Theorem resqrtcl 11038

Description: Closure of the square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
resqrtcl	|- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( sqr ` A ) e. RR )

Proof of Theorem resqrtcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrex 11035	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> E. y e. RR ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) )
2		simp1l 1021	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ y e. RR /\ ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) ) -> A e. RR )
3		sqrtrval 11009	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( sqr ` A ) = ( iota_ x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) ) )
4	2, 3	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ y e. RR /\ ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) ) -> ( sqr ` A ) = ( iota_ x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) ) )
5		simp3r 1026	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ y e. RR /\ ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) ) -> ( y ^ 2 ) = A )
6		simp3l 1025	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ y e. RR /\ ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) ) -> 0 <_ y )
7		simp2 998	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ y e. RR /\ ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) ) -> y e. RR )
8		rersqreu 11037	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> E! x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) )
9	8	3ad2ant1 1018	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ y e. RR /\ ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) ) -> E! x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) )
10		oveq1 5882	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( x ^ 2 ) = ( y ^ 2 ) )
11	10	eqeq1d 2186	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( x ^ 2 ) = A <-> ( y ^ 2 ) = A ) )
12		breq2 4008	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( 0 <_ x <-> 0 <_ y ) )
13	11, 12	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) <-> ( ( y ^ 2 ) = A /\ 0 <_ y ) ) )
14	13	riota2 5853	. . . . . . 7 |- ( ( y e. RR /\ E! x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) ) -> ( ( ( y ^ 2 ) = A /\ 0 <_ y ) <-> ( iota_ x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) ) = y ) )
15	7, 9, 14	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ y e. RR /\ ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) ) -> ( ( ( y ^ 2 ) = A /\ 0 <_ y ) <-> ( iota_ x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) ) = y ) )
16	5, 6, 15	mpbi2and 943	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ y e. RR /\ ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) ) -> ( iota_ x e. RR ( ( x ^ 2 ) = A /\ 0 <_ x ) ) = y )
17	4, 16	eqtrd 2210	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ y e. RR /\ ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) ) -> ( sqr ` A ) = y )
18	17, 7	eqeltrd 2254	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ y e. RR /\ ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) ) -> ( sqr ` A ) e. RR )
19	18	rexlimdv3a 2596	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( E. y e. RR ( 0 <_ y /\ ( y ^ 2 ) = A ) -> ( sqr ` A ) e. RR ) )
20	1, 19	mpd 13	1 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( sqr ` A ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   E.wrex 2456   E!wreu 2457   class class class wbr 4004   ` cfv 5217   iota_crio 5830  (class class class)co 5875   RRcr 7810   0cc0 7811   <_ cle 7993   2c2 8970   ^cexp 10519   sqrcsqrt 11005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-rp 9654  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-rsqrt 11007

This theorem is referenced by:  rersqrtthlem  11039  remsqsqrt  11041  sqrtgt0  11043  sqrtmul  11044  sqrtle  11045  sqrtlt  11046  sqrt11ap  11047  sqrt11  11048  rpsqrtcl  11050  sqrtdiv  11051  sqrtsq2  11052  abscl  11060  amgm2  11127  sqrtcli  11129  resqrtcld  11172