Theorem subrgbas 14243

Description: Base set of a subring structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgbas.b	|- S = ( R ↾s A )

Assertion

Ref	Expression
subrgbas	|- ( A e. (SubRing ` R ) -> A = ( Base ` S ) )

Proof of Theorem subrgbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgsubg 14240	. 2 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> A e. (SubGrp ` R ) )
2		subrgbas.b	. . 3 |- S = ( R ↾s A )
3	2	subgbas 13764	. 2 |- ( A e. (SubGrp ` R ) -> A = ( Base ` S ) )
4	1, 3	syl 14	1 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> A = ( Base ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   Basecbs 13081   ↾_s cress 13082  SubGrpcsubg 13753  SubRingcsubrg 14230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1re 8125  ax-addrcl 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-sets 13088  df-iress 13089  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-subg 13756  df-ring 14010  df-subrg 14232

This theorem is referenced by:  subrg1  14244  subrgmcl  14246  subrgdvds  14248  subrguss  14249  subrginv  14250  subrgdv  14251  subrgunit  14252  subsubrg  14258