Theorem ssntr 14836

Description: An open subset of a set is a subset of the set's interior. (Contributed by Jeff Hankins, 31-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
ssntr	⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑂 ∈ 𝐽 ∧ 𝑂 ⊆ 𝑆)) → 𝑂 ⊆ ((int‘𝐽)‘𝑆))

Proof of Theorem ssntr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3388	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ (𝑂 ∈ 𝐽 ∧ 𝑂 ∈ 𝒫 𝑆))
2		elpwg 3658	. . . . . 6 ⊢ (𝑂 ∈ 𝐽 → (𝑂 ∈ 𝒫 𝑆 ↔ 𝑂 ⊆ 𝑆))
3	2	pm5.32i 454	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝐽 ∧ 𝑂 ∈ 𝒫 𝑆) ↔ (𝑂 ∈ 𝐽 ∧ 𝑂 ⊆ 𝑆))
4	1, 3	bitr2i 185	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝐽 ∧ 𝑂 ⊆ 𝑆) ↔ 𝑂 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
5		elssuni 3919	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) → 𝑂 ⊆ ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
6	4, 5	sylbi 121	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝐽 ∧ 𝑂 ⊆ 𝑆) → 𝑂 ⊆ ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
7	6	adantl 277	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑂 ∈ 𝐽 ∧ 𝑂 ⊆ 𝑆)) → 𝑂 ⊆ ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
8		clscld.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
9	8	ntrval 14824	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
10	9	adantr 276	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑂 ∈ 𝐽 ∧ 𝑂 ⊆ 𝑆)) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
11	7, 10	sseqtrrd 3264	1 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑂 ∈ 𝐽 ∧ 𝑂 ⊆ 𝑆)) → 𝑂 ⊆ ((int‘𝐽)‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ∩ cin 3197   ⊆ wss 3198  𝒫 cpw 3650  ∪ cuni 3891  ‘cfv 5324  Topctop 14711  intcnt 14807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-top 14712  df-ntr 14810

This theorem is referenced by:  ntrin  14838  neiint  14859  cnntri  14938