Theorem zsssubrg 14733

Description: The integers are a subset of any subring of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
zsssubrg	|- ( R e. (SubRing ` ℂfld ) -> ZZ C_ R )

Proof of Theorem zsssubrg

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( R e. (SubRing ` ℂfld ) /\ x e. ZZ ) -> x e. ZZ )
2		ax-1cn 8220	. . . . . 6 |- 1 e. CC
3		cnfldmulg 14724	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ 1 e. CC ) -> ( x (.g ` ℂfld ) 1 ) = ( x x. 1 ) )
4	1, 2, 3	sylancl 413	. . . . 5 |- ( ( R e. (SubRing ` ℂfld ) /\ x e. ZZ ) -> ( x (.g ` ℂfld ) 1 ) = ( x x. 1 ) )
5		zcn 9582	. . . . . . 7 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
6	5	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( R e. (SubRing ` ℂfld ) /\ x e. ZZ ) -> x e. CC )
7	6	mulridd 8291	. . . . 5 |- ( ( R e. (SubRing ` ℂfld ) /\ x e. ZZ ) -> ( x x. 1 ) = x )
8	4, 7	eqtrd 2265	. . . 4 |- ( ( R e. (SubRing ` ℂfld ) /\ x e. ZZ ) -> ( x (.g ` ℂfld ) 1 ) = x )
9		subrgsubg 14372	. . . . . 6 |- ( R e. (SubRing ` ℂfld ) -> R e. (SubGrp ` ℂfld ) )
10	9	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( R e. (SubRing ` ℂfld ) /\ x e. ZZ ) -> R e. (SubGrp ` ℂfld ) )
11		cnfld1 14720	. . . . . . 7 |- 1 = ( 1r ` ℂfld )
12	11	subrg1cl 14374	. . . . . 6 |- ( R e. (SubRing ` ℂfld ) -> 1 e. R )
13	12	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( R e. (SubRing ` ℂfld ) /\ x e. ZZ ) -> 1 e. R )
14		eqid 2232	. . . . . 6 |- (.g ` ℂfld ) = (.g ` ℂfld )
15	14	subgmulgcl 13904	. . . . 5 |- ( ( R e. (SubGrp ` ℂfld ) /\ x e. ZZ /\ 1 e. R ) -> ( x (.g ` ℂfld ) 1 ) e. R )
16	10, 1, 13, 15	syl3anc 1274	. . . 4 |- ( ( R e. (SubRing ` ℂfld ) /\ x e. ZZ ) -> ( x (.g ` ℂfld ) 1 ) e. R )
17	8, 16	eqeltrrd 2310	. . 3 |- ( ( R e. (SubRing ` ℂfld ) /\ x e. ZZ ) -> x e. R )
18	17	ex 115	. 2 |- ( R e. (SubRing ` ℂfld ) -> ( x e. ZZ -> x e. R ) )
19	18	ssrdv 3244	1 |- ( R e. (SubRing ` ℂfld ) -> ZZ C_ R )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   C_ wss 3211   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   CCcc 8125   1c1 8128   x. cmul 8132   ZZcz 9577  ._gcmg 13836  SubGrpcsubg 13884  SubRingcsubrg 14362  ℂ_fldccnfld 14704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-addf 8249  ax-mulf 8250

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-tp 3697  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-7 9301  df-8 9302  df-9 9303  df-n0 9497  df-z 9578  df-dec 9710  df-uz 9854  df-rp 9987  df-fz 10343  df-seqfrec 10810  df-cj 11527  df-abs 11684  df-struct 13214  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-sets 13219  df-iress 13220  df-plusg 13303  df-mulr 13304  df-starv 13305  df-tset 13309  df-ple 13310  df-ds 13312  df-unif 13313  df-0g 13471  df-topgen 13473  df-mgm 13569  df-sgrp 13615  df-mnd 13630  df-grp 13716  df-minusg 13717  df-mulg 13837  df-subg 13887  df-cmn 14003  df-mgp 14065  df-ur 14104  df-ring 14142  df-cring 14143  df-subrg 14364  df-bl 14694  df-mopn 14695  df-fg 14697  df-metu 14698  df-cnfld 14705

This theorem is referenced by:  dvply2g  15631