Theorem sqrt0 11400

Description: Square root of zero. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sqrt0	|- ( sqr ` 0 ) = 0

Proof of Theorem sqrt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8102	. . 3 |- 0 e. RR
2		sqrtrval 11396	. . 3 |- ( 0 e. RR -> ( sqr ` 0 ) = ( iota_ x e. RR ( ( x ^ 2 ) = 0 /\ 0 <_ x ) ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- ( sqr ` 0 ) = ( iota_ x e. RR ( ( x ^ 2 ) = 0 /\ 0 <_ x ) )
4		id 19	. . . 4 |- ( 0 e. RR -> 0 e. RR )
5		sqrt0rlem 11399	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR /\ ( ( x ^ 2 ) = 0 /\ 0 <_ x ) ) <-> x = 0 )
6	5	biimpi 120	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ ( ( x ^ 2 ) = 0 /\ 0 <_ x ) ) -> x = 0 )
7	6	ex 115	. . . . . 6 |- ( x e. RR -> ( ( ( x ^ 2 ) = 0 /\ 0 <_ x ) -> x = 0 ) )
8		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ ( ( x ^ 2 ) = 0 /\ 0 <_ x ) ) -> ( ( x ^ 2 ) = 0 /\ 0 <_ x ) )
9	5, 8	sylbir 135	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( ( x ^ 2 ) = 0 /\ 0 <_ x ) )
10	7, 9	impbid1 142	. . . . 5 |- ( x e. RR -> ( ( ( x ^ 2 ) = 0 /\ 0 <_ x ) <-> x = 0 ) )
11	10	adantl 277	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( ( x ^ 2 ) = 0 /\ 0 <_ x ) <-> x = 0 ) )
12	4, 11	riota5 5943	. . 3 |- ( 0 e. RR -> ( iota_ x e. RR ( ( x ^ 2 ) = 0 /\ 0 <_ x ) ) = 0 )
13	1, 12	ax-mp 5	. 2 |- ( iota_ x e. RR ( ( x ^ 2 ) = 0 /\ 0 <_ x ) ) = 0
14	3, 13	eqtri 2227	1 |- ( sqr ` 0 ) = 0

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2177   class class class wbr 4054   ` cfv 5285   iota_crio 5916  (class class class)co 5962   RRcr 7954   0cc0 7955   <_ cle 8138   2c2 9117   ^cexp 10715   sqrcsqrt 11392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4170  ax-sep 4173  ax-nul 4181  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-iinf 4649  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-mulrcl 8054  ax-addcom 8055  ax-mulcom 8056  ax-addass 8057  ax-mulass 8058  ax-distr 8059  ax-i2m1 8060  ax-0lt1 8061  ax-1rid 8062  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-precex 8065  ax-cnre 8066  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-ltwlin 8068  ax-pre-lttrn 8069  ax-pre-apti 8070  ax-pre-ltadd 8071  ax-pre-mulgt0 8072  ax-pre-mulext 8073

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-tr 4154  df-id 4353  df-po 4356  df-iso 4357  df-iord 4426  df-on 4428  df-ilim 4429  df-suc 4431  df-iom 4652  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-recs 6409  df-frec 6495  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141  df-ltxr 8142  df-le 8143  df-sub 8275  df-neg 8276  df-reap 8678  df-ap 8685  df-div 8776  df-inn 9067  df-2 9125  df-n0 9326  df-z 9403  df-uz 9679  df-seqfrec 10625  df-exp 10716  df-rsqrt 11394

This theorem is referenced by:  sqrt00  11436  abs0  11454  abs00ap  11458