Theorem ssntr 15146

Description: An open subset of a set is a subset of the set's interior. (Contributed by Jeff Hankins, 31-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
ssntr	⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑂 ∈ 𝐽 ∧ 𝑂 ⊆ 𝑆)) → 𝑂 ⊆ ((int‘𝐽)‘𝑆))

Proof of Theorem ssntr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3412	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ (𝑂 ∈ 𝐽 ∧ 𝑂 ∈ 𝒫 𝑆))
2		elpwg 3693	. . . . . 6 ⊢ (𝑂 ∈ 𝐽 → (𝑂 ∈ 𝒫 𝑆 ↔ 𝑂 ⊆ 𝑆))
3	2	pm5.32i 458	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝐽 ∧ 𝑂 ∈ 𝒫 𝑆) ↔ (𝑂 ∈ 𝐽 ∧ 𝑂 ⊆ 𝑆))
4	1, 3	bitr2i 185	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝐽 ∧ 𝑂 ⊆ 𝑆) ↔ 𝑂 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
5		elssuni 3958	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) → 𝑂 ⊆ ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
6	4, 5	sylbi 121	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝐽 ∧ 𝑂 ⊆ 𝑆) → 𝑂 ⊆ ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
7	6	adantl 277	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑂 ∈ 𝐽 ∧ 𝑂 ⊆ 𝑆)) → 𝑂 ⊆ ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
8		clscld.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
9	8	ntrval 15134	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
10	9	adantr 276	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑂 ∈ 𝐽 ∧ 𝑂 ⊆ 𝑆)) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
11	7, 10	sseqtrrd 3287	1 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑂 ∈ 𝐽 ∧ 𝑂 ⊆ 𝑆)) → 𝑂 ⊆ ((int‘𝐽)‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220  𝒫 cpw 3685  ∪ cuni 3930  ‘cfv 5372  Topctop 15021  intcnt 15117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-top 15022  df-ntr 15120

This theorem is referenced by:  ntrin  15148  neiint  15169  cnntri  15248