Theorem absval 10976

Description: The absolute value (modulus) of a complex number. Proposition 10-3.7(a) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 27-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
absval	|- ( A e. CC -> ( abs ` A ) = ( sqr ` ( A x. ( * ` A ) ) ) )

Proof of Theorem absval

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rsqrt 10973	. . . 4 |- sqr = ( x e. RR |-> ( iota_ y e. RR ( ( y ^ 2 ) = x /\ 0 <_ y ) ) )
2		reex 7920	. . . . 5 |- RR e. _V
3	2	mptex 5734	. . . 4 |- ( x e. RR |-> ( iota_ y e. RR ( ( y ^ 2 ) = x /\ 0 <_ y ) ) ) e. _V
4	1, 3	eqeltri 2248	. . 3 |- sqr e. _V
5		id 19	. . . 4 |- ( A e. CC -> A e. CC )
6		cjcl 10823	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) e. CC )
7	5, 6	mulcld 7952	. . 3 |- ( A e. CC -> ( A x. ( * ` A ) ) e. CC )
8		fvexg 5526	. . 3 |- ( ( sqr e. _V /\ ( A x. ( * ` A ) ) e. CC ) -> ( sqr ` ( A x. ( * ` A ) ) ) e. _V )
9	4, 7, 8	sylancr 414	. 2 |- ( A e. CC -> ( sqr ` ( A x. ( * ` A ) ) ) e. _V )
10		fveq2 5507	. . . . 5 |- ( x = A -> ( * ` x ) = ( * ` A ) )
11		oveq12 5874	. . . . 5 |- ( ( x = A /\ ( * ` x ) = ( * ` A ) ) -> ( x x. ( * ` x ) ) = ( A x. ( * ` A ) ) )
12	10, 11	mpdan 421	. . . 4 |- ( x = A -> ( x x. ( * ` x ) ) = ( A x. ( * ` A ) ) )
13	12	fveq2d 5511	. . 3 |- ( x = A -> ( sqr ` ( x x. ( * ` x ) ) ) = ( sqr ` ( A x. ( * ` A ) ) ) )
14		df-abs 10974	. . 3 |- abs = ( x e. CC |-> ( sqr ` ( x x. ( * ` x ) ) ) )
15	13, 14	fvmptg 5584	. 2 |- ( ( A e. CC /\ ( sqr ` ( A x. ( * ` A ) ) ) e. _V ) -> ( abs ` A ) = ( sqr ` ( A x. ( * ` A ) ) ) )
16	9, 15	mpdan 421	1 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) = ( sqr ` ( A x. ( * ` A ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2146   _Vcvv 2735   class class class wbr 3998   |-> cmpt 4059   ` cfv 5208   iota_crio 5820  (class class class)co 5865   CCcc 7784   RRcr 7785   0cc0 7786   x. cmul 7791   <_ cle 7967   2c2 8941   ^cexp 10487   *ccj 10814   sqrcsqrt 10971   abscabs 10972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-ltxr 7971  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-cj 10817  df-rsqrt 10973  df-abs 10974

This theorem is referenced by:  absneg  11025  abscl  11026  abscj  11027  absvalsq  11028  absval2  11032  abs0  11033  absi  11034  absge0  11035  absrpclap  11036  absmul  11044  absid  11046  absre  11052  absf  11085