Theorem cnntri 12874

Description: Property of the preimage of an interior. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cncls2i.1	|- Y = U. K

Assertion

Ref	Expression
cnntri	|- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ S C_ Y ) -> ( `' F " ( ( int ` K ) ` S ) ) C_ ( ( int ` J ) ` ( `' F " S ) ) )

Proof of Theorem cnntri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntop1 12851	. . 3 |- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. Top )
2	1	adantr 274	. 2 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ S C_ Y ) -> J e. Top )
3		cnvimass 4967	. . 3 |- ( `' F " S ) C_ dom F
4		eqid 2165	. . . . . 6 |- U. J = U. J
5		cncls2i.1	. . . . . 6 |- Y = U. K
6	4, 5	cnf 12854	. . . . 5 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F : U. J --> Y )
7	6	fdmd 5344	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) -> dom F = U. J )
8	7	adantr 274	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ S C_ Y ) -> dom F = U. J )
9	3, 8	sseqtrid 3192	. 2 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ S C_ Y ) -> ( `' F " S ) C_ U. J )
10		cntop2 12852	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. Top )
11	5	ntropn 12767	. . . 4 |- ( ( K e. Top /\ S C_ Y ) -> ( ( int ` K ) ` S ) e. K )
12	10, 11	sylan 281	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ S C_ Y ) -> ( ( int ` K ) ` S ) e. K )
13		cnima 12870	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ ( ( int ` K ) ` S ) e. K ) -> ( `' F " ( ( int ` K ) ` S ) ) e. J )
14	12, 13	syldan 280	. 2 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ S C_ Y ) -> ( `' F " ( ( int ` K ) ` S ) ) e. J )
15	5	ntrss2 12771	. . . 4 |- ( ( K e. Top /\ S C_ Y ) -> ( ( int ` K ) ` S ) C_ S )
16	10, 15	sylan 281	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ S C_ Y ) -> ( ( int ` K ) ` S ) C_ S )
17		imass2 4980	. . 3 |- ( ( ( int ` K ) ` S ) C_ S -> ( `' F " ( ( int ` K ) ` S ) ) C_ ( `' F " S ) )
18	16, 17	syl 14	. 2 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ S C_ Y ) -> ( `' F " ( ( int ` K ) ` S ) ) C_ ( `' F " S ) )
19	4	ssntr 12772	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ ( `' F " S ) C_ U. J ) /\ ( ( `' F " ( ( int ` K ) ` S ) ) e. J /\ ( `' F " ( ( int ` K ) ` S ) ) C_ ( `' F " S ) ) ) -> ( `' F " ( ( int ` K ) ` S ) ) C_ ( ( int ` J ) ` ( `' F " S ) ) )
20	2, 9, 14, 18, 19	syl22anc 1229	1 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ S C_ Y ) -> ( `' F " ( ( int ` K ) ` S ) ) C_ ( ( int ` J ) ` ( `' F " S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   C_ wss 3116   U.cuni 3789   `'ccnv 4603   dom cdm 4604   "cima 4607   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   Topctop 12645   intcnt 12743   Cn ccn 12835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-map 6616  df-top 12646  df-topon 12659  df-ntr 12746  df-cn 12838

This theorem is referenced by:  cnntr  12875  hmeontr  12963