Theorem subrgbas 13726

Description: Base set of a subring structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgbas.b	|- S = ( R ↾s A )

Assertion

Ref	Expression
subrgbas	|- ( A e. (SubRing ` R ) -> A = ( Base ` S ) )

Proof of Theorem subrgbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgsubg 13723	. 2 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> A e. (SubGrp ` R ) )
2		subrgbas.b	. . 3 |- S = ( R ↾s A )
3	2	subgbas 13248	. 2 |- ( A e. (SubGrp ` R ) -> A = ( Base ` S ) )
4	1, 3	syl 14	1 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> A = ( Base ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   Basecbs 12618   ↾_s cress 12619  SubGrpcsubg 13237  SubRingcsubrg 13713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-iress 12626  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-subg 13240  df-ring 13494  df-subrg 13715

This theorem is referenced by:  subrg1  13727  subrgmcl  13729  subrgdvds  13731  subrguss  13732  subrginv  13733  subrgdv  13734  subrgunit  13735  subsubrg  13741