Theorem 4sqlem10 12959

Description: Lemma for 4sq 12982. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem5.2	|- ( ph -> A e. ZZ )
4sqlem5.3	|- ( ph -> M e. NN )
4sqlem5.4	|- B = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sqlem10.5	|- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( B ^ 2 ) ) = 0 )

Assertion

Ref	Expression
4sqlem10	|- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( A ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )

Proof of Theorem 4sqlem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sqlem5.3	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. NN )
2	1	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> M e. NN )
3	2	nnzd 9600	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> M e. ZZ )
4		zsqcl 10871	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( M ^ 2 ) e. ZZ )
5	3, 4	syl 14	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ^ 2 ) e. ZZ )
6		4sqlem5.2	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. ZZ )
7	6	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> A e. ZZ )
8	2	nnred 9155	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> M e. RR )
9	8	rehalfcld 9390	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M / 2 ) e. RR )
10	9	recnd 8207	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M / 2 ) e. CC )
11	10	negnegd 8480	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> -u -u ( M / 2 ) = ( M / 2 ) )
12		4sqlem5.4	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- B = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
13	6, 1, 12	4sqlem5 12954	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( B e. ZZ /\ ( ( A - B ) / M ) e. ZZ ) )
14	13	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( B e. ZZ /\ ( ( A - B ) / M ) e. ZZ ) )
15	14	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> B e. ZZ )
16	15	zred 9601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ps ) -> B e. RR )
17	6, 1, 12	4sqlem6 12955	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( -u ( M / 2 ) <_ B /\ B < ( M / 2 ) ) )
18	17	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( -u ( M / 2 ) <_ B /\ B < ( M / 2 ) ) )
19	18	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ps ) -> B < ( M / 2 ) )
20	16, 19	ltned 8292	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ps ) -> B =/= ( M / 2 ) )
21	20	neneqd 2423	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> -. B = ( M / 2 ) )
22		2cnd 9215	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ps ) -> 2 e. CC )
23	22	sqvald 10931	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( 2 ^ 2 ) = ( 2 x. 2 ) )
24	23	oveq2d 6033	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( M ^ 2 ) / ( 2 ^ 2 ) ) = ( ( M ^ 2 ) / ( 2 x. 2 ) ) )
25	2	nncnd 9156	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> M e. CC )
26		2ap0 9235	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 # 0
27	26	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> 2 # 0 )
28	25, 22, 27	sqdivapd 10947	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( M / 2 ) ^ 2 ) = ( ( M ^ 2 ) / ( 2 ^ 2 ) ) )
29	25	sqcld 10932	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ^ 2 ) e. CC )
30	29, 22, 22, 27, 27	divdivap1d 9001	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) = ( ( M ^ 2 ) / ( 2 x. 2 ) ) )
31	24, 28, 30	3eqtr4d 2274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( M / 2 ) ^ 2 ) = ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) )
32	29	halfcld 9388	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( M ^ 2 ) / 2 ) e. CC )
33	32	halfcld 9388	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) e. CC )
34	15	zcnd 9602	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> B e. CC )
35	34	sqcld 10932	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( B ^ 2 ) e. CC )
36		4sqlem10.5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( B ^ 2 ) ) = 0 )
37	33, 35, 36	subeq0d 8497	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) = ( B ^ 2 ) )
38	31, 37	eqtr2d 2265	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( B ^ 2 ) = ( ( M / 2 ) ^ 2 ) )
39		zq 9859	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. ZZ -> B e. QQ )
40	15, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> B e. QQ )
41		2nn 9304	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. NN
42	41	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> 2 e. NN )
43		znq 9857	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ 2 e. NN ) -> ( M / 2 ) e. QQ )
44	3, 42, 43	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M / 2 ) e. QQ )
45		qsqeqor 10911	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. QQ /\ ( M / 2 ) e. QQ ) -> ( ( B ^ 2 ) = ( ( M / 2 ) ^ 2 ) <-> ( B = ( M / 2 ) \/ B = -u ( M / 2 ) ) ) )
46	40, 44, 45	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( B ^ 2 ) = ( ( M / 2 ) ^ 2 ) <-> ( B = ( M / 2 ) \/ B = -u ( M / 2 ) ) ) )
47	38, 46	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( B = ( M / 2 ) \/ B = -u ( M / 2 ) ) )
48	47	ord 731	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( -. B = ( M / 2 ) -> B = -u ( M / 2 ) ) )
49	21, 48	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> B = -u ( M / 2 ) )
50	49, 15	eqeltrrd 2309	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ps ) -> -u ( M / 2 ) e. ZZ )
51	50	znegcld 9603	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> -u -u ( M / 2 ) e. ZZ )
52	11, 51	eqeltrrd 2309	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M / 2 ) e. ZZ )
53	7, 52	zaddcld 9605	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( A + ( M / 2 ) ) e. ZZ )
54		zsqcl 10871	. . . 4 |- ( ( A + ( M / 2 ) ) e. ZZ -> ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) e. ZZ )
55	53, 54	syl 14	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) e. ZZ )
56	53, 3	zmulcld 9607	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) e. ZZ )
57		zq 9859	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ZZ -> A e. QQ )
58	7, 57	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> A e. QQ )
59		qaddcl 9868	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. QQ /\ ( M / 2 ) e. QQ ) -> ( A + ( M / 2 ) ) e. QQ )
60	58, 44, 59	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( A + ( M / 2 ) ) e. QQ )
61		nnq 9866	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> M e. QQ )
62	2, 61	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> M e. QQ )
63	2	nngt0d 9186	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> 0 < M )
64	60, 62, 63	modqcld 10589	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) e. QQ )
65		qcn 9867	. . . . . . 7 |- ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) e. QQ -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) e. CC )
66	64, 65	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) e. CC )
67		0cnd 8171	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> 0 e. CC )
68		df-neg 8352	. . . . . . 7 |- -u ( M / 2 ) = ( 0 - ( M / 2 ) )
69	49, 12, 68	3eqtr3g 2287	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) = ( 0 - ( M / 2 ) ) )
70	66, 67, 10, 69	subcan2d 8531	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) = 0 )
71		dvdsval3 12351	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ ( A + ( M / 2 ) ) e. ZZ ) -> ( M || ( A + ( M / 2 ) ) <-> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) = 0 ) )
72	2, 53, 71	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M || ( A + ( M / 2 ) ) <-> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) = 0 ) )
73	70, 72	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> M || ( A + ( M / 2 ) ) )
74		dvdssq 12601	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ ( A + ( M / 2 ) ) e. ZZ ) -> ( M || ( A + ( M / 2 ) ) <-> ( M ^ 2 ) || ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) ) )
75	3, 53, 74	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M || ( A + ( M / 2 ) ) <-> ( M ^ 2 ) || ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) ) )
76	73, 75	mpbid 147	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) )
77	25	sqvald 10931	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ^ 2 ) = ( M x. M ) )
78	2	nnne0d 9187	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> M =/= 0 )
79		dvdsmulcr 12381	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ ( A + ( M / 2 ) ) e. ZZ /\ ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) ) -> ( ( M x. M ) || ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) <-> M || ( A + ( M / 2 ) ) ) )
80	3, 53, 3, 78, 79	syl112anc 1277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( M x. M ) || ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) <-> M || ( A + ( M / 2 ) ) ) )
81	73, 80	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M x. M ) || ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) )
82	77, 81	eqbrtrd 4110	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) )
83	5, 55, 56, 76, 82	dvds2subd 12387	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) - ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) ) )
84	53	zcnd 9602	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( A + ( M / 2 ) ) e. CC )
85	84	sqvald 10931	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) = ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( A + ( M / 2 ) ) ) )
86	85	oveq1d 6032	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) - ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) ) = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( A + ( M / 2 ) ) ) - ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) ) )
87	84, 84, 25	subdid 8592	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( ( A + ( M / 2 ) ) - M ) ) = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( A + ( M / 2 ) ) ) - ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) ) )
88	25	2halvesd 9389	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( M / 2 ) + ( M / 2 ) ) = M )
89	88	oveq2d 6033	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) - ( ( M / 2 ) + ( M / 2 ) ) ) = ( ( A + ( M / 2 ) ) - M ) )
90	7	zcnd 9602	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ps ) -> A e. CC )
91	90, 10, 10	pnpcan2d 8527	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) - ( ( M / 2 ) + ( M / 2 ) ) ) = ( A - ( M / 2 ) ) )
92	89, 91	eqtr3d 2266	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) - M ) = ( A - ( M / 2 ) ) )
93	92	oveq2d 6033	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( ( A + ( M / 2 ) ) - M ) ) = ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( A - ( M / 2 ) ) ) )
94		subsq 10907	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( M / 2 ) e. CC ) -> ( ( A ^ 2 ) - ( ( M / 2 ) ^ 2 ) ) = ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( A - ( M / 2 ) ) ) )
95	90, 10, 94	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A ^ 2 ) - ( ( M / 2 ) ^ 2 ) ) = ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( A - ( M / 2 ) ) ) )
96	31	oveq2d 6033	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A ^ 2 ) - ( ( M / 2 ) ^ 2 ) ) = ( ( A ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
97	93, 95, 96	3eqtr2d 2270	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( ( A + ( M / 2 ) ) - M ) ) = ( ( A ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
98	86, 87, 97	3eqtr2d 2270	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) - ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) ) = ( ( A ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
99	83, 98	breqtrd 4114	1 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( A ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715   = wceq 1397   e. wcel 2202   =/= wne 2402   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017   CCcc 8029   0cc0 8031   + caddc 8034   x. cmul 8036   < clt 8213   <_ cle 8214   - cmin 8349   -ucneg 8350   # cap 8760   / cdiv 8851   NNcn 9142   2c2 9193   ZZcz 9478   QQcq 9852   mod cmo 10583   ^cexp 10799   || cdvds 12347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-sup 7182  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-q 9853  df-rp 9888  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-fl 10529  df-mod 10584  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559  df-dvds 12348  df-gcd 12524

This theorem is referenced by:  4sqlem16  12978