Theorem absval 10805

Description: The absolute value (modulus) of a complex number. Proposition 10-3.7(a) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 27-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
absval	|- ( A e. CC -> ( abs ` A ) = ( sqr ` ( A x. ( * ` A ) ) ) )

Proof of Theorem absval

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rsqrt 10802	. . . 4 |- sqr = ( x e. RR |-> ( iota_ y e. RR ( ( y ^ 2 ) = x /\ 0 <_ y ) ) )
2		reex 7778	. . . . 5 |- RR e. _V
3	2	mptex 5654	. . . 4 |- ( x e. RR |-> ( iota_ y e. RR ( ( y ^ 2 ) = x /\ 0 <_ y ) ) ) e. _V
4	1, 3	eqeltri 2213	. . 3 |- sqr e. _V
5		id 19	. . . 4 |- ( A e. CC -> A e. CC )
6		cjcl 10652	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) e. CC )
7	5, 6	mulcld 7810	. . 3 |- ( A e. CC -> ( A x. ( * ` A ) ) e. CC )
8		fvexg 5448	. . 3 |- ( ( sqr e. _V /\ ( A x. ( * ` A ) ) e. CC ) -> ( sqr ` ( A x. ( * ` A ) ) ) e. _V )
9	4, 7, 8	sylancr 411	. 2 |- ( A e. CC -> ( sqr ` ( A x. ( * ` A ) ) ) e. _V )
10		fveq2 5429	. . . . 5 |- ( x = A -> ( * ` x ) = ( * ` A ) )
11		oveq12 5791	. . . . 5 |- ( ( x = A /\ ( * ` x ) = ( * ` A ) ) -> ( x x. ( * ` x ) ) = ( A x. ( * ` A ) ) )
12	10, 11	mpdan 418	. . . 4 |- ( x = A -> ( x x. ( * ` x ) ) = ( A x. ( * ` A ) ) )
13	12	fveq2d 5433	. . 3 |- ( x = A -> ( sqr ` ( x x. ( * ` x ) ) ) = ( sqr ` ( A x. ( * ` A ) ) ) )
14		df-abs 10803	. . 3 |- abs = ( x e. CC |-> ( sqr ` ( x x. ( * ` x ) ) ) )
15	13, 14	fvmptg 5505	. 2 |- ( ( A e. CC /\ ( sqr ` ( A x. ( * ` A ) ) ) e. _V ) -> ( abs ` A ) = ( sqr ` ( A x. ( * ` A ) ) ) )
16	9, 15	mpdan 418	1 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) = ( sqr ` ( A x. ( * ` A ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 1481   _Vcvv 2689   class class class wbr 3937   |-> cmpt 3997   ` cfv 5131   iota_crio 5737  (class class class)co 5782   CCcc 7642   RRcr 7643   0cc0 7644   x. cmul 7649   <_ cle 7825   2c2 8795   ^cexp 10323   *ccj 10643   sqrcsqrt 10800   abscabs 10801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-ltxr 7829  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-cj 10646  df-rsqrt 10802  df-abs 10803

This theorem is referenced by:  absneg  10854  abscl  10855  abscj  10856  absvalsq  10857  absval2  10861  abs0  10862  absi  10863  absge0  10864  absrpclap  10865  absmul  10873  absid  10875  absre  10881  absf  10914