Theorem sqrtsq 11008

Description: Square root of square. (Contributed by NM, 14-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtsq	|- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( sqr ` ( A ^ 2 ) ) = A )

Proof of Theorem sqrtsq

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> A e. RR )
2	1	resqcld 10635	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( A ^ 2 ) e. RR )
3		sqrtrval 10964	. . 3 |- ( ( A ^ 2 ) e. RR -> ( sqr ` ( A ^ 2 ) ) = ( iota_ x e. RR ( ( x ^ 2 ) = ( A ^ 2 ) /\ 0 <_ x ) ) )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( sqr ` ( A ^ 2 ) ) = ( iota_ x e. RR ( ( x ^ 2 ) = ( A ^ 2 ) /\ 0 <_ x ) ) )
5		simplr 525	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ x e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) = ( A ^ 2 ) /\ 0 <_ x ) ) -> x e. RR )
6		simplll 528	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ x e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) = ( A ^ 2 ) /\ 0 <_ x ) ) -> A e. RR )
7		simprr 527	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ x e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) = ( A ^ 2 ) /\ 0 <_ x ) ) -> 0 <_ x )
8		simpllr 529	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ x e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) = ( A ^ 2 ) /\ 0 <_ x ) ) -> 0 <_ A )
9		simprl 526	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ x e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) = ( A ^ 2 ) /\ 0 <_ x ) ) -> ( x ^ 2 ) = ( A ^ 2 ) )
10	5, 6, 7, 8, 9	sq11d 10642	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ x e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) = ( A ^ 2 ) /\ 0 <_ x ) ) -> x = A )
11	10	ex 114	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ x e. RR ) -> ( ( ( x ^ 2 ) = ( A ^ 2 ) /\ 0 <_ x ) -> x = A ) )
12		oveq1 5860	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( x ^ 2 ) = ( A ^ 2 ) )
13	12	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ x e. RR ) -> ( x = A -> ( x ^ 2 ) = ( A ^ 2 ) ) )
14		simplr 525	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ x e. RR ) -> 0 <_ A )
15		breq2 3993	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( 0 <_ x <-> 0 <_ A ) )
16	14, 15	syl5ibrcom 156	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ x e. RR ) -> ( x = A -> 0 <_ x ) )
17	13, 16	jcad 305	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ x e. RR ) -> ( x = A -> ( ( x ^ 2 ) = ( A ^ 2 ) /\ 0 <_ x ) ) )
18	11, 17	impbid 128	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ x e. RR ) -> ( ( ( x ^ 2 ) = ( A ^ 2 ) /\ 0 <_ x ) <-> x = A ) )
19	1, 18	riota5 5834	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( iota_ x e. RR ( ( x ^ 2 ) = ( A ^ 2 ) /\ 0 <_ x ) ) = A )
20	4, 19	eqtrd 2203	1 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( sqr ` ( A ^ 2 ) ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   class class class wbr 3989   ` cfv 5198   iota_crio 5808  (class class class)co 5853   RRcr 7773   0cc0 7774   <_ cle 7955   2c2 8929   ^cexp 10475   sqrcsqrt 10960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-rsqrt 10962

This theorem is referenced by:  sqrtmsq  11009  sqrt1  11010  sqrt4  11011  sqrt9  11012  absreim  11032  absid  11035  sqrtsqi  11087  sqrtsqd  11129