Theorem cnntri 14544

Description: Property of the preimage of an interior. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cncls2i.1	|- Y = U. K

Assertion

Ref	Expression
cnntri	|- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ S C_ Y ) -> ( `' F " ( ( int ` K ) ` S ) ) C_ ( ( int ` J ) ` ( `' F " S ) ) )

Proof of Theorem cnntri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntop1 14521	. . 3 |- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. Top )
2	1	adantr 276	. 2 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ S C_ Y ) -> J e. Top )
3		cnvimass 5033	. . 3 |- ( `' F " S ) C_ dom F
4		eqid 2196	. . . . . 6 |- U. J = U. J
5		cncls2i.1	. . . . . 6 |- Y = U. K
6	4, 5	cnf 14524	. . . . 5 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F : U. J --> Y )
7	6	fdmd 5417	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) -> dom F = U. J )
8	7	adantr 276	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ S C_ Y ) -> dom F = U. J )
9	3, 8	sseqtrid 3234	. 2 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ S C_ Y ) -> ( `' F " S ) C_ U. J )
10		cntop2 14522	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. Top )
11	5	ntropn 14437	. . . 4 |- ( ( K e. Top /\ S C_ Y ) -> ( ( int ` K ) ` S ) e. K )
12	10, 11	sylan 283	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ S C_ Y ) -> ( ( int ` K ) ` S ) e. K )
13		cnima 14540	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ ( ( int ` K ) ` S ) e. K ) -> ( `' F " ( ( int ` K ) ` S ) ) e. J )
14	12, 13	syldan 282	. 2 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ S C_ Y ) -> ( `' F " ( ( int ` K ) ` S ) ) e. J )
15	5	ntrss2 14441	. . . 4 |- ( ( K e. Top /\ S C_ Y ) -> ( ( int ` K ) ` S ) C_ S )
16	10, 15	sylan 283	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ S C_ Y ) -> ( ( int ` K ) ` S ) C_ S )
17		imass2 5046	. . 3 |- ( ( ( int ` K ) ` S ) C_ S -> ( `' F " ( ( int ` K ) ` S ) ) C_ ( `' F " S ) )
18	16, 17	syl 14	. 2 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ S C_ Y ) -> ( `' F " ( ( int ` K ) ` S ) ) C_ ( `' F " S ) )
19	4	ssntr 14442	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ ( `' F " S ) C_ U. J ) /\ ( ( `' F " ( ( int ` K ) ` S ) ) e. J /\ ( `' F " ( ( int ` K ) ` S ) ) C_ ( `' F " S ) ) ) -> ( `' F " ( ( int ` K ) ` S ) ) C_ ( ( int ` J ) ` ( `' F " S ) ) )
20	2, 9, 14, 18, 19	syl22anc 1250	1 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ S C_ Y ) -> ( `' F " ( ( int ` K ) ` S ) ) C_ ( ( int ` J ) ` ( `' F " S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   C_ wss 3157   U.cuni 3840   `'ccnv 4663   dom cdm 4664   "cima 4667   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   Topctop 14317   intcnt 14413   Cn ccn 14505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-map 6718  df-top 14318  df-topon 14331  df-ntr 14416  df-cn 14508

This theorem is referenced by:  cnntr  14545  hmeontr  14633