Theorem zsssubrg 14589

Description: The integers are a subset of any subring of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
zsssubrg	|- ( R e. (SubRing ` ℂfld ) -> ZZ C_ R )

Proof of Theorem zsssubrg

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( R e. (SubRing ` ℂfld ) /\ x e. ZZ ) -> x e. ZZ )
2		ax-1cn 8115	. . . . . 6 |- 1 e. CC
3		cnfldmulg 14580	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ 1 e. CC ) -> ( x (.g ` ℂfld ) 1 ) = ( x x. 1 ) )
4	1, 2, 3	sylancl 413	. . . . 5 |- ( ( R e. (SubRing ` ℂfld ) /\ x e. ZZ ) -> ( x (.g ` ℂfld ) 1 ) = ( x x. 1 ) )
5		zcn 9474	. . . . . . 7 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
6	5	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( R e. (SubRing ` ℂfld ) /\ x e. ZZ ) -> x e. CC )
7	6	mulridd 8186	. . . . 5 |- ( ( R e. (SubRing ` ℂfld ) /\ x e. ZZ ) -> ( x x. 1 ) = x )
8	4, 7	eqtrd 2262	. . . 4 |- ( ( R e. (SubRing ` ℂfld ) /\ x e. ZZ ) -> ( x (.g ` ℂfld ) 1 ) = x )
9		subrgsubg 14231	. . . . . 6 |- ( R e. (SubRing ` ℂfld ) -> R e. (SubGrp ` ℂfld ) )
10	9	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( R e. (SubRing ` ℂfld ) /\ x e. ZZ ) -> R e. (SubGrp ` ℂfld ) )
11		cnfld1 14576	. . . . . . 7 |- 1 = ( 1r ` ℂfld )
12	11	subrg1cl 14233	. . . . . 6 |- ( R e. (SubRing ` ℂfld ) -> 1 e. R )
13	12	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( R e. (SubRing ` ℂfld ) /\ x e. ZZ ) -> 1 e. R )
14		eqid 2229	. . . . . 6 |- (.g ` ℂfld ) = (.g ` ℂfld )
15	14	subgmulgcl 13764	. . . . 5 |- ( ( R e. (SubGrp ` ℂfld ) /\ x e. ZZ /\ 1 e. R ) -> ( x (.g ` ℂfld ) 1 ) e. R )
16	10, 1, 13, 15	syl3anc 1271	. . . 4 |- ( ( R e. (SubRing ` ℂfld ) /\ x e. ZZ ) -> ( x (.g ` ℂfld ) 1 ) e. R )
17	8, 16	eqeltrrd 2307	. . 3 |- ( ( R e. (SubRing ` ℂfld ) /\ x e. ZZ ) -> x e. R )
18	17	ex 115	. 2 |- ( R e. (SubRing ` ℂfld ) -> ( x e. ZZ -> x e. R ) )
19	18	ssrdv 3231	1 |- ( R e. (SubRing ` ℂfld ) -> ZZ C_ R )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   C_ wss 3198   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   CCcc 8020   1c1 8023   x. cmul 8027   ZZcz 9469  ._gcmg 13696  SubGrpcsubg 13744  SubRingcsubrg 14221  ℂ_fldccnfld 14560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-addf 8144  ax-mulf 8145

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-tp 3675  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-5 9195  df-6 9196  df-7 9197  df-8 9198  df-9 9199  df-n0 9393  df-z 9470  df-dec 9602  df-uz 9746  df-rp 9879  df-fz 10234  df-seqfrec 10700  df-cj 11393  df-abs 11550  df-struct 13074  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-sets 13079  df-iress 13080  df-plusg 13163  df-mulr 13164  df-starv 13165  df-tset 13169  df-ple 13170  df-ds 13172  df-unif 13173  df-0g 13331  df-topgen 13333  df-mgm 13429  df-sgrp 13475  df-mnd 13490  df-grp 13576  df-minusg 13577  df-mulg 13697  df-subg 13747  df-cmn 13863  df-mgp 13924  df-ur 13963  df-ring 14001  df-cring 14002  df-subrg 14223  df-bl 14550  df-mopn 14551  df-fg 14553  df-metu 14554  df-cnfld 14561

This theorem is referenced by:  dvply2g  15480