Theorem resqrtcl 10971

Description: Closure of the square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
resqrtcl	|- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( sqr ` A ) e. RR )

Proof of Theorem resqrtcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrex 10968	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> E. y e. RR ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) )
2		simp1l 1011	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ y e. RR /\ ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) ) -> A e. RR )
3		sqrtrval 10942	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( sqr ` A ) = ( iota_ x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) ) )
4	2, 3	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ y e. RR /\ ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) ) -> ( sqr ` A ) = ( iota_ x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) ) )
5		simp3r 1016	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ y e. RR /\ ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) ) -> ( y ^ 2 ) = A )
6		simp3l 1015	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ y e. RR /\ ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) ) -> 0 <_ y )
7		simp2 988	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ y e. RR /\ ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) ) -> y e. RR )
8		rersqreu 10970	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> E! x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) )
9	8	3ad2ant1 1008	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ y e. RR /\ ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) ) -> E! x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) )
10		oveq1 5849	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( x ^ 2 ) = ( y ^ 2 ) )
11	10	eqeq1d 2174	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( x ^ 2 ) = A <-> ( y ^ 2 ) = A ) )
12		breq2 3986	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( 0 <_ x <-> 0 <_ y ) )
13	11, 12	anbi12d 465	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) <-> ( ( y ^ 2 ) = A /\ 0 <_ y ) ) )
14	13	riota2 5820	. . . . . . 7 |- ( ( y e. RR /\ E! x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) ) -> ( ( ( y ^ 2 ) = A /\ 0 <_ y ) <-> ( iota_ x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) ) = y ) )
15	7, 9, 14	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ y e. RR /\ ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) ) -> ( ( ( y ^ 2 ) = A /\ 0 <_ y ) <-> ( iota_ x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) ) = y ) )
16	5, 6, 15	mpbi2and 933	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ y e. RR /\ ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) ) -> ( iota_ x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) ) = y )
17	4, 16	eqtrd 2198	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ y e. RR /\ ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) ) -> ( sqr ` A ) = y )
18	17, 7	eqeltrd 2243	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ y e. RR /\ ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) ) -> ( sqr ` A ) e. RR )
19	18	rexlimdv3a 2585	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( E. y e. RR ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) -> ( sqr ` A ) e. RR ) )
20	1, 19	mpd 13	1 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( sqr ` A ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   E.wrex 2445   E!wreu 2446   class class class wbr 3982   ` cfv 5188   iota_crio 5797  (class class class)co 5842   RRcr 7752   0cc0 7753   <_ cle 7934   2c2 8908   ^cexp 10454   sqrcsqrt 10938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-rp 9590  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-rsqrt 10940

This theorem is referenced by:  rersqrtthlem  10972  remsqsqrt  10974  sqrtgt0  10976  sqrtmul  10977  sqrtle  10978  sqrtlt  10979  sqrt11ap  10980  sqrt11  10981  rpsqrtcl  10983  sqrtdiv  10984  sqrtsq2  10985  abscl  10993  amgm2  11060  sqrtcli  11062  resqrtcld  11105