ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  absval Unicode version

Theorem absval 10549
Description: The absolute value (modulus) of a complex number. Proposition 10-3.7(a) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 27-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
absval  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  =  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) ) )

Proof of Theorem absval
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rsqrt 10546 . . . 4  |-  sqr  =  ( x  e.  RR  |->  ( iota_ y  e.  RR  ( ( y ^
2 )  =  x  /\  0  <_  y
) ) )
2 reex 7573 . . . . 5  |-  RR  e.  _V
32mptex 5562 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  |->  ( iota_ y  e.  RR  ( ( y ^ 2 )  =  x  /\  0  <_  y ) ) )  e.  _V
41, 3eqeltri 2167 . . 3  |-  sqr  e.  _V
5 id 19 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  A  e.  CC )
6 cjcl 10397 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  e.  CC )
75, 6mulcld 7605 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  ( * `  A ) )  e.  CC )
8 fvexg 5359 . . 3  |-  ( ( sqr  e.  _V  /\  ( A  x.  (
* `  A )
)  e.  CC )  ->  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) )  e.  _V )
94, 7, 8sylancr 406 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A
) ) )  e. 
_V )
10 fveq2 5340 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
* `  x )  =  ( * `  A ) )
11 oveq12 5699 . . . . 5  |-  ( ( x  =  A  /\  ( * `  x
)  =  ( * `
 A ) )  ->  ( x  x.  ( * `  x
) )  =  ( A  x.  ( * `
 A ) ) )
1210, 11mpdan 413 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
x  x.  ( * `
 x ) )  =  ( A  x.  ( * `  A
) ) )
1312fveq2d 5344 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( sqr `  ( x  x.  ( * `  x
) ) )  =  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) ) )
14 df-abs 10547 . . 3  |-  abs  =  ( x  e.  CC  |->  ( sqr `  ( x  x.  ( * `  x ) ) ) )
1513, 14fvmptg 5415 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) )  e.  _V )  -> 
( abs `  A
)  =  ( sqr `  ( A  x.  (
* `  A )
) ) )
169, 15mpdan 413 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  =  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1296    e. wcel 1445   _Vcvv 2633   class class class wbr 3867    |-> cmpt 3921   ` cfv 5049   iota_crio 5645  (class class class)co 5690   CCcc 7445   RRcr 7446   0cc0 7447    x. cmul 7452    <_ cle 7620   2c2 8571   ^cexp 10069   *ccj 10388   sqrcsqrt 10544   abscabs 10545
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-ltxr 7624  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-cj 10391  df-rsqrt 10546  df-abs 10547
This theorem is referenced by:  absneg  10598  abscl  10599  abscj  10600  absvalsq  10601  absval2  10605  abs0  10606  absi  10607  absge0  10608  absrpclap  10609  absmul  10617  absid  10619  absre  10625  absf  10658
  Copyright terms: Public domain W3C validator