Theorem zsssubrg 13881

Description: The integers are a subset of any subring of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
zsssubrg	|- ( R e. (SubRing ` ℂfld ) -> ZZ C_ R )

Proof of Theorem zsssubrg

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( R e. (SubRing ` ℂfld ) /\ x e. ZZ ) -> x e. ZZ )
2		ax-1cn 7929	. . . . . 6 |- 1 e. CC
3		cnfldmulg 13872	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ 1 e. CC ) -> ( x (.g ` ℂfld ) 1 ) = ( x x. 1 ) )
4	1, 2, 3	sylancl 413	. . . . 5 |- ( ( R e. (SubRing ` ℂfld ) /\ x e. ZZ ) -> ( x (.g ` ℂfld ) 1 ) = ( x x. 1 ) )
5		zcn 9283	. . . . . . 7 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
6	5	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( R e. (SubRing ` ℂfld ) /\ x e. ZZ ) -> x e. CC )
7	6	mulridd 7999	. . . . 5 |- ( ( R e. (SubRing ` ℂfld ) /\ x e. ZZ ) -> ( x x. 1 ) = x )
8	4, 7	eqtrd 2222	. . . 4 |- ( ( R e. (SubRing ` ℂfld ) /\ x e. ZZ ) -> ( x (.g ` ℂfld ) 1 ) = x )
9		subrgsubg 13567	. . . . . 6 |- ( R e. (SubRing ` ℂfld ) -> R e. (SubGrp ` ℂfld ) )
10	9	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( R e. (SubRing ` ℂfld ) /\ x e. ZZ ) -> R e. (SubGrp ` ℂfld ) )
11		cnfld1 13868	. . . . . . 7 |- 1 = ( 1r ` ℂfld )
12	11	subrg1cl 13569	. . . . . 6 |- ( R e. (SubRing ` ℂfld ) -> 1 e. R )
13	12	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( R e. (SubRing ` ℂfld ) /\ x e. ZZ ) -> 1 e. R )
14		eqid 2189	. . . . . 6 |- (.g ` ℂfld ) = (.g ` ℂfld )
15	14	subgmulgcl 13119	. . . . 5 |- ( ( R e. (SubGrp ` ℂfld ) /\ x e. ZZ /\ 1 e. R ) -> ( x (.g ` ℂfld ) 1 ) e. R )
16	10, 1, 13, 15	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ( R e. (SubRing ` ℂfld ) /\ x e. ZZ ) -> ( x (.g ` ℂfld ) 1 ) e. R )
17	8, 16	eqeltrrd 2267	. . 3 |- ( ( R e. (SubRing ` ℂfld ) /\ x e. ZZ ) -> x e. R )
18	17	ex 115	. 2 |- ( R e. (SubRing ` ℂfld ) -> ( x e. ZZ -> x e. R ) )
19	18	ssrdv 3176	1 |- ( R e. (SubRing ` ℂfld ) -> ZZ C_ R )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   C_ wss 3144   ` cfv 5232  (class class class)co 5892   CCcc 7834   1c1 7837   x. cmul 7841   ZZcz 9278  ._gcmg 13054  SubGrpcsubg 13099  SubRingcsubrg 13557  ℂ_fldccnfld 13857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7927  ax-resscn 7928  ax-1cn 7929  ax-1re 7930  ax-icn 7931  ax-addcl 7932  ax-addrcl 7933  ax-mulcl 7934  ax-mulrcl 7935  ax-addcom 7936  ax-mulcom 7937  ax-addass 7938  ax-mulass 7939  ax-distr 7940  ax-i2m1 7941  ax-0lt1 7942  ax-1rid 7943  ax-0id 7944  ax-rnegex 7945  ax-precex 7946  ax-cnre 7947  ax-pre-ltirr 7948  ax-pre-ltwlin 7949  ax-pre-lttrn 7950  ax-pre-apti 7951  ax-pre-ltadd 7952  ax-pre-mulgt0 7953  ax-addf 7958  ax-mulf 7959

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-tp 3615  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-1st 6160  df-2nd 6161  df-recs 6325  df-frec 6411  df-pnf 8019  df-mnf 8020  df-xr 8021  df-ltxr 8022  df-le 8023  df-sub 8155  df-neg 8156  df-reap 8557  df-inn 8945  df-2 9003  df-3 9004  df-4 9005  df-5 9006  df-6 9007  df-7 9008  df-8 9009  df-9 9010  df-n0 9202  df-z 9279  df-dec 9410  df-uz 9554  df-fz 10034  df-seqfrec 10472  df-cj 10878  df-struct 12509  df-ndx 12510  df-slot 12511  df-base 12513  df-sets 12514  df-iress 12515  df-plusg 12595  df-mulr 12596  df-starv 12597  df-0g 12756  df-mgm 12825  df-sgrp 12858  df-mnd 12871  df-grp 12941  df-minusg 12942  df-mulg 13055  df-subg 13102  df-cmn 13218  df-mgp 13268  df-ur 13307  df-ring 13345  df-cring 13346  df-subrg 13559  df-icnfld 13858

This theorem is referenced by: (None)