Theorem subcan2 8403

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 8-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
subcan2	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A - C ) = ( B - C ) <-> A = B ) )

Proof of Theorem subcan2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1023	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> A e. CC )
2		simp3 1025	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> C e. CC )
3		subcl 8377	. . . 4 |- ( ( B e. CC /\ C e. CC ) -> ( B - C ) e. CC )
4	3	3adant1 1041	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( B - C ) e. CC )
5		subadd2 8382	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ C e. CC /\ ( B - C ) e. CC ) -> ( ( A - C ) = ( B - C ) <-> ( ( B - C ) + C ) = A ) )
6	1, 2, 4, 5	syl3anc 1273	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A - C ) = ( B - C ) <-> ( ( B - C ) + C ) = A ) )
7		npcan 8387	. . . . 5 |- ( ( B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( B - C ) + C ) = B )
8	7	3adant1 1041	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( B - C ) + C ) = B )
9	8	eqeq1d 2240	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( ( B - C ) + C ) = A <-> B = A ) )
10		eqcom 2233	. . 3 |- ( B = A <-> A = B )
11	9, 10	bitrdi 196	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( ( B - C ) + C ) = A <-> A = B ) )
12	6, 11	bitrd 188	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A - C ) = ( B - C ) <-> A = B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202  (class class class)co 6017   CCcc 8029   + caddc 8034   - cmin 8349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-setind 4635  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-sub 8351

This theorem is referenced by:  subeq0  8404  subcan2i  8472  subcan2d  8531  subcan2ad  8534  zextlt  9571