Theorem absval 11345

Description: The absolute value (modulus) of a complex number. Proposition 10-3.7(a) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 27-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
absval	|- ( A e. CC -> ( abs ` A ) = ( sqr ` ( A x. ( * ` A ) ) ) )

Proof of Theorem absval

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rsqrt 11342	. . . 4 |- sqr = ( x e. RR |-> ( iota_ y e. RR ( ( y ^ 2 ) = x /\ 0 <_ y ) ) )
2		reex 8061	. . . . 5 |- RR e. _V
3	2	mptex 5812	. . . 4 |- ( x e. RR |-> ( iota_ y e. RR ( ( y ^ 2 ) = x /\ 0 <_ y ) ) ) e. _V
4	1, 3	eqeltri 2278	. . 3 |- sqr e. _V
5		id 19	. . . 4 |- ( A e. CC -> A e. CC )
6		cjcl 11192	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) e. CC )
7	5, 6	mulcld 8095	. . 3 |- ( A e. CC -> ( A x. ( * ` A ) ) e. CC )
8		fvexg 5597	. . 3 |- ( ( sqr e. _V /\ ( A x. ( * ` A ) ) e. CC ) -> ( sqr ` ( A x. ( * ` A ) ) ) e. _V )
9	4, 7, 8	sylancr 414	. 2 |- ( A e. CC -> ( sqr ` ( A x. ( * ` A ) ) ) e. _V )
10		fveq2 5578	. . . . 5 |- ( x = A -> ( * ` x ) = ( * ` A ) )
11		oveq12 5955	. . . . 5 |- ( ( x = A /\ ( * ` x ) = ( * ` A ) ) -> ( x x. ( * ` x ) ) = ( A x. ( * ` A ) ) )
12	10, 11	mpdan 421	. . . 4 |- ( x = A -> ( x x. ( * ` x ) ) = ( A x. ( * ` A ) ) )
13	12	fveq2d 5582	. . 3 |- ( x = A -> ( sqr ` ( x x. ( * ` x ) ) ) = ( sqr ` ( A x. ( * ` A ) ) ) )
14		df-abs 11343	. . 3 |- abs = ( x e. CC |-> ( sqr ` ( x x. ( * ` x ) ) ) )
15	13, 14	fvmptg 5657	. 2 |- ( ( A e. CC /\ ( sqr ` ( A x. ( * ` A ) ) ) e. _V ) -> ( abs ` A ) = ( sqr ` ( A x. ( * ` A ) ) ) )
16	9, 15	mpdan 421	1 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) = ( sqr ` ( A x. ( * ` A ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   class class class wbr 4045   |-> cmpt 4106   ` cfv 5272   iota_crio 5900  (class class class)co 5946   CCcc 7925   RRcr 7926   0cc0 7927   x. cmul 7932   <_ cle 8110   2c2 9089   ^cexp 10685   *ccj 11183   sqrcsqrt 11340   abscabs 11341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-ltxr 8114  df-sub 8247  df-neg 8248  df-reap 8650  df-cj 11186  df-rsqrt 11342  df-abs 11343

This theorem is referenced by:  absneg  11394  abscl  11395  abscj  11396  absvalsq  11397  absval2  11401  abs0  11402  absi  11403  absge0  11404  absrpclap  11405  absmul  11413  absid  11415  absre  11421  absf  11454