Theorem resqrtcl 11817

Description: Closure of the square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
resqrtcl	|- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( sqr ` A ) e. RR )

Proof of Theorem resqrtcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrex 11814	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> E. y e. RR ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) )
2		simp1l 1052	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ y e. RR /\ ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) ) -> A e. RR )
3		sqrtrval 11788	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( sqr ` A ) = ( iota_ x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) ) )
4	2, 3	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ y e. RR /\ ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) ) -> ( sqr ` A ) = ( iota_ x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) ) )
5		simp3r 1057	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ y e. RR /\ ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) ) -> ( y ^ 2 ) = A )
6		simp3l 1056	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ y e. RR /\ ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) ) -> 0 <_ y )
7		simp2 1029	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ y e. RR /\ ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) ) -> y e. RR )
8		rersqreu 11816	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> E! x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) )
9	8	3ad2ant1 1049	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ y e. RR /\ ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) ) -> E! x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) )
10		oveq1 6095	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( x ^ 2 ) = ( y ^ 2 ) )
11	10	eqeq1d 2247	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( x ^ 2 ) = A <-> ( y ^ 2 ) = A ) )
12		breq2 4135	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( 0 <_ x <-> 0 <_ y ) )
13	11, 12	anbi12d 477	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) <-> ( ( y ^ 2 ) = A /\ 0 <_ y ) ) )
14	13	riota2 6065	. . . . . . 7 |- ( ( y e. RR /\ E! x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) ) -> ( ( ( y ^ 2 ) = A /\ 0 <_ y ) <-> ( iota_ x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) ) = y ) )
15	7, 9, 14	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ y e. RR /\ ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) ) -> ( ( ( y ^ 2 ) = A /\ 0 <_ y ) <-> ( iota_ x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) ) = y ) )
16	5, 6, 15	mpbi2and 956	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ y e. RR /\ ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) ) -> ( iota_ x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) ) = y )
17	4, 16	eqtrd 2271	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ y e. RR /\ ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) ) -> ( sqr ` A ) = y )
18	17, 7	eqeltrd 2315	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ y e. RR /\ ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) ) -> ( sqr ` A ) e. RR )
19	18	rexlimdv3a 2670	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( E. y e. RR ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) -> ( sqr ` A ) e. RR ) )
20	1, 19	mpd 13	1 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( sqr ` A ) e. RR )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529   E!wreu 2530   class class class wbr 4131   ` cfv 5380   iota_crio 6040  (class class class)co 6088   RRcr 8184   0cc0 8185   <_ cle 8367   2c2 9364   ^cexp 10996   sqrcsqrt 11784

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-rp 10072  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-rsqrt 11786

This theorem is used by:  rersqrtthlem  11818  remsqsqrt  11820  sqrtgt0  11822  sqrtmul  11823  sqrtle  11824  sqrtlt  11825  sqrt11ap  11826  sqrt11  11827  rpsqrtcl  11829  sqrtdiv  11830  sqrtsq2  11831  abscl  11839  amgm2  11907  sqrtcli  11909  resqrtcld  11952