Theorem subcan2d 8207

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )
pncand.2	|- ( ph -> B e. CC )
subaddd.3	|- ( ph -> C e. CC )
subcan2d.4	|- ( ph -> ( A - C ) = ( B - C ) )

Assertion

Ref	Expression
subcan2d	|- ( ph -> A = B )

Proof of Theorem subcan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcan2d.4	. 2 |- ( ph -> ( A - C ) = ( B - C ) )
2		negidd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. CC )
3		pncand.2	. . 3 |- ( ph -> B e. CC )
4		subaddd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. CC )
5		subcan2 8079	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A - C ) = ( B - C ) <-> A = B ) )
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1217	. 2 |- ( ph -> ( ( A - C ) = ( B - C ) <-> A = B ) )
7	1, 6	mpbid 146	1 |- ( ph -> A = B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 2125  (class class class)co 5814   CCcc 7709   - cmin 8025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-setind 4490  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-addcom 7811  ax-addass 7813  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-cnre 7822

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-br 3962  df-opab 4022  df-id 4248  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fv 5171  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-sub 8027

This theorem is referenced by:  iseqf1olemab  10366