Theorem 4sqlem10 12525

Description: Lemma for 4sq 12548. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem5.2	|- ( ph -> A e. ZZ )
4sqlem5.3	|- ( ph -> M e. NN )
4sqlem5.4	|- B = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sqlem10.5	|- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( B ^ 2 ) ) = 0 )

Assertion

Ref	Expression
4sqlem10	|- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( A ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )

Proof of Theorem 4sqlem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sqlem5.3	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. NN )
2	1	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> M e. NN )
3	2	nnzd 9438	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> M e. ZZ )
4		zsqcl 10681	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( M ^ 2 ) e. ZZ )
5	3, 4	syl 14	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ^ 2 ) e. ZZ )
6		4sqlem5.2	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. ZZ )
7	6	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> A e. ZZ )
8	2	nnred 8995	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> M e. RR )
9	8	rehalfcld 9229	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M / 2 ) e. RR )
10	9	recnd 8048	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M / 2 ) e. CC )
11	10	negnegd 8321	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> -u -u ( M / 2 ) = ( M / 2 ) )
12		4sqlem5.4	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- B = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
13	6, 1, 12	4sqlem5 12520	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( B e. ZZ /\ ( ( A - B ) / M ) e. ZZ ) )
14	13	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( B e. ZZ /\ ( ( A - B ) / M ) e. ZZ ) )
15	14	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> B e. ZZ )
16	15	zred 9439	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ps ) -> B e. RR )
17	6, 1, 12	4sqlem6 12521	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( -u ( M / 2 ) <_ B /\ B < ( M / 2 ) ) )
18	17	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( -u ( M / 2 ) <_ B /\ B < ( M / 2 ) ) )
19	18	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ps ) -> B < ( M / 2 ) )
20	16, 19	ltned 8133	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ps ) -> B =/= ( M / 2 ) )
21	20	neneqd 2385	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> -. B = ( M / 2 ) )
22		2cnd 9055	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ps ) -> 2 e. CC )
23	22	sqvald 10741	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( 2 ^ 2 ) = ( 2 x. 2 ) )
24	23	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( M ^ 2 ) / ( 2 ^ 2 ) ) = ( ( M ^ 2 ) / ( 2 x. 2 ) ) )
25	2	nncnd 8996	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> M e. CC )
26		2ap0 9075	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 # 0
27	26	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> 2 # 0 )
28	25, 22, 27	sqdivapd 10757	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( M / 2 ) ^ 2 ) = ( ( M ^ 2 ) / ( 2 ^ 2 ) ) )
29	25	sqcld 10742	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ^ 2 ) e. CC )
30	29, 22, 22, 27, 27	divdivap1d 8841	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) = ( ( M ^ 2 ) / ( 2 x. 2 ) ) )
31	24, 28, 30	3eqtr4d 2236	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( M / 2 ) ^ 2 ) = ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) )
32	29	halfcld 9227	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( M ^ 2 ) / 2 ) e. CC )
33	32	halfcld 9227	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) e. CC )
34	15	zcnd 9440	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> B e. CC )
35	34	sqcld 10742	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( B ^ 2 ) e. CC )
36		4sqlem10.5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( B ^ 2 ) ) = 0 )
37	33, 35, 36	subeq0d 8338	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) = ( B ^ 2 ) )
38	31, 37	eqtr2d 2227	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( B ^ 2 ) = ( ( M / 2 ) ^ 2 ) )
39		zq 9691	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. ZZ -> B e. QQ )
40	15, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> B e. QQ )
41		2nn 9143	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. NN
42	41	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> 2 e. NN )
43		znq 9689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ 2 e. NN ) -> ( M / 2 ) e. QQ )
44	3, 42, 43	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M / 2 ) e. QQ )
45		qsqeqor 10721	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. QQ /\ ( M / 2 ) e. QQ ) -> ( ( B ^ 2 ) = ( ( M / 2 ) ^ 2 ) <-> ( B = ( M / 2 ) \/ B = -u ( M / 2 ) ) ) )
46	40, 44, 45	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( B ^ 2 ) = ( ( M / 2 ) ^ 2 ) <-> ( B = ( M / 2 ) \/ B = -u ( M / 2 ) ) ) )
47	38, 46	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( B = ( M / 2 ) \/ B = -u ( M / 2 ) ) )
48	47	ord 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( -. B = ( M / 2 ) -> B = -u ( M / 2 ) ) )
49	21, 48	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> B = -u ( M / 2 ) )
50	49, 15	eqeltrrd 2271	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ps ) -> -u ( M / 2 ) e. ZZ )
51	50	znegcld 9441	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> -u -u ( M / 2 ) e. ZZ )
52	11, 51	eqeltrrd 2271	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M / 2 ) e. ZZ )
53	7, 52	zaddcld 9443	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( A + ( M / 2 ) ) e. ZZ )
54		zsqcl 10681	. . . 4 |- ( ( A + ( M / 2 ) ) e. ZZ -> ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) e. ZZ )
55	53, 54	syl 14	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) e. ZZ )
56	53, 3	zmulcld 9445	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) e. ZZ )
57		zq 9691	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ZZ -> A e. QQ )
58	7, 57	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> A e. QQ )
59		qaddcl 9700	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. QQ /\ ( M / 2 ) e. QQ ) -> ( A + ( M / 2 ) ) e. QQ )
60	58, 44, 59	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( A + ( M / 2 ) ) e. QQ )
61		nnq 9698	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> M e. QQ )
62	2, 61	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> M e. QQ )
63	2	nngt0d 9026	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> 0 < M )
64	60, 62, 63	modqcld 10399	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) e. QQ )
65		qcn 9699	. . . . . . 7 |- ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) e. QQ -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) e. CC )
66	64, 65	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) e. CC )
67		0cnd 8012	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> 0 e. CC )
68		df-neg 8193	. . . . . . 7 |- -u ( M / 2 ) = ( 0 - ( M / 2 ) )
69	49, 12, 68	3eqtr3g 2249	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) = ( 0 - ( M / 2 ) ) )
70	66, 67, 10, 69	subcan2d 8372	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) = 0 )
71		dvdsval3 11934	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ ( A + ( M / 2 ) ) e. ZZ ) -> ( M || ( A + ( M / 2 ) ) <-> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) = 0 ) )
72	2, 53, 71	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M || ( A + ( M / 2 ) ) <-> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) = 0 ) )
73	70, 72	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> M || ( A + ( M / 2 ) ) )
74		dvdssq 12168	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ ( A + ( M / 2 ) ) e. ZZ ) -> ( M || ( A + ( M / 2 ) ) <-> ( M ^ 2 ) || ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) ) )
75	3, 53, 74	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M || ( A + ( M / 2 ) ) <-> ( M ^ 2 ) || ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) ) )
76	73, 75	mpbid 147	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) )
77	25	sqvald 10741	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ^ 2 ) = ( M x. M ) )
78	2	nnne0d 9027	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> M =/= 0 )
79		dvdsmulcr 11964	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ ( A + ( M / 2 ) ) e. ZZ /\ ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) ) -> ( ( M x. M ) || ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) <-> M || ( A + ( M / 2 ) ) ) )
80	3, 53, 3, 78, 79	syl112anc 1253	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( M x. M ) || ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) <-> M || ( A + ( M / 2 ) ) ) )
81	73, 80	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M x. M ) || ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) )
82	77, 81	eqbrtrd 4051	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) )
83	5, 55, 56, 76, 82	dvds2subd 11970	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) - ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) ) )
84	53	zcnd 9440	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( A + ( M / 2 ) ) e. CC )
85	84	sqvald 10741	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) = ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( A + ( M / 2 ) ) ) )
86	85	oveq1d 5933	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) - ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) ) = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( A + ( M / 2 ) ) ) - ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) ) )
87	84, 84, 25	subdid 8433	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( ( A + ( M / 2 ) ) - M ) ) = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( A + ( M / 2 ) ) ) - ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) ) )
88	25	2halvesd 9228	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( M / 2 ) + ( M / 2 ) ) = M )
89	88	oveq2d 5934	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) - ( ( M / 2 ) + ( M / 2 ) ) ) = ( ( A + ( M / 2 ) ) - M ) )
90	7	zcnd 9440	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ps ) -> A e. CC )
91	90, 10, 10	pnpcan2d 8368	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) - ( ( M / 2 ) + ( M / 2 ) ) ) = ( A - ( M / 2 ) ) )
92	89, 91	eqtr3d 2228	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) - M ) = ( A - ( M / 2 ) ) )
93	92	oveq2d 5934	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( ( A + ( M / 2 ) ) - M ) ) = ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( A - ( M / 2 ) ) ) )
94		subsq 10717	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( M / 2 ) e. CC ) -> ( ( A ^ 2 ) - ( ( M / 2 ) ^ 2 ) ) = ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( A - ( M / 2 ) ) ) )
95	90, 10, 94	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A ^ 2 ) - ( ( M / 2 ) ^ 2 ) ) = ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( A - ( M / 2 ) ) ) )
96	31	oveq2d 5934	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A ^ 2 ) - ( ( M / 2 ) ^ 2 ) ) = ( ( A ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
97	93, 95, 96	3eqtr2d 2232	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( ( A + ( M / 2 ) ) - M ) ) = ( ( A ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
98	86, 87, 97	3eqtr2d 2232	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) - ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) ) = ( ( A ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
99	83, 98	breqtrd 4055	1 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( A ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918   CCcc 7870   0cc0 7872   + caddc 7875   x. cmul 7877   < clt 8054   <_ cle 8055   - cmin 8190   -ucneg 8191   # cap 8600   / cdiv 8691   NNcn 8982   2c2 9033   ZZcz 9317   QQcq 9684   mod cmo 10393   ^cexp 10609   || cdvds 11930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-sup 7043  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-fl 10339  df-mod 10394  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-dvds 11931  df-gcd 12080

This theorem is referenced by:  4sqlem16  12544