Theorem cats1fvnd 11461

Description: The last symbol of a concatenation with a singleton word. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 20-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
cats1cld.1	|- T = ( S ++ <" X "> )
cats1fvnd.2	|- ( ph -> S e. Word _V )
cats1fvnd.x	|- ( ph -> X e. V )
cats1fvnd.3	|- ( ph -> (♯ ` S ) = M )

Assertion

Ref	Expression
cats1fvnd	|- ( ph -> ( T ` M ) = X )

Proof of Theorem cats1fvnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cats1cld.1	. . . 4 |- T = ( S ++ <" X "> )
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> T = ( S ++ <" X "> ) )
3		cats1fvnd.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> S e. Word _V )
4		lencl 11232	. . . . . . 7 |- ( S e. Word _V -> (♯ ` S ) e. NN0 )
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> (♯ ` S ) e. NN0 )
6	5	nn0cnd 9557	. . . . 5 |- ( ph -> (♯ ` S ) e. CC )
7	6	addlidd 8425	. . . 4 |- ( ph -> ( 0 + (♯ ` S ) ) = (♯ ` S ) )
8		cats1fvnd.3	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` S ) = M )
9	7, 8	eqtr2d 2268	. . 3 |- ( ph -> M = ( 0 + (♯ ` S ) ) )
10	2, 9	fveq12d 5679	. 2 |- ( ph -> ( T ` M ) = ( ( S ++ <" X "> ) ` ( 0 + (♯ ` S ) ) ) )
11		cats1fvnd.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. V )
12		elex 2827	. . . . 5 |- ( X e. V -> X e. _V )
13	12	s1cld 11314	. . . 4 |- ( X e. V -> <" X "> e. Word _V )
14	11, 13	syl 14	. . 3 |- ( ph -> <" X "> e. Word _V )
15		s1leng 11316	. . . . . 6 |- ( X e. V -> (♯ ` <" X "> ) = 1 )
16		1nn 9250	. . . . . 6 |- 1 e. NN
17	15, 16	eqeltrdi 2325	. . . . 5 |- ( X e. V -> (♯ ` <" X "> ) e. NN )
18		lbfzo0 10523	. . . . 5 |- ( 0 e. ( 0..^ (♯ ` <" X "> ) ) <-> (♯ ` <" X "> ) e. NN )
19	17, 18	sylibr 134	. . . 4 |- ( X e. V -> 0 e. ( 0..^ (♯ ` <" X "> ) ) )
20	11, 19	syl 14	. . 3 |- ( ph -> 0 e. ( 0..^ (♯ ` <" X "> ) ) )
21		ccatval3 11291	. . 3 |- ( ( S e. Word _V /\ <" X "> e. Word _V /\ 0 e. ( 0..^ (♯ ` <" X "> ) ) ) -> ( ( S ++ <" X "> ) ` ( 0 + (♯ ` S ) ) ) = ( <" X "> ` 0 ) )
22	3, 14, 20, 21	syl3anc 1274	. 2 |- ( ph -> ( ( S ++ <" X "> ) ` ( 0 + (♯ ` S ) ) ) = ( <" X "> ` 0 ) )
23		s1fv 11318	. . 3 |- ( X e. V -> ( <" X "> ` 0 ) = X )
24	11, 23	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( <" X "> ` 0 ) = X )
25	10, 22, 24	3eqtrd 2271	1 |- ( ph -> ( T ` M ) = X )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   0cc0 8129   1c1 8130   + caddc 8132   NNcn 9239   NN0cn0 9498  ..^cfzo 10480  ♯chash 11142  Word cword 11228   ++ cconcat 11282   <"cs1 11307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-1o 6649  df-er 6769  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-fz 10346  df-fzo 10481  df-ihash 11143  df-word 11229  df-concat 11283  df-s1 11308

This theorem is referenced by:  s2fv1g  11484  s3fv2g  11489