Theorem resqrtcl 10906

Description: Closure of the square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
resqrtcl	|- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( sqr ` A ) e. RR )

Proof of Theorem resqrtcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrex 10903	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> E. y e. RR ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) )
2		simp1l 1006	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ y e. RR /\ ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) ) -> A e. RR )
3		sqrtrval 10877	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( sqr ` A ) = ( iota_ x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) ) )
4	2, 3	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ y e. RR /\ ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) ) -> ( sqr ` A ) = ( iota_ x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) ) )
5		simp3r 1011	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ y e. RR /\ ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) ) -> ( y ^ 2 ) = A )
6		simp3l 1010	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ y e. RR /\ ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) ) -> 0 <_ y )
7		simp2 983	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ y e. RR /\ ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) ) -> y e. RR )
8		rersqreu 10905	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> E! x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) )
9	8	3ad2ant1 1003	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ y e. RR /\ ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) ) -> E! x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) )
10		oveq1 5821	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( x ^ 2 ) = ( y ^ 2 ) )
11	10	eqeq1d 2163	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( x ^ 2 ) = A <-> ( y ^ 2 ) = A ) )
12		breq2 3965	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( 0 <_ x <-> 0 <_ y ) )
13	11, 12	anbi12d 465	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) <-> ( ( y ^ 2 ) = A /\ 0 <_ y ) ) )
14	13	riota2 5792	. . . . . . 7 |- ( ( y e. RR /\ E! x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) ) -> ( ( ( y ^ 2 ) = A /\ 0 <_ y ) <-> ( iota_ x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) ) = y ) )
15	7, 9, 14	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ y e. RR /\ ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) ) -> ( ( ( y ^ 2 ) = A /\ 0 <_ y ) <-> ( iota_ x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) ) = y ) )
16	5, 6, 15	mpbi2and 928	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ y e. RR /\ ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) ) -> ( iota_ x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) ) = y )
17	4, 16	eqtrd 2187	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ y e. RR /\ ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) ) -> ( sqr ` A ) = y )
18	17, 7	eqeltrd 2231	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ y e. RR /\ ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) ) -> ( sqr ` A ) e. RR )
19	18	rexlimdv3a 2573	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( E. y e. RR ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) -> ( sqr ` A ) e. RR ) )
20	1, 19	mpd 13	1 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( sqr ` A ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 2125   E.wrex 2433   E!wreu 2434   class class class wbr 3961   ` cfv 5163   iota_crio 5769  (class class class)co 5814   RRcr 7710   0cc0 7711   <_ cle 7892   2c2 8863   ^cexp 10396   sqrcsqrt 10873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-mulrcl 7810  ax-addcom 7811  ax-mulcom 7812  ax-addass 7813  ax-mulass 7814  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-1rid 7818  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-precex 7821  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-apti 7826  ax-pre-ltadd 7827  ax-pre-mulgt0 7828  ax-pre-mulext 7829  ax-arch 7830  ax-caucvg 7831

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rmo 2440  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-if 3502  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-po 4251  df-iso 4252  df-iord 4321  df-on 4323  df-ilim 4324  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-recs 6242  df-frec 6328  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-reap 8429  df-ap 8436  df-div 8525  df-inn 8813  df-2 8871  df-3 8872  df-4 8873  df-n0 9070  df-z 9147  df-uz 9419  df-rp 9539  df-seqfrec 10323  df-exp 10397  df-rsqrt 10875

This theorem is referenced by:  rersqrtthlem  10907  remsqsqrt  10909  sqrtgt0  10911  sqrtmul  10912  sqrtle  10913  sqrtlt  10914  sqrt11ap  10915  sqrt11  10916  rpsqrtcl  10918  sqrtdiv  10919  sqrtsq2  10920  abscl  10928  amgm2  10995  sqrtcli  10997  resqrtcld  11040