ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  absval Unicode version

Theorem absval 10780
Description: The absolute value (modulus) of a complex number. Proposition 10-3.7(a) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 27-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
absval  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  =  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) ) )

Proof of Theorem absval
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rsqrt 10777 . . . 4  |-  sqr  =  ( x  e.  RR  |->  ( iota_ y  e.  RR  ( ( y ^
2 )  =  x  /\  0  <_  y
) ) )
2 reex 7761 . . . . 5  |-  RR  e.  _V
32mptex 5646 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  |->  ( iota_ y  e.  RR  ( ( y ^ 2 )  =  x  /\  0  <_  y ) ) )  e.  _V
41, 3eqeltri 2212 . . 3  |-  sqr  e.  _V
5 id 19 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  A  e.  CC )
6 cjcl 10627 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  e.  CC )
75, 6mulcld 7793 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  ( * `  A ) )  e.  CC )
8 fvexg 5440 . . 3  |-  ( ( sqr  e.  _V  /\  ( A  x.  (
* `  A )
)  e.  CC )  ->  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) )  e.  _V )
94, 7, 8sylancr 410 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A
) ) )  e. 
_V )
10 fveq2 5421 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
* `  x )  =  ( * `  A ) )
11 oveq12 5783 . . . . 5  |-  ( ( x  =  A  /\  ( * `  x
)  =  ( * `
 A ) )  ->  ( x  x.  ( * `  x
) )  =  ( A  x.  ( * `
 A ) ) )
1210, 11mpdan 417 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
x  x.  ( * `
 x ) )  =  ( A  x.  ( * `  A
) ) )
1312fveq2d 5425 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( sqr `  ( x  x.  ( * `  x
) ) )  =  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) ) )
14 df-abs 10778 . . 3  |-  abs  =  ( x  e.  CC  |->  ( sqr `  ( x  x.  ( * `  x ) ) ) )
1513, 14fvmptg 5497 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) )  e.  _V )  -> 
( abs `  A
)  =  ( sqr `  ( A  x.  (
* `  A )
) ) )
169, 15mpdan 417 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  =  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480   _Vcvv 2686   class class class wbr 3929    |-> cmpt 3989   ` cfv 5123   iota_crio 5729  (class class class)co 5774   CCcc 7625   RRcr 7626   0cc0 7627    x. cmul 7632    <_ cle 7808   2c2 8778   ^cexp 10299   *ccj 10618   sqrcsqrt 10775   abscabs 10776
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-ltxr 7812  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-cj 10621  df-rsqrt 10777  df-abs 10778
This theorem is referenced by:  absneg  10829  abscl  10830  abscj  10831  absvalsq  10832  absval2  10836  abs0  10837  absi  10838  absge0  10839  absrpclap  10840  absmul  10848  absid  10850  absre  10856  absf  10889
  Copyright terms: Public domain W3C validator