Theorem absval 11168

Description: The absolute value (modulus) of a complex number. Proposition 10-3.7(a) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 27-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
absval	|- ( A e. CC -> ( abs ` A ) = ( sqr ` ( A x. ( * ` A ) ) ) )

Proof of Theorem absval

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rsqrt 11165	. . . 4 |- sqr = ( x e. RR |-> ( iota_ y e. RR ( ( y ^ 2 ) = x /\ 0 <_ y ) ) )
2		reex 8015	. . . . 5 |- RR e. _V
3	2	mptex 5789	. . . 4 |- ( x e. RR |-> ( iota_ y e. RR ( ( y ^ 2 ) = x /\ 0 <_ y ) ) ) e. _V
4	1, 3	eqeltri 2269	. . 3 |- sqr e. _V
5		id 19	. . . 4 |- ( A e. CC -> A e. CC )
6		cjcl 11015	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) e. CC )
7	5, 6	mulcld 8049	. . 3 |- ( A e. CC -> ( A x. ( * ` A ) ) e. CC )
8		fvexg 5578	. . 3 |- ( ( sqr e. _V /\ ( A x. ( * ` A ) ) e. CC ) -> ( sqr ` ( A x. ( * ` A ) ) ) e. _V )
9	4, 7, 8	sylancr 414	. 2 |- ( A e. CC -> ( sqr ` ( A x. ( * ` A ) ) ) e. _V )
10		fveq2 5559	. . . . 5 |- ( x = A -> ( * ` x ) = ( * ` A ) )
11		oveq12 5932	. . . . 5 |- ( ( x = A /\ ( * ` x ) = ( * ` A ) ) -> ( x x. ( * ` x ) ) = ( A x. ( * ` A ) ) )
12	10, 11	mpdan 421	. . . 4 |- ( x = A -> ( x x. ( * ` x ) ) = ( A x. ( * ` A ) ) )
13	12	fveq2d 5563	. . 3 |- ( x = A -> ( sqr ` ( x x. ( * ` x ) ) ) = ( sqr ` ( A x. ( * ` A ) ) ) )
14		df-abs 11166	. . 3 |- abs = ( x e. CC |-> ( sqr ` ( x x. ( * ` x ) ) ) )
15	13, 14	fvmptg 5638	. 2 |- ( ( A e. CC /\ ( sqr ` ( A x. ( * ` A ) ) ) e. _V ) -> ( abs ` A ) = ( sqr ` ( A x. ( * ` A ) ) ) )
16	9, 15	mpdan 421	1 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) = ( sqr ` ( A x. ( * ` A ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   class class class wbr 4034   |-> cmpt 4095   ` cfv 5259   iota_crio 5877  (class class class)co 5923   CCcc 7879   RRcr 7880   0cc0 7881   x. cmul 7886   <_ cle 8064   2c2 9043   ^cexp 10632   *ccj 11006   sqrcsqrt 11163   abscabs 11164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-mulrcl 7980  ax-addcom 7981  ax-mulcom 7982  ax-addass 7983  ax-mulass 7984  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-1rid 7988  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-precex 7991  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997  ax-pre-mulgt0 7998

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-ltxr 8068  df-sub 8201  df-neg 8202  df-reap 8604  df-cj 11009  df-rsqrt 11165  df-abs 11166

This theorem is referenced by:  absneg  11217  abscl  11218  abscj  11219  absvalsq  11220  absval2  11224  abs0  11225  absi  11226  absge0  11227  absrpclap  11228  absmul  11236  absid  11238  absre  11244  absf  11277