Theorem cnntri 13018

Description: Property of the preimage of an interior. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cncls2i.1	|- Y = U. K

Assertion

Ref	Expression
cnntri	|- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ S C_ Y ) -> ( `' F " ( ( int ` K ) ` S ) ) C_ ( ( int ` J ) ` ( `' F " S ) ) )

Proof of Theorem cnntri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntop1 12995	. . 3 |- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. Top )
2	1	adantr 274	. 2 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ S C_ Y ) -> J e. Top )
3		cnvimass 4974	. . 3 |- ( `' F " S ) C_ dom F
4		eqid 2170	. . . . . 6 |- U. J = U. J
5		cncls2i.1	. . . . . 6 |- Y = U. K
6	4, 5	cnf 12998	. . . . 5 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F : U. J --> Y )
7	6	fdmd 5354	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) -> dom F = U. J )
8	7	adantr 274	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ S C_ Y ) -> dom F = U. J )
9	3, 8	sseqtrid 3197	. 2 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ S C_ Y ) -> ( `' F " S ) C_ U. J )
10		cntop2 12996	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. Top )
11	5	ntropn 12911	. . . 4 |- ( ( K e. Top /\ S C_ Y ) -> ( ( int ` K ) ` S ) e. K )
12	10, 11	sylan 281	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ S C_ Y ) -> ( ( int ` K ) ` S ) e. K )
13		cnima 13014	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ ( ( int ` K ) ` S ) e. K ) -> ( `' F " ( ( int ` K ) ` S ) ) e. J )
14	12, 13	syldan 280	. 2 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ S C_ Y ) -> ( `' F " ( ( int ` K ) ` S ) ) e. J )
15	5	ntrss2 12915	. . . 4 |- ( ( K e. Top /\ S C_ Y ) -> ( ( int ` K ) ` S ) C_ S )
16	10, 15	sylan 281	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ S C_ Y ) -> ( ( int ` K ) ` S ) C_ S )
17		imass2 4987	. . 3 |- ( ( ( int ` K ) ` S ) C_ S -> ( `' F " ( ( int ` K ) ` S ) ) C_ ( `' F " S ) )
18	16, 17	syl 14	. 2 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ S C_ Y ) -> ( `' F " ( ( int ` K ) ` S ) ) C_ ( `' F " S ) )
19	4	ssntr 12916	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ ( `' F " S ) C_ U. J ) /\ ( ( `' F " ( ( int ` K ) ` S ) ) e. J /\ ( `' F " ( ( int ` K ) ` S ) ) C_ ( `' F " S ) ) ) -> ( `' F " ( ( int ` K ) ` S ) ) C_ ( ( int ` J ) ` ( `' F " S ) ) )
20	2, 9, 14, 18, 19	syl22anc 1234	1 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ S C_ Y ) -> ( `' F " ( ( int ` K ) ` S ) ) C_ ( ( int ` J ) ` ( `' F " S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   C_ wss 3121   U.cuni 3796   `'ccnv 4610   dom cdm 4611   "cima 4614   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   Topctop 12789   intcnt 12887   Cn ccn 12979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-map 6628  df-top 12790  df-topon 12803  df-ntr 12890  df-cn 12982

This theorem is referenced by:  cnntr  13019  hmeontr  13107