Theorem 4sqlem10 13110

Description: Lemma for 4sq 13133. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem5.2	|- ( ph -> A e. ZZ )
4sqlem5.3	|- ( ph -> M e. NN )
4sqlem5.4	|- B = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sqlem10.5	|- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( B ^ 2 ) ) = 0 )

Assertion

Ref	Expression
4sqlem10	|- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( A ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )

Proof of Theorem 4sqlem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sqlem5.3	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. NN )
2	1	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> M e. NN )
3	2	nnzd 9717	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> M e. ZZ )
4		zsqcl 10996	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( M ^ 2 ) e. ZZ )
5	3, 4	syl 14	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ^ 2 ) e. ZZ )
6		4sqlem5.2	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. ZZ )
7	6	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> A e. ZZ )
8	2	nnred 9267	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> M e. RR )
9	8	rehalfcld 9502	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M / 2 ) e. RR )
10	9	recnd 8318	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M / 2 ) e. CC )
11	10	negnegd 8591	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> -u -u ( M / 2 ) = ( M / 2 ) )
12		4sqlem5.4	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- B = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
13	6, 1, 12	4sqlem5 13105	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( B e. ZZ /\ ( ( A - B ) / M ) e. ZZ ) )
14	13	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( B e. ZZ /\ ( ( A - B ) / M ) e. ZZ ) )
15	14	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> B e. ZZ )
16	15	zred 9718	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ps ) -> B e. RR )
17	6, 1, 12	4sqlem6 13106	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( -u ( M / 2 ) <_ B /\ B < ( M / 2 ) ) )
18	17	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( -u ( M / 2 ) <_ B /\ B < ( M / 2 ) ) )
19	18	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ps ) -> B < ( M / 2 ) )
20	16, 19	ltned 8403	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ps ) -> B =/= ( M / 2 ) )
21	20	neneqd 2435	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> -. B = ( M / 2 ) )
22		2cnd 9327	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ps ) -> 2 e. CC )
23	22	sqvald 11057	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( 2 ^ 2 ) = ( 2 x. 2 ) )
24	23	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( M ^ 2 ) / ( 2 ^ 2 ) ) = ( ( M ^ 2 ) / ( 2 x. 2 ) ) )
25	2	nncnd 9268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> M e. CC )
26		2ap0 9347	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 # 0
27	26	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> 2 # 0 )
28	25, 22, 27	sqdivapd 11073	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( M / 2 ) ^ 2 ) = ( ( M ^ 2 ) / ( 2 ^ 2 ) ) )
29	25	sqcld 11058	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ^ 2 ) e. CC )
30	29, 22, 22, 27, 27	divdivap1d 9113	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) = ( ( M ^ 2 ) / ( 2 x. 2 ) ) )
31	24, 28, 30	3eqtr4d 2277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( M / 2 ) ^ 2 ) = ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) )
32	29	halfcld 9500	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( M ^ 2 ) / 2 ) e. CC )
33	32	halfcld 9500	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) e. CC )
34	15	zcnd 9719	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> B e. CC )
35	34	sqcld 11058	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( B ^ 2 ) e. CC )
36		4sqlem10.5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( B ^ 2 ) ) = 0 )
37	33, 35, 36	subeq0d 8608	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) = ( B ^ 2 ) )
38	31, 37	eqtr2d 2268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( B ^ 2 ) = ( ( M / 2 ) ^ 2 ) )
39		zq 9976	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. ZZ -> B e. QQ )
40	15, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> B e. QQ )
41		2nn 9416	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. NN
42	41	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> 2 e. NN )
43		znq 9974	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ 2 e. NN ) -> ( M / 2 ) e. QQ )
44	3, 42, 43	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M / 2 ) e. QQ )
45		qsqeqor 11036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. QQ /\ ( M / 2 ) e. QQ ) -> ( ( B ^ 2 ) = ( ( M / 2 ) ^ 2 ) <-> ( B = ( M / 2 ) \/ B = -u ( M / 2 ) ) ) )
46	40, 44, 45	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( B ^ 2 ) = ( ( M / 2 ) ^ 2 ) <-> ( B = ( M / 2 ) \/ B = -u ( M / 2 ) ) ) )
47	38, 46	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( B = ( M / 2 ) \/ B = -u ( M / 2 ) ) )
48	47	ord 732	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( -. B = ( M / 2 ) -> B = -u ( M / 2 ) ) )
49	21, 48	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> B = -u ( M / 2 ) )
50	49, 15	eqeltrrd 2312	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ps ) -> -u ( M / 2 ) e. ZZ )
51	50	znegcld 9720	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> -u -u ( M / 2 ) e. ZZ )
52	11, 51	eqeltrrd 2312	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M / 2 ) e. ZZ )
53	7, 52	zaddcld 9722	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( A + ( M / 2 ) ) e. ZZ )
54		zsqcl 10996	. . . 4 |- ( ( A + ( M / 2 ) ) e. ZZ -> ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) e. ZZ )
55	53, 54	syl 14	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) e. ZZ )
56	53, 3	zmulcld 9724	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) e. ZZ )
57		zq 9976	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ZZ -> A e. QQ )
58	7, 57	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> A e. QQ )
59		qaddcl 9985	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. QQ /\ ( M / 2 ) e. QQ ) -> ( A + ( M / 2 ) ) e. QQ )
60	58, 44, 59	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( A + ( M / 2 ) ) e. QQ )
61		nnq 9983	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> M e. QQ )
62	2, 61	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> M e. QQ )
63	2	nngt0d 9298	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> 0 < M )
64	60, 62, 63	modqcld 10714	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) e. QQ )
65		qcn 9984	. . . . . . 7 |- ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) e. QQ -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) e. CC )
66	64, 65	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) e. CC )
67		0cnd 8283	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> 0 e. CC )
68		df-neg 8463	. . . . . . 7 |- -u ( M / 2 ) = ( 0 - ( M / 2 ) )
69	49, 12, 68	3eqtr3g 2290	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) = ( 0 - ( M / 2 ) ) )
70	66, 67, 10, 69	subcan2d 8642	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) = 0 )
71		dvdsval3 12502	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ ( A + ( M / 2 ) ) e. ZZ ) -> ( M || ( A + ( M / 2 ) ) <-> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) = 0 ) )
72	2, 53, 71	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M || ( A + ( M / 2 ) ) <-> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) = 0 ) )
73	70, 72	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> M || ( A + ( M / 2 ) ) )
74		dvdssq 12752	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ ( A + ( M / 2 ) ) e. ZZ ) -> ( M || ( A + ( M / 2 ) ) <-> ( M ^ 2 ) || ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) ) )
75	3, 53, 74	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M || ( A + ( M / 2 ) ) <-> ( M ^ 2 ) || ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) ) )
76	73, 75	mpbid 147	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) )
77	25	sqvald 11057	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ^ 2 ) = ( M x. M ) )
78	2	nnne0d 9299	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> M =/= 0 )
79		dvdsmulcr 12532	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ ( A + ( M / 2 ) ) e. ZZ /\ ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) ) -> ( ( M x. M ) || ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) <-> M || ( A + ( M / 2 ) ) ) )
80	3, 53, 3, 78, 79	syl112anc 1278	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( M x. M ) || ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) <-> M || ( A + ( M / 2 ) ) ) )
81	73, 80	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M x. M ) || ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) )
82	77, 81	eqbrtrd 4136	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) )
83	5, 55, 56, 76, 82	dvds2subd 12538	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) - ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) ) )
84	53	zcnd 9719	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( A + ( M / 2 ) ) e. CC )
85	84	sqvald 11057	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) = ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( A + ( M / 2 ) ) ) )
86	85	oveq1d 6073	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) - ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) ) = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( A + ( M / 2 ) ) ) - ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) ) )
87	84, 84, 25	subdid 8704	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( ( A + ( M / 2 ) ) - M ) ) = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( A + ( M / 2 ) ) ) - ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) ) )
88	25	2halvesd 9501	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( M / 2 ) + ( M / 2 ) ) = M )
89	88	oveq2d 6074	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) - ( ( M / 2 ) + ( M / 2 ) ) ) = ( ( A + ( M / 2 ) ) - M ) )
90	7	zcnd 9719	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ps ) -> A e. CC )
91	90, 10, 10	pnpcan2d 8638	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) - ( ( M / 2 ) + ( M / 2 ) ) ) = ( A - ( M / 2 ) ) )
92	89, 91	eqtr3d 2269	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) - M ) = ( A - ( M / 2 ) ) )
93	92	oveq2d 6074	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( ( A + ( M / 2 ) ) - M ) ) = ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( A - ( M / 2 ) ) ) )
94		subsq 11032	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( M / 2 ) e. CC ) -> ( ( A ^ 2 ) - ( ( M / 2 ) ^ 2 ) ) = ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( A - ( M / 2 ) ) ) )
95	90, 10, 94	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A ^ 2 ) - ( ( M / 2 ) ^ 2 ) ) = ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( A - ( M / 2 ) ) ) )
96	31	oveq2d 6074	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A ^ 2 ) - ( ( M / 2 ) ^ 2 ) ) = ( ( A ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
97	93, 95, 96	3eqtr2d 2273	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( ( A + ( M / 2 ) ) - M ) ) = ( ( A ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
98	86, 87, 97	3eqtr2d 2273	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) - ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) ) = ( ( A ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
99	83, 98	breqtrd 4140	1 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( A ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   = wceq 1398   e. wcel 2205   =/= wne 2414   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058   CCcc 8141   0cc0 8143   + caddc 8146   x. cmul 8148   < clt 8324   <_ cle 8325   - cmin 8460   -ucneg 8461   # cap 8872   / cdiv 8963   NNcn 9254   2c2 9305   ZZcz 9594   QQcq 9969   mod cmo 10708   ^cexp 10924   || cdvds 12498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-sup 7288  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-fl 10654  df-mod 10709  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-dvds 12499  df-gcd 12675

This theorem is referenced by:  4sqlem16  13129