Theorem zsssubrg 14618

Description: The integers are a subset of any subring of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
zsssubrg	|- ( R e. (SubRing ` ℂfld ) -> ZZ C_ R )

Proof of Theorem zsssubrg

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( R e. (SubRing ` ℂfld ) /\ x e. ZZ ) -> x e. ZZ )
2		ax-1cn 8125	. . . . . 6 |- 1 e. CC
3		cnfldmulg 14609	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ 1 e. CC ) -> ( x (.g ` ℂfld ) 1 ) = ( x x. 1 ) )
4	1, 2, 3	sylancl 413	. . . . 5 |- ( ( R e. (SubRing ` ℂfld ) /\ x e. ZZ ) -> ( x (.g ` ℂfld ) 1 ) = ( x x. 1 ) )
5		zcn 9484	. . . . . . 7 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
6	5	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( R e. (SubRing ` ℂfld ) /\ x e. ZZ ) -> x e. CC )
7	6	mulridd 8196	. . . . 5 |- ( ( R e. (SubRing ` ℂfld ) /\ x e. ZZ ) -> ( x x. 1 ) = x )
8	4, 7	eqtrd 2264	. . . 4 |- ( ( R e. (SubRing ` ℂfld ) /\ x e. ZZ ) -> ( x (.g ` ℂfld ) 1 ) = x )
9		subrgsubg 14260	. . . . . 6 |- ( R e. (SubRing ` ℂfld ) -> R e. (SubGrp ` ℂfld ) )
10	9	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( R e. (SubRing ` ℂfld ) /\ x e. ZZ ) -> R e. (SubGrp ` ℂfld ) )
11		cnfld1 14605	. . . . . . 7 |- 1 = ( 1r ` ℂfld )
12	11	subrg1cl 14262	. . . . . 6 |- ( R e. (SubRing ` ℂfld ) -> 1 e. R )
13	12	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( R e. (SubRing ` ℂfld ) /\ x e. ZZ ) -> 1 e. R )
14		eqid 2231	. . . . . 6 |- (.g ` ℂfld ) = (.g ` ℂfld )
15	14	subgmulgcl 13792	. . . . 5 |- ( ( R e. (SubGrp ` ℂfld ) /\ x e. ZZ /\ 1 e. R ) -> ( x (.g ` ℂfld ) 1 ) e. R )
16	10, 1, 13, 15	syl3anc 1273	. . . 4 |- ( ( R e. (SubRing ` ℂfld ) /\ x e. ZZ ) -> ( x (.g ` ℂfld ) 1 ) e. R )
17	8, 16	eqeltrrd 2309	. . 3 |- ( ( R e. (SubRing ` ℂfld ) /\ x e. ZZ ) -> x e. R )
18	17	ex 115	. 2 |- ( R e. (SubRing ` ℂfld ) -> ( x e. ZZ -> x e. R ) )
19	18	ssrdv 3233	1 |- ( R e. (SubRing ` ℂfld ) -> ZZ C_ R )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   C_ wss 3200   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   CCcc 8030   1c1 8033   x. cmul 8037   ZZcz 9479  ._gcmg 13724  SubGrpcsubg 13772  SubRingcsubrg 14250  ℂ_fldccnfld 14589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-addf 8154  ax-mulf 8155

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-tp 3677  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-dec 9612  df-uz 9756  df-rp 9889  df-fz 10244  df-seqfrec 10711  df-cj 11420  df-abs 11577  df-struct 13102  df-ndx 13103  df-slot 13104  df-base 13106  df-sets 13107  df-iress 13108  df-plusg 13191  df-mulr 13192  df-starv 13193  df-tset 13197  df-ple 13198  df-ds 13200  df-unif 13201  df-0g 13359  df-topgen 13361  df-mgm 13457  df-sgrp 13503  df-mnd 13518  df-grp 13604  df-minusg 13605  df-mulg 13725  df-subg 13775  df-cmn 13891  df-mgp 13953  df-ur 13992  df-ring 14030  df-cring 14031  df-subrg 14252  df-bl 14579  df-mopn 14580  df-fg 14582  df-metu 14583  df-cnfld 14590

This theorem is referenced by:  dvply2g  15509