Theorem subrgbas 14622

Description: Base set of a subring structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgbas.b	|- S = ( R ↾s A )

Assertion

Ref	Expression
subrgbas	|- ( A e. (SubRing ` R ) -> A = ( Base ` S ) )

Proof of Theorem subrgbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgsubg 14619	. 2 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> A e. (SubGrp ` R ) )
2		subrgbas.b	. . 3 |- S = ( R ↾s A )
3	2	subgbas 14034	. 2 |- ( A e. (SubGrp ` R ) -> A = ( Base ` S ) )
4	1, 3	syl 14	1 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> A = ( Base ` S ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Basecbs 13404   ↾_s cress 13405  SubGrpcsubg 14023  SubRingcsubrg 14609

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1re 8274  ax-addrcl 8277

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-sets 13411  df-iress 13412  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-subg 14026  df-ring 14386  df-subrg 14611

This theorem is used by:  subrg1  14623  subrgmcl  14625  subrgdvds  14627  subrguss  14628  subrginv  14629  subrgdv  14630  subrgunit  14631  subsubrg  14637  issubassa3  15096