Theorem rersqrtthlem 11059

Description: Lemma for resqrtth 11060. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
rersqrtthlem	|- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( sqr ` A ) ) )

Proof of Theorem rersqrtthlem

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrtrval 11029	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( sqr ` A ) = ( iota_ x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) ) )
2	1	eqcomd 2195	. . 3 |- ( A e. RR -> ( iota_ x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) ) = ( sqr ` A ) )
3	2	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( iota_ x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) ) = ( sqr ` A ) )
4		resqrtcl 11058	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( sqr ` A ) e. RR )
5		rersqreu 11057	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> E! x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) )
6		oveq1 5899	. . . . . 6 |- ( x = ( sqr ` A ) -> ( x ^ 2 ) = ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) )
7	6	eqeq1d 2198	. . . . 5 |- ( x = ( sqr ` A ) -> ( ( x ^ 2 ) = A <-> ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) = A ) )
8		breq2 4022	. . . . 5 |- ( x = ( sqr ` A ) -> ( 0 <_ x <-> 0 <_ ( sqr ` A ) ) )
9	7, 8	anbi12d 473	. . . 4 |- ( x = ( sqr ` A ) -> ( ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) <-> ( ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( sqr ` A ) ) ) )
10	9	riota2 5870	. . 3 |- ( ( ( sqr ` A ) e. RR /\ E! x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) ) -> ( ( ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( sqr ` A ) ) <-> ( iota_ x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) ) = ( sqr ` A ) ) )
11	4, 5, 10	syl2anc 411	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( ( ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( sqr ` A ) ) <-> ( iota_ x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) ) = ( sqr ` A ) ) )
12	3, 11	mpbird 167	1 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( sqr ` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2160   E!wreu 2470   class class class wbr 4018   ` cfv 5232   iota_crio 5847  (class class class)co 5892   RRcr 7830   0cc0 7831   <_ cle 8013   2c2 8990   ^cexp 10539   sqrcsqrt 11025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7922  ax-resscn 7923  ax-1cn 7924  ax-1re 7925  ax-icn 7926  ax-addcl 7927  ax-addrcl 7928  ax-mulcl 7929  ax-mulrcl 7930  ax-addcom 7931  ax-mulcom 7932  ax-addass 7933  ax-mulass 7934  ax-distr 7935  ax-i2m1 7936  ax-0lt1 7937  ax-1rid 7938  ax-0id 7939  ax-rnegex 7940  ax-precex 7941  ax-cnre 7942  ax-pre-ltirr 7943  ax-pre-ltwlin 7944  ax-pre-lttrn 7945  ax-pre-apti 7946  ax-pre-ltadd 7947  ax-pre-mulgt0 7948  ax-pre-mulext 7949  ax-arch 7950  ax-caucvg 7951

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-1st 6160  df-2nd 6161  df-recs 6325  df-frec 6411  df-pnf 8014  df-mnf 8015  df-xr 8016  df-ltxr 8017  df-le 8018  df-sub 8150  df-neg 8151  df-reap 8552  df-ap 8559  df-div 8650  df-inn 8940  df-2 8998  df-3 8999  df-4 9000  df-n0 9197  df-z 9274  df-uz 9549  df-rp 9674  df-seqfrec 10466  df-exp 10540  df-rsqrt 11027

This theorem is referenced by:  resqrtth  11060  sqrtge0  11062