Theorem ssntr 14916

Description: An open subset of a set is a subset of the set's interior. (Contributed by Jeff Hankins, 31-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
ssntr	⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑂 ∈ 𝐽 ∧ 𝑂 ⊆ 𝑆)) → 𝑂 ⊆ ((int‘𝐽)‘𝑆))

Proof of Theorem ssntr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3392	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ (𝑂 ∈ 𝐽 ∧ 𝑂 ∈ 𝒫 𝑆))
2		elpwg 3664	. . . . . 6 ⊢ (𝑂 ∈ 𝐽 → (𝑂 ∈ 𝒫 𝑆 ↔ 𝑂 ⊆ 𝑆))
3	2	pm5.32i 454	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝐽 ∧ 𝑂 ∈ 𝒫 𝑆) ↔ (𝑂 ∈ 𝐽 ∧ 𝑂 ⊆ 𝑆))
4	1, 3	bitr2i 185	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝐽 ∧ 𝑂 ⊆ 𝑆) ↔ 𝑂 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
5		elssuni 3926	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) → 𝑂 ⊆ ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
6	4, 5	sylbi 121	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝐽 ∧ 𝑂 ⊆ 𝑆) → 𝑂 ⊆ ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
7	6	adantl 277	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑂 ∈ 𝐽 ∧ 𝑂 ⊆ 𝑆)) → 𝑂 ⊆ ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
8		clscld.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
9	8	ntrval 14904	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
10	9	adantr 276	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑂 ∈ 𝐽 ∧ 𝑂 ⊆ 𝑆)) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
11	7, 10	sseqtrrd 3267	1 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑂 ∈ 𝐽 ∧ 𝑂 ⊆ 𝑆)) → 𝑂 ⊆ ((int‘𝐽)‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   ∩ cin 3200   ⊆ wss 3201  𝒫 cpw 3656  ∪ cuni 3898  ‘cfv 5333  Topctop 14791  intcnt 14887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-top 14792  df-ntr 14890

This theorem is referenced by:  ntrin  14918  neiint  14939  cnntri  15018