Theorem 4sqlem10 12398

Description: Lemma for 4sq (not yet proved here) . (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem5.2	|- ( ph -> A e. ZZ )
4sqlem5.3	|- ( ph -> M e. NN )
4sqlem5.4	|- B = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sqlem10.5	|- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( B ^ 2 ) ) = 0 )

Assertion

Ref	Expression
4sqlem10	|- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( A ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )

Proof of Theorem 4sqlem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sqlem5.3	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. NN )
2	1	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> M e. NN )
3	2	nnzd 9387	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> M e. ZZ )
4		zsqcl 10604	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( M ^ 2 ) e. ZZ )
5	3, 4	syl 14	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ^ 2 ) e. ZZ )
6		4sqlem5.2	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. ZZ )
7	6	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> A e. ZZ )
8	2	nnred 8945	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> M e. RR )
9	8	rehalfcld 9178	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M / 2 ) e. RR )
10	9	recnd 7999	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M / 2 ) e. CC )
11	10	negnegd 8272	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> -u -u ( M / 2 ) = ( M / 2 ) )
12		4sqlem5.4	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- B = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
13	6, 1, 12	4sqlem5 12393	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( B e. ZZ /\ ( ( A - B ) / M ) e. ZZ ) )
14	13	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( B e. ZZ /\ ( ( A - B ) / M ) e. ZZ ) )
15	14	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> B e. ZZ )
16	15	zred 9388	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ps ) -> B e. RR )
17	6, 1, 12	4sqlem6 12394	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( -u ( M / 2 ) <_ B /\ B < ( M / 2 ) ) )
18	17	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( -u ( M / 2 ) <_ B /\ B < ( M / 2 ) ) )
19	18	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ps ) -> B < ( M / 2 ) )
20	16, 19	ltned 8084	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ps ) -> B =/= ( M / 2 ) )
21	20	neneqd 2378	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> -. B = ( M / 2 ) )
22		2cnd 9005	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ps ) -> 2 e. CC )
23	22	sqvald 10664	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( 2 ^ 2 ) = ( 2 x. 2 ) )
24	23	oveq2d 5904	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( M ^ 2 ) / ( 2 ^ 2 ) ) = ( ( M ^ 2 ) / ( 2 x. 2 ) ) )
25	2	nncnd 8946	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> M e. CC )
26		2ap0 9025	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 # 0
27	26	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> 2 # 0 )
28	25, 22, 27	sqdivapd 10680	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( M / 2 ) ^ 2 ) = ( ( M ^ 2 ) / ( 2 ^ 2 ) ) )
29	25	sqcld 10665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ^ 2 ) e. CC )
30	29, 22, 22, 27, 27	divdivap1d 8792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) = ( ( M ^ 2 ) / ( 2 x. 2 ) ) )
31	24, 28, 30	3eqtr4d 2230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( M / 2 ) ^ 2 ) = ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) )
32	29	halfcld 9176	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( M ^ 2 ) / 2 ) e. CC )
33	32	halfcld 9176	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) e. CC )
34	15	zcnd 9389	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> B e. CC )
35	34	sqcld 10665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( B ^ 2 ) e. CC )
36		4sqlem10.5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( B ^ 2 ) ) = 0 )
37	33, 35, 36	subeq0d 8289	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) = ( B ^ 2 ) )
38	31, 37	eqtr2d 2221	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( B ^ 2 ) = ( ( M / 2 ) ^ 2 ) )
39		zq 9639	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. ZZ -> B e. QQ )
40	15, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> B e. QQ )
41		2nn 9093	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. NN
42	41	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> 2 e. NN )
43		znq 9637	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ 2 e. NN ) -> ( M / 2 ) e. QQ )
44	3, 42, 43	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M / 2 ) e. QQ )
45		qsqeqor 10644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. QQ /\ ( M / 2 ) e. QQ ) -> ( ( B ^ 2 ) = ( ( M / 2 ) ^ 2 ) <-> ( B = ( M / 2 ) \/ B = -u ( M / 2 ) ) ) )
46	40, 44, 45	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( B ^ 2 ) = ( ( M / 2 ) ^ 2 ) <-> ( B = ( M / 2 ) \/ B = -u ( M / 2 ) ) ) )
47	38, 46	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( B = ( M / 2 ) \/ B = -u ( M / 2 ) ) )
48	47	ord 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( -. B = ( M / 2 ) -> B = -u ( M / 2 ) ) )
49	21, 48	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> B = -u ( M / 2 ) )
50	49, 15	eqeltrrd 2265	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ps ) -> -u ( M / 2 ) e. ZZ )
51	50	znegcld 9390	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> -u -u ( M / 2 ) e. ZZ )
52	11, 51	eqeltrrd 2265	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M / 2 ) e. ZZ )
53	7, 52	zaddcld 9392	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( A + ( M / 2 ) ) e. ZZ )
54		zsqcl 10604	. . . 4 |- ( ( A + ( M / 2 ) ) e. ZZ -> ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) e. ZZ )
55	53, 54	syl 14	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) e. ZZ )
56	53, 3	zmulcld 9394	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) e. ZZ )
57		zq 9639	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ZZ -> A e. QQ )
58	7, 57	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> A e. QQ )
59		qaddcl 9648	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. QQ /\ ( M / 2 ) e. QQ ) -> ( A + ( M / 2 ) ) e. QQ )
60	58, 44, 59	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( A + ( M / 2 ) ) e. QQ )
61		nnq 9646	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> M e. QQ )
62	2, 61	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> M e. QQ )
63	2	nngt0d 8976	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> 0 < M )
64	60, 62, 63	modqcld 10341	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) e. QQ )
65		qcn 9647	. . . . . . 7 |- ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) e. QQ -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) e. CC )
66	64, 65	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) e. CC )
67		0cnd 7963	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> 0 e. CC )
68		df-neg 8144	. . . . . . 7 |- -u ( M / 2 ) = ( 0 - ( M / 2 ) )
69	49, 12, 68	3eqtr3g 2243	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) = ( 0 - ( M / 2 ) ) )
70	66, 67, 10, 69	subcan2d 8323	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) = 0 )
71		dvdsval3 11811	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ ( A + ( M / 2 ) ) e. ZZ ) -> ( M || ( A + ( M / 2 ) ) <-> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) = 0 ) )
72	2, 53, 71	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M || ( A + ( M / 2 ) ) <-> ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) = 0 ) )
73	70, 72	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> M || ( A + ( M / 2 ) ) )
74		dvdssq 12045	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ ( A + ( M / 2 ) ) e. ZZ ) -> ( M || ( A + ( M / 2 ) ) <-> ( M ^ 2 ) || ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) ) )
75	3, 53, 74	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M || ( A + ( M / 2 ) ) <-> ( M ^ 2 ) || ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) ) )
76	73, 75	mpbid 147	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) )
77	25	sqvald 10664	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ^ 2 ) = ( M x. M ) )
78	2	nnne0d 8977	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> M =/= 0 )
79		dvdsmulcr 11841	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ ( A + ( M / 2 ) ) e. ZZ /\ ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) ) -> ( ( M x. M ) || ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) <-> M || ( A + ( M / 2 ) ) ) )
80	3, 53, 3, 78, 79	syl112anc 1252	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( M x. M ) || ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) <-> M || ( A + ( M / 2 ) ) ) )
81	73, 80	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M x. M ) || ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) )
82	77, 81	eqbrtrd 4037	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) )
83	5, 55, 56, 76, 82	dvds2subd 11847	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) - ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) ) )
84	53	zcnd 9389	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( A + ( M / 2 ) ) e. CC )
85	84	sqvald 10664	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) = ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( A + ( M / 2 ) ) ) )
86	85	oveq1d 5903	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) - ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) ) = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( A + ( M / 2 ) ) ) - ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) ) )
87	84, 84, 25	subdid 8384	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( ( A + ( M / 2 ) ) - M ) ) = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( A + ( M / 2 ) ) ) - ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) ) )
88	25	2halvesd 9177	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( M / 2 ) + ( M / 2 ) ) = M )
89	88	oveq2d 5904	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) - ( ( M / 2 ) + ( M / 2 ) ) ) = ( ( A + ( M / 2 ) ) - M ) )
90	7	zcnd 9389	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ps ) -> A e. CC )
91	90, 10, 10	pnpcan2d 8319	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) - ( ( M / 2 ) + ( M / 2 ) ) ) = ( A - ( M / 2 ) ) )
92	89, 91	eqtr3d 2222	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) - M ) = ( A - ( M / 2 ) ) )
93	92	oveq2d 5904	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( ( A + ( M / 2 ) ) - M ) ) = ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( A - ( M / 2 ) ) ) )
94		subsq 10640	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( M / 2 ) e. CC ) -> ( ( A ^ 2 ) - ( ( M / 2 ) ^ 2 ) ) = ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( A - ( M / 2 ) ) ) )
95	90, 10, 94	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A ^ 2 ) - ( ( M / 2 ) ^ 2 ) ) = ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( A - ( M / 2 ) ) ) )
96	31	oveq2d 5904	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A ^ 2 ) - ( ( M / 2 ) ^ 2 ) ) = ( ( A ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
97	93, 95, 96	3eqtr2d 2226	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + ( M / 2 ) ) x. ( ( A + ( M / 2 ) ) - M ) ) = ( ( A ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
98	86, 87, 97	3eqtr2d 2226	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( A + ( M / 2 ) ) ^ 2 ) - ( ( A + ( M / 2 ) ) x. M ) ) = ( ( A ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
99	83, 98	breqtrd 4041	1 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( A ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1363   e. wcel 2158   =/= wne 2357   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888   CCcc 7822   0cc0 7824   + caddc 7827   x. cmul 7829   < clt 8005   <_ cle 8006   - cmin 8141   -ucneg 8142   # cap 8551   / cdiv 8642   NNcn 8932   2c2 8983   ZZcz 9266   QQcq 9632   mod cmo 10335   ^cexp 10532   || cdvds 11807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943  ax-caucvg 7944

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-frec 6405  df-sup 6996  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-q 9633  df-rp 9667  df-fz 10022  df-fzo 10156  df-fl 10283  df-mod 10336  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-cj 10864  df-re 10865  df-im 10866  df-rsqrt 11020  df-abs 11021  df-dvds 11808  df-gcd 11957

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