Theorem subcan2d 8537

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
subcan2d.4	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐵 − 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
subcan2d	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem subcan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcan2d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐵 − 𝐶))
2		negidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		pncand.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		subaddd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5		subcan2 8409	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐶) = (𝐵 − 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1273	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶) = (𝐵 − 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))
7	1, 6	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  (class class class)co 6023  ℂcc 8035   − cmin 8355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-setind 4637  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-addcom 8137  ax-addass 8139  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-cnre 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-br 4090  df-opab 4152  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-sub 8357

This theorem is referenced by:  iseqf1olemab  10770  4sqlem10  12983