Theorem absval 11711

Description: The absolute value (modulus) of a complex number. Proposition 10-3.7(a) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 27-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
absval	|- ( A e. CC -> ( abs ` A ) = ( sqr ` ( A x. ( * ` A ) ) ) )

Proof of Theorem absval

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rsqrt 11708	. . . 4 |- sqr = ( x e. RR |-> ( iota_ y e. RR ( ( y ^ 2 ) = x /\ 0 <_ y ) ) )
2		reex 8277	. . . . 5 |- RR e. _V
3	2	mptex 5917	. . . 4 |- ( x e. RR |-> ( iota_ y e. RR ( ( y ^ 2 ) = x /\ 0 <_ y ) ) ) e. _V
4	1, 3	eqeltri 2307	. . 3 |- sqr e. _V
5		id 19	. . . 4 |- ( A e. CC -> A e. CC )
6		cjcl 11558	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) e. CC )
7	5, 6	mulcld 8310	. . 3 |- ( A e. CC -> ( A x. ( * ` A ) ) e. CC )
8		fvexg 5694	. . 3 |- ( ( sqr e. _V /\ ( A x. ( * ` A ) ) e. CC ) -> ( sqr ` ( A x. ( * ` A ) ) ) e. _V )
9	4, 7, 8	sylancr 414	. 2 |- ( A e. CC -> ( sqr ` ( A x. ( * ` A ) ) ) e. _V )
10		fveq2 5675	. . . . 5 |- ( x = A -> ( * ` x ) = ( * ` A ) )
11		oveq12 6067	. . . . 5 |- ( ( x = A /\ ( * ` x ) = ( * ` A ) ) -> ( x x. ( * ` x ) ) = ( A x. ( * ` A ) ) )
12	10, 11	mpdan 421	. . . 4 |- ( x = A -> ( x x. ( * ` x ) ) = ( A x. ( * ` A ) ) )
13	12	fveq2d 5679	. . 3 |- ( x = A -> ( sqr ` ( x x. ( * ` x ) ) ) = ( sqr ` ( A x. ( * ` A ) ) ) )
14		df-abs 11709	. . 3 |- abs = ( x e. CC |-> ( sqr ` ( x x. ( * ` x ) ) ) )
15	13, 14	fvmptg 5758	. 2 |- ( ( A e. CC /\ ( sqr ` ( A x. ( * ` A ) ) ) e. _V ) -> ( abs ` A ) = ( sqr ` ( A x. ( * ` A ) ) ) )
16	9, 15	mpdan 421	1 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) = ( sqr ` ( A x. ( * ` A ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   class class class wbr 4114   |-> cmpt 4176   ` cfv 5357   iota_crio 6010  (class class class)co 6058   CCcc 8141   RRcr 8142   0cc0 8143   x. cmul 8148   <_ cle 8325   2c2 9305   ^cexp 10924   *ccj 11549   sqrcsqrt 11706   abscabs 11707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-cj 11552  df-rsqrt 11708  df-abs 11709

This theorem is referenced by:  absneg  11760  abscl  11761  abscj  11762  absvalsq  11763  absval2  11767  abs0  11768  absi  11769  absge0  11770  absrpclap  11771  absmul  11779  absid  11781  absre  11787  absf  11820