) = ( 0 ... 3 )
205	204	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> (Vtx ` G ) = ( 0 ... 3 ) )
206	201, 202, 203	konigsbergiedg 16638	. . . . 5 |- (iEdg ` G ) = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
207	206, 33	eqtri 2259	. . . 4 |- (iEdg ` G ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> ++ <" { 2 , 3 } "> )
208	207	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> (iEdg ` G ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> ++ <" { 2 , 3 } "> ) )
209	24, 28, 30, 39, 200, 205, 140, 161, 163, 173, 175, 196, 208	vdegp1aid 16469	. 2 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` G ) ` 0 ) = 3 )
210	209	mptru 1411	1 |- ( (VtxDeg ` G ) ` 0 ) = 3

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   = wceq 1402   T. wtru 1403   e. wcel 2209   =/= wne 2420   {crab 2532   _Vcvv 2821   (/)c0 3520   ~Pcpw 3685   {cpr 3706   <.cop 3708   class class class wbr 4125   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   1oc1o 6670   2oc2o 6671   ~~ cen 7010   Fincfn 7012   0cc0 8169   1c1 8170   + caddc 8172   <_ cle 8351   NNcn 9283   2c2 9334   3c3 9335   NN0cn0 9542   ZZcz 9623   ...cfz 10390  ♯chash 11192  Word cword 11282   ++ cconcat 11336   <"cs1 11361   <"cs2 11499   <"cs3 11500   <"cs4 11501   <"cs5 11502   <"cs6 11503   <"cs7 11504  Vtxcvtx 16167  iEdgciedg 16168  UPGraphcupgr 16246  VtxDegcvtxdg 16441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-2o 6678  df-oadd 6681  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-9 9349  df-n0 9543  df-z 9624  df-dec 9757  df-uz 9901  df-xadd 10154  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-ihash 11193  df-word 11283  df-concat 11337  df-s1 11362  df-s2 11506  df-s3 11507  df-s4 11508  df-s5 11509  df-s6 11510  df-s7 11511  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-edgf 16160  df-vtx 16169  df-iedg 16170  df-upgren 16248  df-umgren 16249  df-vtxdg 16442

This theorem is referenced by:  konigsberglem4  16646