Theorem subrg1cl 14646

Description: A subring contains the multiplicative identity. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrg1cl.a	|- .1. = ( 1r ` R )

Assertion

Ref	Expression
subrg1cl	|- ( A e. (SubRing ` R ) -> .1. e. A )

Proof of Theorem subrg1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . . 4 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
2		subrg1cl.a	. . . 4 |- .1. = ( 1r ` R )
3	1, 2	issubrg 14638	. . 3 |- ( A e. (SubRing ` R ) <-> ( ( R e. Ring /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) /\ ( A C_ ( Base ` R ) /\ .1. e. A ) ) )
4	3	simprbi 275	. 2 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> ( A C_ ( Base ` R ) /\ .1. e. A ) )
5	4	simprd 114	1 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> .1. e. A )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   C_ wss 3220   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Basecbs 13410   ↾_s cress 13411   1rcur 14369   Ringcrg 14407  SubRingcsubrg 14634

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-fv 5388  df-ov 6091  df-inn 9314  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-subrg 14636

This theorem is used by:  subrg1  14648  subrgsubm  14651  issubrg2  14658  subrgintm  14660  subsubrg  14662  zsssubrg  15031  issubassa2  15144