Theorem iseqf1olemab 10573

Description: Lemma for seq3f1o 10588. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemqcl.k	|- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
iseqf1olemqcl.j	|- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1olemqcl.a	|- ( ph -> A e. ( M ... N ) )
iseqf1olemnab.b	|- ( ph -> B e. ( M ... N ) )
iseqf1olemnab.eq	|- ( ph -> ( Q ` A ) = ( Q ` B ) )
iseqf1olemnab.q	|- Q = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) )
iseqf1olemab.a	|- ( ph -> A e. ( K ... ( `' J ` K ) ) )
iseqf1olemab.b	|- ( ph -> B e. ( K ... ( `' J ` K ) ) )

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemab	|- ( ph -> A = B )

Distinct variable groups:   u, A   u, B   u, J   u, K   u, M   u, N

Allowed substitution hints:   ph( u)   Q( u)

Proof of Theorem iseqf1olemab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqtr3 2213	. . . . 5 |- ( ( B = K /\ A = K ) -> B = A )
2	1	eqcomd 2199	. . . 4 |- ( ( B = K /\ A = K ) -> A = B )
3	2	adantll 476	. . 3 |- ( ( ( ph /\ B = K ) /\ A = K ) -> A = B )
4		iseqf1olemqcl.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. ( M ... N ) )
5		elfzelz 10091	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( M ... N ) -> A e. ZZ )
6	4, 5	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. ZZ )
7	6	zred 9439	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. RR )
8	7	ltm1d 8951	. . . . 5 |- ( ph -> ( A - 1 ) < A )
9	8	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ B = K ) /\ -. A = K ) -> ( A - 1 ) < A )
10	7	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ B = K ) /\ -. A = K ) -> A e. RR )
11		peano2rem 8286	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( A - 1 ) e. RR )
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ B = K ) /\ -. A = K ) -> ( A - 1 ) e. RR )
13		iseqf1olemab.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. ( K ... ( `' J ` K ) ) )
14		elfzle2 10094	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( K ... ( `' J ` K ) ) -> A <_ ( `' J ` K ) )
15	13, 14	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> A <_ ( `' J ` K ) )
16	15	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ B = K ) /\ -. A = K ) -> A <_ ( `' J ` K ) )
17		iseqf1olemqcl.k	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
18		iseqf1olemqcl.j	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
19		iseqf1olemnab.q	. . . . . . . . . . . 12 |- Q = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) )
20	17, 18, 4, 19	iseqf1olemqval 10571	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Q ` A ) = if ( A e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( A = K , K , ( J ` ( A - 1 ) ) ) , ( J ` A ) ) )
21	13	iftrued 3564	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> if ( A e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( A = K , K , ( J ` ( A - 1 ) ) ) , ( J ` A ) ) = if ( A = K , K , ( J ` ( A - 1 ) ) ) )
22	20, 21	eqtrd 2226	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Q ` A ) = if ( A = K , K , ( J ` ( A - 1 ) ) ) )
23	22	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ B = K ) /\ -. A = K ) -> ( Q ` A ) = if ( A = K , K , ( J ` ( A - 1 ) ) ) )
24		iseqf1olemnab.eq	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Q ` A ) = ( Q ` B ) )
25	24	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ B = K ) /\ -. A = K ) -> ( Q ` A ) = ( Q ` B ) )
26		iseqf1olemnab.b	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B e. ( M ... N ) )
27	17, 18, 26, 19	iseqf1olemqval 10571	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( Q ` B ) = if ( B e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( B = K , K , ( J ` ( B - 1 ) ) ) , ( J ` B ) ) )
28		iseqf1olemab.b	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B e. ( K ... ( `' J ` K ) ) )
29	28	iftrued 3564	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> if ( B e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( B = K , K , ( J ` ( B - 1 ) ) ) , ( J ` B ) ) = if ( B = K , K , ( J ` ( B - 1 ) ) ) )
30	27, 29	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Q ` B ) = if ( B = K , K , ( J ` ( B - 1 ) ) ) )
31	30	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ B = K ) /\ -. A = K ) -> ( Q ` B ) = if ( B = K , K , ( J ` ( B - 1 ) ) ) )
32		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ B = K ) /\ -. A = K ) -> B = K )
33	32	iftrued 3564	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ B = K ) /\ -. A = K ) -> if ( B = K , K , ( J ` ( B - 1 ) ) ) = K )
34	31, 33	eqtrd 2226	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ B = K ) /\ -. A = K ) -> ( Q ` B ) = K )
35	25, 34	eqtrd 2226	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ B = K ) /\ -. A = K ) -> ( Q ` A ) = K )
36		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ B = K ) /\ -. A = K ) -> -. A = K )
37	36	iffalsed 3567	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ B = K ) /\ -. A = K ) -> if ( A = K , K , ( J ` ( A - 1 ) ) ) = ( J ` ( A - 1 ) ) )
38	23, 35, 37	3eqtr3d 2234	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ B = K ) /\ -. A = K ) -> K = ( J ` ( A - 1 ) ) )
39	38	fveq2d 5558	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ B = K ) /\ -. A = K ) -> ( `' J ` K ) = ( `' J ` ( J ` ( A - 1 ) ) ) )
40	18	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ B = K ) /\ -. A = K ) -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
41		elfzel1 10090	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( M ... N ) -> M e. ZZ )
42	17, 41	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. ZZ )
43		elfzel2 10089	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ZZ )
44	17, 43	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. ZZ )
45		peano2zm 9355	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ZZ -> ( A - 1 ) e. ZZ )
46	6, 45	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A - 1 ) e. ZZ )
47	42, 44, 46	3jca 1179	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( A - 1 ) e. ZZ ) )
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. A = K ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( A - 1 ) e. ZZ ) )
49	42	zred 9439	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. RR )
50	49	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. A = K ) -> M e. RR )
51		elfzelz 10091	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ZZ )
52	17, 51	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> K e. ZZ )
53	52	zred 9439	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> K e. RR )
54	53	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. A = K ) -> K e. RR )
55	46	zred 9439	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A - 1 ) e. RR )
56	55	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. A = K ) -> ( A - 1 ) e. RR )
57		elfzle1 10093	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ( M ... N ) -> M <_ K )
58	17, 57	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M <_ K )
59	58	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. A = K ) -> M <_ K )
60		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ -. A = K ) -> -. A = K )
61		eqcom 2195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A = K <-> K = A )
62	60, 61	sylnib 677	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ -. A = K ) -> -. K = A )
63		elfzle1 10093	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. ( K ... ( `' J ` K ) ) -> K <_ A )
64	13, 63	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> K <_ A )
65		zleloe 9364	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( K <_ A <-> ( K < A \/ K = A ) ) )
66	52, 6, 65	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( K <_ A <-> ( K < A \/ K = A ) ) )
67	64, 66	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( K < A \/ K = A ) )
68	67	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ -. A = K ) -> ( K < A \/ K = A ) )
69	62, 68	ecased 1360	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -. A = K ) -> K < A )
70		zltlem1 9374	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( K < A <-> K <_ ( A - 1 ) ) )
71	52, 6, 70	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( K < A <-> K <_ ( A - 1 ) ) )
72	71	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -. A = K ) -> ( K < A <-> K <_ ( A - 1 ) ) )
73	69, 72	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. A = K ) -> K <_ ( A - 1 ) )
74	50, 54, 56, 59, 73	letrd 8143	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. A = K ) -> M <_ ( A - 1 ) )
75	7	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. A = K ) -> A e. RR )
76	44	zred 9439	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. RR )
77	76	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. A = K ) -> N e. RR )
78	75	lem1d 8952	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. A = K ) -> ( A - 1 ) <_ A )
79		elfzle2 10094	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( M ... N ) -> A <_ N )
80	4, 79	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A <_ N )
81	80	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. A = K ) -> A <_ N )
82	56, 75, 77, 78, 81	letrd 8143	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. A = K ) -> ( A - 1 ) <_ N )
83	74, 82	jca 306	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. A = K ) -> ( M <_ ( A - 1 ) /\ ( A - 1 ) <_ N ) )
84		elfz2 10081	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A - 1 ) e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( A - 1 ) e. ZZ ) /\ ( M <_ ( A - 1 ) /\ ( A - 1 ) <_ N ) ) )
85	48, 83, 84	sylanbrc 417	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. A = K ) -> ( A - 1 ) e. ( M ... N ) )
86	85	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ B = K ) /\ -. A = K ) -> ( A - 1 ) e. ( M ... N ) )
87		f1ocnvfv1 5820	. . . . . . . 8 |- ( ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ ( A - 1 ) e. ( M ... N ) ) -> ( `' J ` ( J ` ( A - 1 ) ) ) = ( A - 1 ) )
88	40, 86, 87	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ B = K ) /\ -. A = K ) -> ( `' J ` ( J ` ( A - 1 ) ) ) = ( A - 1 ) )
89	39, 88	eqtrd 2226	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ B = K ) /\ -. A = K ) -> ( `' J ` K ) = ( A - 1 ) )
90	16, 89	breqtrd 4055	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ B = K ) /\ -. A = K ) -> A <_ ( A - 1 ) )
91	10, 12, 90	lensymd 8141	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ B = K ) /\ -. A = K ) -> -. ( A - 1 ) < A )
92	9, 91	pm2.21dd 621	. . 3 |- ( ( ( ph /\ B = K ) /\ -. A = K ) -> A = B )
93		zdceq 9392	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> DECID A = K )
94	6, 52, 93	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> DECID A = K )
95		exmiddc 837	. . . . 5 |- (DECID A = K -> ( A = K \/ -. A = K ) )
96	94, 95	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( A = K \/ -. A = K ) )
97	96	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ B = K ) -> ( A = K \/ -. A = K ) )
98	3, 92, 97	mpjaodan 799	. 2 |- ( ( ph /\ B = K ) -> A = B )
99		elfzelz 10091	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( M ... N ) -> B e. ZZ )
100	26, 99	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. ZZ )
101	100	zred 9439	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. RR )
102	101	ltm1d 8951	. . . . 5 |- ( ph -> ( B - 1 ) < B )
103	102	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. B = K ) /\ A = K ) -> ( B - 1 ) < B )
104	101	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. B = K ) /\ A = K ) -> B e. RR )
105		peano2rem 8286	. . . . . 6 |- ( B e. RR -> ( B - 1 ) e. RR )
106	104, 105	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. B = K ) /\ A = K ) -> ( B - 1 ) e. RR )
107		elfzle2 10094	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( K ... ( `' J ` K ) ) -> B <_ ( `' J ` K ) )
108	28, 107	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> B <_ ( `' J ` K ) )
109	108	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ -. B = K ) /\ A = K ) -> B <_ ( `' J ` K ) )
110	30	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ -. B = K ) /\ A = K ) -> ( Q ` B ) = if ( B = K , K , ( J ` ( B - 1 ) ) ) )
111	24	eqcomd 2199	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Q ` B ) = ( Q ` A ) )
112	111	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ -. B = K ) /\ A = K ) -> ( Q ` B ) = ( Q ` A ) )
113	22	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ -. B = K ) /\ A = K ) -> ( Q ` A ) = if ( A = K , K , ( J ` ( A - 1 ) ) ) )
114		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. B = K ) /\ A = K ) -> A = K )
115	114	iftrued 3564	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ -. B = K ) /\ A = K ) -> if ( A = K , K , ( J ` ( A - 1 ) ) ) = K )
116	113, 115	eqtrd 2226	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ -. B = K ) /\ A = K ) -> ( Q ` A ) = K )
117	112, 116	eqtrd 2226	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ -. B = K ) /\ A = K ) -> ( Q ` B ) = K )
118		simplr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ -. B = K ) /\ A = K ) -> -. B = K )
119	118	iffalsed 3567	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ -. B = K ) /\ A = K ) -> if ( B = K , K , ( J ` ( B - 1 ) ) ) = ( J ` ( B - 1 ) ) )
120	110, 117, 119	3eqtr3d 2234	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ -. B = K ) /\ A = K ) -> K = ( J ` ( B - 1 ) ) )
121	120	fveq2d 5558	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. B = K ) /\ A = K ) -> ( `' J ` K ) = ( `' J ` ( J ` ( B - 1 ) ) ) )
122	18	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ -. B = K ) /\ A = K ) -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
123		peano2zm 9355	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. ZZ -> ( B - 1 ) e. ZZ )
124	100, 123	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B - 1 ) e. ZZ )
125	42, 44, 124	3jca 1179	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( B - 1 ) e. ZZ ) )
126	125	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. B = K ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( B - 1 ) e. ZZ ) )
127	49	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. B = K ) -> M e. RR )
128	53	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. B = K ) -> K e. RR )
129	101, 105	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( B - 1 ) e. RR )
130	129	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. B = K ) -> ( B - 1 ) e. RR )
131	58	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. B = K ) -> M <_ K )
132		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ -. B = K ) -> -. B = K )
133		eqcom 2195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B = K <-> K = B )
134	132, 133	sylnib 677	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ -. B = K ) -> -. K = B )
135		elfzle1 10093	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( B e. ( K ... ( `' J ` K ) ) -> K <_ B )
136	28, 135	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> K <_ B )
137	136	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ -. B = K ) -> K <_ B )
138		zleloe 9364	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( K <_ B <-> ( K < B \/ K = B ) ) )
139	52, 100, 138	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( K <_ B <-> ( K < B \/ K = B ) ) )
140	139	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ -. B = K ) -> ( K <_ B <-> ( K < B \/ K = B ) ) )
141	137, 140	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ -. B = K ) -> ( K < B \/ K = B ) )
142	134, 141	ecased 1360	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -. B = K ) -> K < B )
143		zltlem1 9374	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( K < B <-> K <_ ( B - 1 ) ) )
144	52, 100, 143	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( K < B <-> K <_ ( B - 1 ) ) )
145	144	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -. B = K ) -> ( K < B <-> K <_ ( B - 1 ) ) )
146	142, 145	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. B = K ) -> K <_ ( B - 1 ) )
147	127, 128, 130, 131, 146	letrd 8143	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. B = K ) -> M <_ ( B - 1 ) )
148	101	lem1d 8952	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( B - 1 ) <_ B )
149		elfzle2 10094	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. ( M ... N ) -> B <_ N )
150	26, 149	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B <_ N )
151	129, 101, 76, 148, 150	letrd 8143	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B - 1 ) <_ N )
152	151	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. B = K ) -> ( B - 1 ) <_ N )
153	147, 152	jca 306	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. B = K ) -> ( M <_ ( B - 1 ) /\ ( B - 1 ) <_ N ) )
154		elfz2 10081	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B - 1 ) e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( B - 1 ) e. ZZ ) /\ ( M <_ ( B - 1 ) /\ ( B - 1 ) <_ N ) ) )
155	126, 153, 154	sylanbrc 417	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. B = K ) -> ( B - 1 ) e. ( M ... N ) )
156	155	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ -. B = K ) /\ A = K ) -> ( B - 1 ) e. ( M ... N ) )
157		f1ocnvfv1 5820	. . . . . . . 8 |- ( ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ ( B - 1 ) e. ( M ... N ) ) -> ( `' J ` ( J ` ( B - 1 ) ) ) = ( B - 1 ) )
158	122, 156, 157	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. B = K ) /\ A = K ) -> ( `' J ` ( J ` ( B - 1 ) ) ) = ( B - 1 ) )
159	121, 158	eqtrd 2226	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ -. B = K ) /\ A = K ) -> ( `' J ` K ) = ( B - 1 ) )
160	109, 159	breqtrd 4055	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. B = K ) /\ A = K ) -> B <_ ( B - 1 ) )
161	104, 106, 160	lensymd 8141	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. B = K ) /\ A = K ) -> -. ( B - 1 ) < B )
162	103, 161	pm2.21dd 621	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. B = K ) /\ A = K ) -> A = B )
163	6	zcnd 9440	. . . . 5 |- ( ph -> A e. CC )
164	163	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. B = K ) /\ -. A = K ) -> A e. CC )
165	100	zcnd 9440	. . . . 5 |- ( ph -> B e. CC )
166	165	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. B = K ) /\ -. A = K ) -> B e. CC )
167		1cnd 8035	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. B = K ) /\ -. A = K ) -> 1 e. CC )
168	24	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ -. B = K ) /\ -. A = K ) -> ( Q ` A ) = ( Q ` B ) )
169	22	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. B = K ) /\ -. A = K ) -> ( Q ` A ) = if ( A = K , K , ( J ` ( A - 1 ) ) ) )
170		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ -. B = K ) /\ -. A = K ) -> -. A = K )
171	170	iffalsed 3567	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. B = K ) /\ -. A = K ) -> if ( A = K , K , ( J ` ( A - 1 ) ) ) = ( J ` ( A - 1 ) ) )
172	169, 171	eqtrd 2226	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ -. B = K ) /\ -. A = K ) -> ( Q ` A ) = ( J ` ( A - 1 ) ) )
173	30	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. B = K ) /\ -. A = K ) -> ( Q ` B ) = if ( B = K , K , ( J ` ( B - 1 ) ) ) )
174		simplr 528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ -. B = K ) /\ -. A = K ) -> -. B = K )
175	174	iffalsed 3567	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. B = K ) /\ -. A = K ) -> if ( B = K , K , ( J ` ( B - 1 ) ) ) = ( J ` ( B - 1 ) ) )
176	173, 175	eqtrd 2226	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ -. B = K ) /\ -. A = K ) -> ( Q ` B ) = ( J ` ( B - 1 ) ) )
177	168, 172, 176	3eqtr3d 2234	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. B = K ) /\ -. A = K ) -> ( J ` ( A - 1 ) ) = ( J ` ( B - 1 ) ) )
178		f1of1 5499	. . . . . . . 8 |- ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> J : ( M ... N ) -1-1-> ( M ... N ) )
179	18, 178	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-> ( M ... N ) )
180	179	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ -. B = K ) /\ -. A = K ) -> J : ( M ... N ) -1-1-> ( M ... N ) )
181	85	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ -. B = K ) /\ -. A = K ) -> ( A - 1 ) e. ( M ... N ) )
182	155	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ -. B = K ) /\ -. A = K ) -> ( B - 1 ) e. ( M ... N ) )
183		f1veqaeq 5812	. . . . . 6 |- ( ( J : ( M ... N ) -1-1-> ( M ... N ) /\ ( ( A - 1 ) e. ( M ... N ) /\ ( B - 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( J ` ( A - 1 ) ) = ( J ` ( B - 1 ) ) -> ( A - 1 ) = ( B - 1 ) ) )
184	180, 181, 182, 183	syl12anc 1247	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. B = K ) /\ -. A = K ) -> ( ( J ` ( A - 1 ) ) = ( J ` ( B - 1 ) ) -> ( A - 1 ) = ( B - 1 ) ) )
185	177, 184	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. B = K ) /\ -. A = K ) -> ( A - 1 ) = ( B - 1 ) )
186	164, 166, 167, 185	subcan2d 8372	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. B = K ) /\ -. A = K ) -> A = B )
187	96	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ -. B = K ) -> ( A = K \/ -. A = K ) )
188	162, 186, 187	mpjaodan 799	. 2 |- ( ( ph /\ -. B = K ) -> A = B )
189		zdceq 9392	. . . 4 |- ( ( B e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> DECID B = K )
190	100, 52, 189	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> DECID B = K )
191		exmiddc 837	. . 3 |- (DECID B = K -> ( B = K \/ -. B = K ) )
192	190, 191	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( B = K \/ -. B = K ) )
193	98, 188, 192	mpjaodan 799	1 |- ( ph -> A = B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   ifcif 3557   class class class wbr 4029   |-> cmpt 4090   `'ccnv 4658   -1-1->wf1 5251   -1-1-onto->wf1o 5253   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   CCcc 7870   RRcr 7871   1c1 7873   < clt 8054   <_ cle 8055   - cmin 8190   ZZcz 9317   ...cfz 10074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075

This theorem is referenced by:  iseqf1olemmo  10576