ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ssntr GIF version

Theorem ssntr 14074
Description: An open subset of a set is a subset of the set's interior. (Contributed by Jeff Hankins, 31-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
ssntr (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑂𝐽𝑂𝑆)) → 𝑂 ⊆ ((int‘𝐽)‘𝑆))

Proof of Theorem ssntr
StepHypRef Expression
1 elin 3333 . . . . 5 (𝑂 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ (𝑂𝐽𝑂 ∈ 𝒫 𝑆))
2 elpwg 3598 . . . . . 6 (𝑂𝐽 → (𝑂 ∈ 𝒫 𝑆𝑂𝑆))
32pm5.32i 454 . . . . 5 ((𝑂𝐽𝑂 ∈ 𝒫 𝑆) ↔ (𝑂𝐽𝑂𝑆))
41, 3bitr2i 185 . . . 4 ((𝑂𝐽𝑂𝑆) ↔ 𝑂 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
5 elssuni 3852 . . . 4 (𝑂 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) → 𝑂 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
64, 5sylbi 121 . . 3 ((𝑂𝐽𝑂𝑆) → 𝑂 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
76adantl 277 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑂𝐽𝑂𝑆)) → 𝑂 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
8 clscld.1 . . . 4 𝑋 = 𝐽
98ntrval 14062 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
109adantr 276 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑂𝐽𝑂𝑆)) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
117, 10sseqtrrd 3209 1 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑂𝐽𝑂𝑆)) → 𝑂 ⊆ ((int‘𝐽)‘𝑆))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1364  wcel 2160  cin 3143  wss 3144  𝒫 cpw 3590   cuni 3824  cfv 5235  Topctop 13949  intcnt 14045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-top 13950  df-ntr 14048
This theorem is referenced by:  ntrin  14076  neiint  14097  cnntri  14176
  Copyright terms: Public domain W3C validator