Theorem cnntri 13809

Description: Property of the preimage of an interior. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cncls2i.1	|- Y = U. K

Assertion

Ref	Expression
cnntri	|- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ S C_ Y ) -> ( `' F " ( ( int ` K ) ` S ) ) C_ ( ( int ` J ) ` ( `' F " S ) ) )

Proof of Theorem cnntri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntop1 13786	. . 3 |- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. Top )
2	1	adantr 276	. 2 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ S C_ Y ) -> J e. Top )
3		cnvimass 4993	. . 3 |- ( `' F " S ) C_ dom F
4		eqid 2177	. . . . . 6 |- U. J = U. J
5		cncls2i.1	. . . . . 6 |- Y = U. K
6	4, 5	cnf 13789	. . . . 5 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F : U. J --> Y )
7	6	fdmd 5374	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) -> dom F = U. J )
8	7	adantr 276	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ S C_ Y ) -> dom F = U. J )
9	3, 8	sseqtrid 3207	. 2 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ S C_ Y ) -> ( `' F " S ) C_ U. J )
10		cntop2 13787	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. Top )
11	5	ntropn 13702	. . . 4 |- ( ( K e. Top /\ S C_ Y ) -> ( ( int ` K ) ` S ) e. K )
12	10, 11	sylan 283	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ S C_ Y ) -> ( ( int ` K ) ` S ) e. K )
13		cnima 13805	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ ( ( int ` K ) ` S ) e. K ) -> ( `' F " ( ( int ` K ) ` S ) ) e. J )
14	12, 13	syldan 282	. 2 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ S C_ Y ) -> ( `' F " ( ( int ` K ) ` S ) ) e. J )
15	5	ntrss2 13706	. . . 4 |- ( ( K e. Top /\ S C_ Y ) -> ( ( int ` K ) ` S ) C_ S )
16	10, 15	sylan 283	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ S C_ Y ) -> ( ( int ` K ) ` S ) C_ S )
17		imass2 5006	. . 3 |- ( ( ( int ` K ) ` S ) C_ S -> ( `' F " ( ( int ` K ) ` S ) ) C_ ( `' F " S ) )
18	16, 17	syl 14	. 2 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ S C_ Y ) -> ( `' F " ( ( int ` K ) ` S ) ) C_ ( `' F " S ) )
19	4	ssntr 13707	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ ( `' F " S ) C_ U. J ) /\ ( ( `' F " ( ( int ` K ) ` S ) ) e. J /\ ( `' F " ( ( int ` K ) ` S ) ) C_ ( `' F " S ) ) ) -> ( `' F " ( ( int ` K ) ` S ) ) C_ ( ( int ` J ) ` ( `' F " S ) ) )
20	2, 9, 14, 18, 19	syl22anc 1239	1 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ S C_ Y ) -> ( `' F " ( ( int ` K ) ` S ) ) C_ ( ( int ` J ) ` ( `' F " S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   C_ wss 3131   U.cuni 3811   `'ccnv 4627   dom cdm 4628   "cima 4631   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   Topctop 13582   intcnt 13678   Cn ccn 13770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-map 6652  df-top 13583  df-topon 13596  df-ntr 13681  df-cn 13773

This theorem is referenced by:  cnntr  13810  hmeontr  13898