Theorem 4sqlem10 12368

Description: Lemma for 4sq (not yet proved here) . (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem5.2	|- ( ph -> A e. ZZ )
4sqlem5.3	|- ( ph -> M e. NN )
4sqlem5.4	|- B = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sqlem10.5	|- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( B ^ 2 ) ) = 0 )

Assertion

Ref	Expression
4sqlem10	|- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( A ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )

Proof of Theorem 4sqlem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sqlem5.3	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. NN )
2	1	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> M e. NN )
3	2	nnzd 9363	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> M e. ZZ )
4		zsqcl 10576	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( M ^ 2 ) e. ZZ )
5	3, 4	syl 14	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ^ 2 ) e. ZZ )
6		4sqlem5.2	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. ZZ )
7	6	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> A e. ZZ )
8	2	nnred 8921	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> M e. RR )
9	8	rehalfcld 9154	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M / 2 ) e. RR )
10	9	recnd 7976	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M / 2 ) e. CC )
11	10	negnegd 8249	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> -u -u ( M / 2 ) = ( M / 2 ) )
12		4sqlem5.4	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- B = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
13	6, 1, 12	4sqlem5 12363	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( B e. ZZ /\ ( ( A - B ) / M ) e. ZZ ) )
14	13	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( B e. ZZ /\ ( ( A - B ) / M ) e. ZZ ) )
15	14	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> B e. ZZ )
16	15	zred 9364	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ps ) -> B e. RR )
17	6, 1, 12	4sqlem6 12364	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( -u ( M / 2 ) <_ B /\ B < ( M / 2 ) ) )
18	17	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( -u ( M / 2 ) <_ B /\ B < ( M / 2 ) ) )
19	18	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ps ) -> B < ( M / 2 ) )
20	16, 19	ltned 8061	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ps ) -> B =/= ( M / 2 ) )
21	20	neneqd 2368	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> -. B = ( M / 2 ) )
22		2cnd 8981	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ps ) -> 2 e. CC )
23	22	sqvald 10636	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( 2 ^ 2 ) = ( 2 x. 2 ) )
24	23	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( M ^ 2 ) / ( 2 ^ 2 ) ) = ( ( M ^ 2 ) / ( 2 x. 2 ) ) )
25	2	nncnd 8922	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> M e. CC )
26		2ap0 9001	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 # 0
27	26	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> 2 # 0 )
28	25, 22, 27	sqdivapd 10652	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( M / 2 ) ^ 2 ) = ( ( M ^ 2 ) / ( 2 ^ 2 ) ) )
29	25	sqcld 10637	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ^ 2 ) e. CC )
30	29, 22, 22, 27, 27	divdivap1d 8768	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) = ( ( M ^ 2 ) / ( 2 x. 2 ) ) )
31	24, 28, 30	3eqtr4d 2220	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( M / 2 ) ^ 2 ) = ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) )
32	29	halfcld 9152	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( M ^ 2 ) / 2 ) e. CC )
33	32	halfcld 9152	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) e. CC )
34	15	zcnd 9365	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> B e. CC )
35	34	sqcld 10637	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( B ^ 2 ) e. CC )
36		4sqlem10.5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( B ^ 2 ) ) = 0 )
37	33, 35, 36	subeq0d 8266	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) = ( B ^ 2 ) )
38	31, 37	eqtr2d 2211	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( B ^ 2 ) = ( ( M / 2 ) ^ 2 ) )
39		zq 9615	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. ZZ -> B e. QQ )
40	15, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> B e. QQ )
41		2nn 9069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. NN
42	41	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> 2 e. NN )
43		znq 9613	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ 2 e. NN ) -> ( M / 2 ) e. QQ )
44	3, 42, 43	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M / 2 ) e. QQ )
45		qsqeqor 10616	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. QQ /\ ( M / 2 ) e. QQ ) -> ( ( B ^ 2 ) = ( ( M / 2 ) ^ 2 ) <-> ( B = ( M / 2 ) \/ B = -u ( M / 2 ) ) ) )
46	40, 44, 45	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( B ^ 2 ) = ( ( M / 2 ) ^ 2 ) <-> ( B = ( M / 2 ) \/ B = -u ( M / 2 ) ) ) )
47	38, 46	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( B = ( M / 2 ) \/ B = -u ( M / 2 ) ) )
48	47	ord 724	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( -. B = ( M / 2 ) -> B = -u ( M / 2 ) ) )
49	21, 48	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> B = -u ( M / 2 ) )
50	49, 15	eqeltrrd 2255	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ps ) -> -u ( M / 2 ) e. ZZ )
51	50	znegcld 9366	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> -u -u ( M / 2 ) e. ZZ )
52	11, 51	eqeltrrd 2255	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M / 2 ) e. ZZ )
53	7, 52	zaddcld 9368	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( A + ( M / 2 ) ) e. ZZ )
54		zsqcl 10576	. . . 4 |- ( ( A + ( M / 2 ) ) e. ZZ -> ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) e. ZZ )
55	53, 54	syl 14	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) e. ZZ )
56	53, 3	zmulcld 9370	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) e. ZZ )
57		zq 9615	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ZZ -> A e. QQ )
58	7, 57	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> A e. QQ )
59		qaddcl 9624	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. QQ /\ ( M / 2 ) e. QQ ) -> ( A + ( M / 2 ) ) e. QQ )
60	58, 44, 59	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( A + ( M / 2 ) ) e. QQ )
61		nnq 9622	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> M e. QQ )
62	2, 61	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> M e. QQ )
63	2	nngt0d 8952	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> 0 < M )
64	60, 62, 63	modqcld 10314	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) e. QQ )
65		qcn 9623	. . . . . . 7 |- ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) e. QQ -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) e. CC )
66	64, 65	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) e. CC )
67		0cnd 7941	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> 0 e. CC )
68		df-neg 8121	. . . . . . 7 |- -u ( M / 2 ) = ( 0 - ( M / 2 ) )
69	49, 12, 68	3eqtr3g 2233	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) = ( 0 - ( M / 2 ) ) )
70	66, 67, 10, 69	subcan2d 8300	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) = 0 )
71		dvdsval3 11782	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ ( A + ( M / 2 ) ) e. ZZ ) -> ( M || ( A + ( M / 2 ) ) <-> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) = 0 ) )
72	2, 53, 71	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M || ( A + ( M / 2 ) ) <-> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) = 0 ) )
73	70, 72	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> M || ( A + ( M / 2 ) ) )
74		dvdssq 12015	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ ( A + ( M / 2 ) ) e. ZZ ) -> ( M || ( A + ( M / 2 ) ) <-> ( M ^ 2 ) || ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) ) )
75	3, 53, 74	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M || ( A + ( M / 2 ) ) <-> ( M ^ 2 ) || ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) ) )
76	73, 75	mpbid 147	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) )
77	25	sqvald 10636	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ^ 2 ) = ( M x. M ) )
78	2	nnne0d 8953	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> M =/= 0 )
79		dvdsmulcr 11812	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ ( A + ( M / 2 ) ) e. ZZ /\ ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) ) -> ( ( M x. M ) || ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) <-> M || ( A + ( M / 2 ) ) ) )
80	3, 53, 3, 78, 79	syl112anc 1242	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( M x. M ) || ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) <-> M || ( A + ( M / 2 ) ) ) )
81	73, 80	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M x. M ) || ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) )
82	77, 81	eqbrtrd 4022	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) )
83	5, 55, 56, 76, 82	dvds2subd 11818	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) - ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) ) )
84	53	zcnd 9365	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( A + ( M / 2 ) ) e. CC )
85	84	sqvald 10636	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) = ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( A + ( M / 2 ) ) ) )
86	85	oveq1d 5884	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) - ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) ) = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( A + ( M / 2 ) ) ) - ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) ) )
87	84, 84, 25	subdid 8361	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( ( A + ( M / 2 ) ) - M ) ) = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( A + ( M / 2 ) ) ) - ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) ) )
88	25	2halvesd 9153	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( M / 2 ) + ( M / 2 ) ) = M )
89	88	oveq2d 5885	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) - ( ( M / 2 ) + ( M / 2 ) ) ) = ( ( A + ( M / 2 ) ) - M ) )
90	7	zcnd 9365	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ps ) -> A e. CC )
91	90, 10, 10	pnpcan2d 8296	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) - ( ( M / 2 ) + ( M / 2 ) ) ) = ( A - ( M / 2 ) ) )
92	89, 91	eqtr3d 2212	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) - M ) = ( A - ( M / 2 ) ) )
93	92	oveq2d 5885	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( ( A + ( M / 2 ) ) - M ) ) = ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( A - ( M / 2 ) ) ) )
94		subsq 10612	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( M / 2 ) e. CC ) -> ( ( A ^ 2 ) - ( ( M / 2 ) ^ 2 ) ) = ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( A - ( M / 2 ) ) ) )
95	90, 10, 94	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A ^ 2 ) - ( ( M / 2 ) ^ 2 ) ) = ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( A - ( M / 2 ) ) ) )
96	31	oveq2d 5885	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A ^ 2 ) - ( ( M / 2 ) ^ 2 ) ) = ( ( A ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
97	93, 95, 96	3eqtr2d 2216	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( ( A + ( M / 2 ) ) - M ) ) = ( ( A ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
98	86, 87, 97	3eqtr2d 2216	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) - ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) ) = ( ( A ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
99	83, 98	breqtrd 4026	1 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( A ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869   CCcc 7800   0cc0 7802   + caddc 7805   x. cmul 7807   < clt 7982   <_ cle 7983   - cmin 8118   -ucneg 8119   # cap 8528   / cdiv 8618   NNcn 8908   2c2 8959   ZZcz 9242   QQcq 9608   mod cmo 10308   ^cexp 10505   || cdvds 11778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-sup 6977  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-fl 10256  df-mod 10309  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-dvds 11779  df-gcd 11927

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