Theorem resqrtcl 11373

Description: Closure of the square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
resqrtcl	|- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( sqr ` A ) e. RR )

Proof of Theorem resqrtcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrex 11370	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> E. y e. RR ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) )
2		simp1l 1024	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ y e. RR /\ ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) ) -> A e. RR )
3		sqrtrval 11344	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( sqr ` A ) = ( iota_ x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) ) )
4	2, 3	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ y e. RR /\ ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) ) -> ( sqr ` A ) = ( iota_ x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) ) )
5		simp3r 1029	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ y e. RR /\ ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) ) -> ( y ^ 2 ) = A )
6		simp3l 1028	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ y e. RR /\ ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) ) -> 0 <_ y )
7		simp2 1001	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ y e. RR /\ ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) ) -> y e. RR )
8		rersqreu 11372	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> E! x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) )
9	8	3ad2ant1 1021	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ y e. RR /\ ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) ) -> E! x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) )
10		oveq1 5953	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( x ^ 2 ) = ( y ^ 2 ) )
11	10	eqeq1d 2214	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( x ^ 2 ) = A <-> ( y ^ 2 ) = A ) )
12		breq2 4049	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( 0 <_ x <-> 0 <_ y ) )
13	11, 12	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) <-> ( ( y ^ 2 ) = A /\ 0 <_ y ) ) )
14	13	riota2 5924	. . . . . . 7 |- ( ( y e. RR /\ E! x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) ) -> ( ( ( y ^ 2 ) = A /\ 0 <_ y ) <-> ( iota_ x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) ) = y ) )
15	7, 9, 14	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ y e. RR /\ ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) ) -> ( ( ( y ^ 2 ) = A /\ 0 <_ y ) <-> ( iota_ x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) ) = y ) )
16	5, 6, 15	mpbi2and 946	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ y e. RR /\ ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) ) -> ( iota_ x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) ) = y )
17	4, 16	eqtrd 2238	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ y e. RR /\ ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) ) -> ( sqr ` A ) = y )
18	17, 7	eqeltrd 2282	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ y e. RR /\ ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) ) -> ( sqr ` A ) e. RR )
19	18	rexlimdv3a 2625	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( E. y e. RR ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) -> ( sqr ` A ) e. RR ) )
20	1, 19	mpd 13	1 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( sqr ` A ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   E.wrex 2485   E!wreu 2486   class class class wbr 4045   ` cfv 5272   iota_crio 5900  (class class class)co 5946   RRcr 7926   0cc0 7927   <_ cle 8110   2c2 9089   ^cexp 10685   sqrcsqrt 11340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044  ax-pre-mulext 8045  ax-arch 8046  ax-caucvg 8047

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-iord 4414  df-on 4416  df-ilim 4417  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-frec 6479  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-reap 8650  df-ap 8657  df-div 8748  df-inn 9039  df-2 9097  df-3 9098  df-4 9099  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-rp 9778  df-seqfrec 10595  df-exp 10686  df-rsqrt 11342

This theorem is referenced by:  rersqrtthlem  11374  remsqsqrt  11376  sqrtgt0  11378  sqrtmul  11379  sqrtle  11380  sqrtlt  11381  sqrt11ap  11382  sqrt11  11383  rpsqrtcl  11385  sqrtdiv  11386  sqrtsq2  11387  abscl  11395  amgm2  11462  sqrtcli  11464  resqrtcld  11507