Theorem cnntri 14392

Description: Property of the preimage of an interior. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cncls2i.1	|- Y = U. K

Assertion

Ref	Expression
cnntri	|- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ S C_ Y ) -> ( `' F " ( ( int ` K ) ` S ) ) C_ ( ( int ` J ) ` ( `' F " S ) ) )

Proof of Theorem cnntri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntop1 14369	. . 3 |- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. Top )
2	1	adantr 276	. 2 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ S C_ Y ) -> J e. Top )
3		cnvimass 5028	. . 3 |- ( `' F " S ) C_ dom F
4		eqid 2193	. . . . . 6 |- U. J = U. J
5		cncls2i.1	. . . . . 6 |- Y = U. K
6	4, 5	cnf 14372	. . . . 5 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F : U. J --> Y )
7	6	fdmd 5410	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) -> dom F = U. J )
8	7	adantr 276	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ S C_ Y ) -> dom F = U. J )
9	3, 8	sseqtrid 3229	. 2 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ S C_ Y ) -> ( `' F " S ) C_ U. J )
10		cntop2 14370	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. Top )
11	5	ntropn 14285	. . . 4 |- ( ( K e. Top /\ S C_ Y ) -> ( ( int ` K ) ` S ) e. K )
12	10, 11	sylan 283	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ S C_ Y ) -> ( ( int ` K ) ` S ) e. K )
13		cnima 14388	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ ( ( int ` K ) ` S ) e. K ) -> ( `' F " ( ( int ` K ) ` S ) ) e. J )
14	12, 13	syldan 282	. 2 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ S C_ Y ) -> ( `' F " ( ( int ` K ) ` S ) ) e. J )
15	5	ntrss2 14289	. . . 4 |- ( ( K e. Top /\ S C_ Y ) -> ( ( int ` K ) ` S ) C_ S )
16	10, 15	sylan 283	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ S C_ Y ) -> ( ( int ` K ) ` S ) C_ S )
17		imass2 5041	. . 3 |- ( ( ( int ` K ) ` S ) C_ S -> ( `' F " ( ( int ` K ) ` S ) ) C_ ( `' F " S ) )
18	16, 17	syl 14	. 2 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ S C_ Y ) -> ( `' F " ( ( int ` K ) ` S ) ) C_ ( `' F " S ) )
19	4	ssntr 14290	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ ( `' F " S ) C_ U. J ) /\ ( ( `' F " ( ( int ` K ) ` S ) ) e. J /\ ( `' F " ( ( int ` K ) ` S ) ) C_ ( `' F " S ) ) ) -> ( `' F " ( ( int ` K ) ` S ) ) C_ ( ( int ` J ) ` ( `' F " S ) ) )
20	2, 9, 14, 18, 19	syl22anc 1250	1 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ S C_ Y ) -> ( `' F " ( ( int ` K ) ` S ) ) C_ ( ( int ` J ) ` ( `' F " S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   C_ wss 3153   U.cuni 3835   `'ccnv 4658   dom cdm 4659   "cima 4662   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   Topctop 14165   intcnt 14261   Cn ccn 14353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-map 6704  df-top 14166  df-topon 14179  df-ntr 14264  df-cn 14356

This theorem is referenced by:  cnntr  14393  hmeontr  14481