Theorem konigsberglem1 16358

Description: Lemma 1 for konigsberg 16363: Vertex 0 has degree three. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) (Revised by AV, 4-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	|- V = ( 0 ... 3 )
konigsberg.e	|- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
konigsberg.g	|- G = <. V , E >.

Assertion

Ref	Expression
konigsberglem1	|- ( (VtxDeg ` G ) ` 0 ) = 3

Proof of Theorem konigsberglem1

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9490	. . . . . . 7 |- 0 e. ZZ
2		3z 9508	. . . . . . 7 |- 3 e. ZZ
3		fzfig 10693	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> ( 0 ... 3 ) e. Fin )
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( 0 ... 3 ) e. Fin
5	4	elexi 2815	. . . . 5 |- ( 0 ... 3 ) e. _V
6		1zzd 9506	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
7		prexg 4301	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> { 0 , 1 } e. _V )
8	1, 6, 7	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( T. -> { 0 , 1 } e. _V )
9	1	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> 0 e. ZZ )
10		2z 9507	. . . . . . . . 9 |- 2 e. ZZ
11		prexg 4301	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> { 0 , 2 } e. _V )
12	9, 10, 11	sylancl 413	. . . . . . . 8 |- ( T. -> { 0 , 2 } e. _V )
13		prexg 4301	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> { 0 , 3 } e. _V )
14	9, 2, 13	sylancl 413	. . . . . . . 8 |- ( T. -> { 0 , 3 } e. _V )
15		prexg 4301	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> { 1 , 2 } e. _V )
16	6, 10, 15	sylancl 413	. . . . . . . 8 |- ( T. -> { 1 , 2 } e. _V )
17	10	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> 2 e. ZZ )
18		prexg 4301	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> { 2 , 3 } e. _V )
19	17, 2, 18	sylancl 413	. . . . . . . 8 |- ( T. -> { 2 , 3 } e. _V )
20	8, 12, 14, 16, 16, 19	s6cld 11367	. . . . . . 7 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> e. Word _V )
21	20	mptru 1406	. . . . . 6 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> e. Word _V
22	21	elexi 2815	. . . . 5 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> e. _V
23	5, 22	opvtxfvi 15897	. . . 4 |- (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> >. ) = ( 0 ... 3 )
24	23	eqcomi 2235	. . 3 |- ( 0 ... 3 ) = (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> >. )
25		3nn0 9420	. . . . 5 |- 3 e. NN0
26		0elfz 10353	. . . . 5 |- ( 3 e. NN0 -> 0 e. ( 0 ... 3 ) )
27	25, 26	ax-mp 5	. . . 4 |- 0 e. ( 0 ... 3 )
28	27	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> 0 e. ( 0 ... 3 ) )
29	5, 22	opiedgfvi 15898	. . . 4 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> >. ) = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } ">
30	29	eqcomi 2235	. . 3 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> = (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> >. )
31	19	s1cld 11203	. . . . . 6 |- ( T. -> <" { 2 , 3 } "> e. Word _V )
32	31	mptru 1406	. . . . 5 |- <" { 2 , 3 } "> e. Word _V
33		df-s7 11346	. . . . 5 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> ++ <" { 2 , 3 } "> )
34		eqid 2231	. . . . . 6 |- ( 0 ... 3 ) = ( 0 ... 3 )
35		eqid 2231	. . . . . 6 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
36		eqid 2231	. . . . . 6 |- <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> >. = <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> >.
37	34, 35, 36	konigsbergssiedgwen 16356	. . . . 5 |- ( ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> e. Word _V /\ <" { 2 , 3 } "> e. Word _V /\ <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> ++ <" { 2 , 3 } "> ) ) -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
38	21, 32, 33, 37	mp3an 1373	. . . 4 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) }
39	38	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
40	8, 12, 14, 16, 16	s5cld 11366	. . . . . . . 8 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> e. Word _V )
41	40	mptru 1406	. . . . . . 7 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> e. Word _V
42	41	elexi 2815	. . . . . 6 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> e. _V
43	5, 42	opvtxfvi 15897	. . . . 5 |- (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> >. ) = ( 0 ... 3 )
44	43	eqcomi 2235	. . . 4 |- ( 0 ... 3 ) = (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> >. )
45	5, 42	opiedgfvi 15898	. . . . 5 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> >. ) = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } ">
46	45	eqcomi 2235	. . . 4 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> = (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> >. )
47	19, 19	s2cld 11363	. . . . 5 |- ( T. -> <" { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V )
48	8, 12, 14, 16, 16, 19, 19	s5s2d 11390	. . . . 5 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> ) )
49	34, 35, 36	konigsbergssiedgwen 16356	. . . . 5 |- ( ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> e. Word _V /\ <" { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V /\ <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> ) ) -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
50	40, 47, 48, 49	syl3anc 1273	. . . 4 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
51	8, 12, 14, 16	s4cld 11365	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> e. Word _V )
52	51	mptru 1406	. . . . . . . 8 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> e. Word _V
53	52	elexi 2815	. . . . . . 7 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> e. _V
54	5, 53	opvtxfvi 15897	. . . . . 6 |- (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> >. ) = ( 0 ... 3 )
55	54	eqcomi 2235	. . . . 5 |- ( 0 ... 3 ) = (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> >. )
56	5, 53	opiedgfvi 15898	. . . . . 6 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> >. ) = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } ">
57	56	eqcomi 2235	. . . . 5 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> = (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> >. )
58	16, 19, 19	s3cld 11364	. . . . . 6 |- ( T. -> <" { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V )
59	8, 12, 14, 16, 16, 19, 19	s4s3d 11387	. . . . . 6 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> ) )
60	34, 35, 36	konigsbergssiedgwen 16356	. . . . . 6 |- ( ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> e. Word _V /\ <" { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V /\ <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> ) ) -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
61	51, 58, 59, 60	syl3anc 1273	. . . . 5 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
62	8	mptru 1406	. . . . . . . . . 10 |- { 0 , 1 } e. _V
63	1, 10, 11	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 |- { 0 , 2 } e. _V
64	1, 2, 13	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 |- { 0 , 3 } e. _V
65		s3cl 11371	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { 0 , 1 } e. _V /\ { 0 , 2 } e. _V /\ { 0 , 3 } e. _V ) -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> e. Word _V )
66	62, 63, 64, 65	mp3an 1373	. . . . . . . . 9 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> e. Word _V
67	66	elexi 2815	. . . . . . . 8 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> e. _V
68	5, 67	opvtxfvi 15897	. . . . . . 7 |- (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> >. ) = ( 0 ... 3 )
69	68	eqcomi 2235	. . . . . 6 |- ( 0 ... 3 ) = (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> >. )
70	5, 67	opiedgfvi 15898	. . . . . . 7 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> >. ) = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } ">
71	70	eqcomi 2235	. . . . . 6 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> = (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> >. )
72	16, 16, 19, 19	s4cld 11365	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> <" { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V )
73	72	mptru 1406	. . . . . . . 8 |- <" { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V
74	8, 12, 14, 16, 16, 19, 19	s3s4d 11388	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> ++ <" { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> ) )
75	74	mptru 1406	. . . . . . . 8 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> ++ <" { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> )
76	34, 35, 36	konigsbergssiedgwen 16356	. . . . . . . 8 |- ( ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> e. Word _V /\ <" { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V /\ <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> ++ <" { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> ) ) -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
77	66, 73, 75, 76	mp3an 1373	. . . . . . 7 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) }
78	77	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
79		s2cl 11370	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { 0 , 1 } e. _V /\ { 0 , 2 } e. _V ) -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> e. Word _V )
80	62, 63, 79	mp2an 426	. . . . . . . . . . 11 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> e. Word _V
81	80	elexi 2815	. . . . . . . . . 10 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> e. _V
82	5, 81	opvtxfvi 15897	. . . . . . . . 9 |- (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> >. ) = ( 0 ... 3 )
83	82	eqcomi 2235	. . . . . . . 8 |- ( 0 ... 3 ) = (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> >. )
84	5, 81	opiedgfvi 15898	. . . . . . . . 9 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> >. ) = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } ">
85	84	eqcomi 2235	. . . . . . . 8 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> = (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> >. )
86		s1fv 11207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { 0 , 1 } e. _V -> ( <" { 0 , 1 } "> ` 0 ) = { 0 , 1 } )
87	62, 86	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( <" { 0 , 1 } "> ` 0 ) = { 0 , 1 }
88		1nn 9154	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. NN
89		s1cl 11202	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { 0 , 1 } e. _V -> <" { 0 , 1 } "> e. Word _V )
90	62, 89	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- <" { 0 , 1 } "> e. Word _V
91	12, 14, 16, 16, 19, 19	s6cld 11367	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( T. -> <" { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V )
92	91	mptru 1406	. . . . . . . . . . . . . 14 |- <" { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V
93	8, 12, 14, 16, 16, 19, 19	s1s6d 11383	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } "> ++ <" { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> ) )
94	93	mptru 1406	. . . . . . . . . . . . . 14 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } "> ++ <" { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> )
95	34, 35, 36	konigsbergssiedgwen 16356	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( <" { 0 , 1 } "> e. Word _V /\ <" { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V /\ <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } "> ++ <" { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> ) ) -> <" { 0 , 1 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
96	90, 92, 94, 95	mp3an 1373	. . . . . . . . . . . . 13 |- <" { 0 , 1 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) }
97		s1leng 11205	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { 0 , 1 } e. _V -> (♯ ` <" { 0 , 1 } "> ) = 1 )
98	62, 97	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- (♯ ` <" { 0 , 1 } "> ) = 1
99	96, 98	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <" { 0 , 1 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } /\ (♯ ` <" { 0 , 1 } "> ) = 1 )
100		fstwrdne0 11157	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. NN /\ ( <" { 0 , 1 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } /\ (♯ ` <" { 0 , 1 } "> ) = 1 ) ) -> ( <" { 0 , 1 } "> ` 0 ) e. { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
101	88, 99, 100	mp2an 426	. . . . . . . . . . 11 |- ( <" { 0 , 1 } "> ` 0 ) e. { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) }
102	87, 101	eqeltrri 2305	. . . . . . . . . 10 |- { 0 , 1 } e. { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) }
103	102	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> { 0 , 1 } e. { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
104		2nn0 9419	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. NN0
105		2re 9213	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. RR
106		3re 9217	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 3 e. RR
107		2lt3 9314	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 < 3
108	105, 106, 107	ltleii 8282	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 <_ 3
109		elfz2nn0 10347	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 e. ( 0 ... 3 ) <-> ( 2 e. NN0 /\ 3 e. NN0 /\ 2 <_ 3 ) )
110	104, 25, 108, 109	mpbir3an 1205	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. ( 0 ... 3 )
111		prelpwi 4306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. ( 0 ... 3 ) /\ 2 e. ( 0 ... 3 ) ) -> { 0 , 2 } e. ~P ( 0 ... 3 ) )
112	27, 110, 111	mp2an 426	. . . . . . . . . . 11 |- { 0 , 2 } e. ~P ( 0 ... 3 )
113		0ne2 9349	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 =/= 2
114		pr2ne 7397	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> ( { 0 , 2 } ~~ 2o <-> 0 =/= 2 ) )
115	1, 10, 114	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { 0 , 2 } ~~ 2o <-> 0 =/= 2 )
116	113, 115	mpbir 146	. . . . . . . . . . . 12 |- { 0 , 2 } ~~ 2o
117	116	olci 739	. . . . . . . . . . 11 |- ( { 0 , 2 } ~~ 1o \/ { 0 , 2 } ~~ 2o )
118		breq1 4091	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = { 0 , 2 } -> ( x ~~ 1o <-> { 0 , 2 } ~~ 1o ) )
119		breq1 4091	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = { 0 , 2 } -> ( x ~~ 2o <-> { 0 , 2 } ~~ 2o ) )
120	118, 119	orbi12d 800	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = { 0 , 2 } -> ( ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) <-> ( { 0 , 2 } ~~ 1o \/ { 0 , 2 } ~~ 2o ) ) )
121	120	elrab 2962	. . . . . . . . . . 11 |- ( { 0 , 2 } e. { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } <-> ( { 0 , 2 } e. ~P ( 0 ... 3 ) /\ ( { 0 , 2 } ~~ 1o \/ { 0 , 2 } ~~ 2o ) ) )
122	112, 117, 121	mpbir2an 950	. . . . . . . . . 10 |- { 0 , 2 } e. { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) }
123	122	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> { 0 , 2 } e. { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
124	103, 123	s2cld 11363	. . . . . . . 8 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
125	90	elexi 2815	. . . . . . . . . . . 12 |- <" { 0 , 1 } "> e. _V
126	5, 125	opvtxfvi 15897	. . . . . . . . . . 11 |- (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } "> >. ) = ( 0 ... 3 )
127	126	eqcomi 2235	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 ... 3 ) = (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } "> >. )
128	5, 125	opiedgfvi 15898	. . . . . . . . . . 11 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } "> >. ) = <" { 0 , 1 } ">
129	128	eqcomi 2235	. . . . . . . . . 10 |- <" { 0 , 1 } "> = (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } "> >. )
130	96	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
131		0ex 4216	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (/) e. _V
132	5, 131	opvtxfvi 15897	. . . . . . . . . . . . 13 |- (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , (/) >. ) = ( 0 ... 3 )
133	132	eqcomi 2235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 ... 3 ) = (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , (/) >. )
134	5, 131	opiedgfvi 15898	. . . . . . . . . . . . 13 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , (/) >. ) = (/)
135	134	eqcomi 2235	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) = (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , (/) >. )
136		wrd0 11142	. . . . . . . . . . . . 13 |- (/) e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) }
137	136	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> (/) e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
138		eqid 2231	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (/) = (/)
139	138	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> (/) = (/) )
140	4	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> ( 0 ... 3 ) e. Fin )
141		upgr0eop 15992	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 ... 3 ) e. Fin -> <. ( 0 ... 3 ) , (/) >. e. UPGraph )
142	4, 141	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- <. ( 0 ... 3 ) , (/) >. e. UPGraph
143	142	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> <. ( 0 ... 3 ) , (/) >. e. UPGraph )
144	133, 135, 28, 139, 140, 143	vtxdgfi0e 16165	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , (/) >. ) ` 0 ) = 0 )
145	126	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } "> >. ) = ( 0 ... 3 ) )
146		1nn0 9418	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. NN0
147		1le3 9355	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 <_ 3
148		elfz2nn0 10347	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 e. ( 0 ... 3 ) <-> ( 1 e. NN0 /\ 3 e. NN0 /\ 1 <_ 3 ) )
149	146, 25, 147, 148	mpbir3an 1205	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. ( 0 ... 3 )
150	149	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> 1 e. ( 0 ... 3 ) )
151		1ne0 9211	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 =/= 0
152	151	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> 1 =/= 0 )
153		ccatlid 11187	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( <" { 0 , 1 } "> e. Word _V -> ( (/) ++ <" { 0 , 1 } "> ) = <" { 0 , 1 } "> )
154	90, 153	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (/) ++ <" { 0 , 1 } "> ) = <" { 0 , 1 } ">
155	128, 154	eqtr4i 2255	. . . . . . . . . . . . 13 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } "> >. ) = ( (/) ++ <" { 0 , 1 } "> )
156	155	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } "> >. ) = ( (/) ++ <" { 0 , 1 } "> ) )
157	133, 28, 135, 137, 144, 145, 140, 150, 152, 156	vdegp1bid 16185	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } "> >. ) ` 0 ) = ( 0 + 1 ) )
158		0p1e1 9257	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + 1 ) = 1
159	157, 158	eqtrdi 2280	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } "> >. ) ` 0 ) = 1 )
160	82	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> >. ) = ( 0 ... 3 ) )
161	110	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> 2 e. ( 0 ... 3 ) )
162		2ne0 9235	. . . . . . . . . . 11 |- 2 =/= 0
163	162	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> 2 =/= 0 )
164		df-s2 11341	. . . . . . . . . . . 12 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> = ( <" { 0 , 1 } "> ++ <" { 0 , 2 } "> )
165	84, 164	eqtri 2252	. . . . . . . . . . 11 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } "> ++ <" { 0 , 2 } "> )
166	165	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } "> ++ <" { 0 , 2 } "> ) )
167	127, 28, 129, 130, 159, 160, 140, 161, 163, 166	vdegp1bid 16185	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> >. ) ` 0 ) = ( 1 + 1 ) )
168		1p1e2 9260	. . . . . . . . 9 |- ( 1 + 1 ) = 2
169	167, 168	eqtrdi 2280	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> >. ) ` 0 ) = 2 )
170	68	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> >. ) = ( 0 ... 3 ) )
171		nn0fz0 10354	. . . . . . . . . 10 |- ( 3 e. NN0 <-> 3 e. ( 0 ... 3 ) )
172	25, 171	mpbi 145	. . . . . . . . 9 |- 3 e. ( 0 ... 3 )
173	172	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> 3 e. ( 0 ... 3 ) )
174		3ne0 9238	. . . . . . . . 9 |- 3 =/= 0
175	174	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> 3 =/= 0 )
176		df-s3 11342	. . . . . . . . . 10 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> ++ <" { 0 , 3 } "> )
177	70, 176	eqtri 2252	. . . . . . . . 9 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> ++ <" { 0 , 3 } "> )
178	177	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> ++ <" { 0 , 3 } "> ) )
179	83, 28, 85, 124, 169, 170, 140, 173, 175, 178	vdegp1bid 16185	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> >. ) ` 0 ) = ( 2 + 1 ) )
180		2p1e3 9277	. . . . . . 7 |- ( 2 + 1 ) = 3
181	179, 180	eqtrdi 2280	. . . . . 6 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> >. ) ` 0 ) = 3 )
182	54	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> >. ) = ( 0 ... 3 ) )
183		1ne2 9350	. . . . . . 7 |- 1 =/= 2
184	183	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> 1 =/= 2 )
185		df-s4 11343	. . . . . . . 8 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> ++ <" { 1 , 2 } "> )
186	56, 185	eqtri 2252	. . . . . . 7 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> ++ <" { 1 , 2 } "> )
187	186	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> ++ <" { 1 , 2 } "> ) )
188	69, 28, 71, 78, 181, 182, 140, 150, 152, 161, 163, 184, 187	vdegp1aid 16184	. . . . 5 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> >. ) ` 0 ) = 3 )
189	43	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> >. ) = ( 0 ... 3 ) )
190		df-s5 11344	. . . . . . 7 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 1 , 2 } "> )
191	45, 190	eqtri 2252	. . . . . 6 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 1 , 2 } "> )
192	191	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 1 , 2 } "> ) )
193	55, 28, 57, 61, 188, 189, 140, 150, 152, 161, 163, 184, 192	vdegp1aid 16184	. . . 4 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> >. ) ` 0 ) = 3 )
194	23	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> >. ) = ( 0 ... 3 ) )
195	105, 107	ltneii 8276	. . . . 5 |- 2 =/= 3
196	195	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> 2 =/= 3 )
197		df-s6 11345	. . . . . 6 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 2 , 3 } "> )
198	29, 197	eqtri 2252	. . . . 5 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 2 , 3 } "> )
199	198	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 2 , 3 } "> ) )
200	44, 28, 46, 50, 193, 194, 140, 161, 163, 173, 175, 196, 199	vdegp1aid 16184	. . 3 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> >. ) ` 0 ) = 3 )
201		konigsberg.v	. . . . 5 |- V = ( 0 ... 3 )
202		konigsberg.e	. . . . 5 |- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
203		konigsberg.g	. . . . 5 |- G = <. V , E >.
204	201, 202, 203	konigsbergvtx 16352	. . . 4 |- (Vtx ` G ) = ( 0 ... 3 )
205	204	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> (Vtx ` G ) = ( 0 ... 3 ) )
206	201, 202, 203	konigsbergiedg 16353	. . . . 5 |- (iEdg ` G ) = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
207	206, 33	eqtri 2252	. . . 4 |- (iEdg ` G ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> ++ <" { 2 , 3 } "> )
208	207	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> (iEdg ` G ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> ++ <" { 2 , 3 } "> ) )
209	24, 28, 30, 39, 200, 205, 140, 161, 163, 173, 175, 196, 208	vdegp1aid 16184	. 2 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` G ) ` 0 ) = 3 )
210	209	mptru 1406	1 |- ( (VtxDeg ` G ) ` 0 ) = 3

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715   = wceq 1397   T. wtru 1398   e. wcel 2202   =/= wne 2402   {crab 2514   _Vcvv 2802   (/)c0 3494   ~Pcpw 3652   {cpr 3670   <.cop 3672   class class class wbr 4088   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   1oc1o 6575   2oc2o 6576   ~~ cen 6907   Fincfn 6909   0cc0 8032   1c1 8033   + caddc 8035   <_ cle 8215   NNcn 9143   2c2 9194   3c3 9195   NN0cn0 9402   ZZcz 9479   ...cfz 10243  ♯chash 11038  Word cword 11117   ++ cconcat 11171   <"cs1 11196   <"cs2 11334   <"cs3 11335   <"cs4 11336   <"cs5 11337   <"cs6 11338   <"cs7 11339  Vtxcvtx 15882  iEdgciedg 15883  UPGraphcupgr 15961  VtxDegcvtxdg 16156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-frec 6557  df-1o 6582  df-2o 6583  df-oadd 6586  df-er 6702  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-dec 9612  df-uz 9756  df-xadd 10008  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-ihash 11039  df-word 11118  df-concat 11172  df-s1 11197  df-s2 11341  df-s3 11342  df-s4 11343  df-s5 11344  df-s6 11345  df-s7 11346  df-ndx 13103  df-slot 13104  df-base 13106  df-edgf 15875  df-vtx 15884  df-iedg 15885  df-upgren 15963  df-umgren 15964  df-vtxdg 16157

This theorem is referenced by:  konigsberglem4  16361