Theorem subsubrg 14249

Description: A subring of a subring is a subring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subsubrg.s	|- S = ( R ↾s A )

Assertion

Ref	Expression
subsubrg	|- ( A e. (SubRing ` R ) -> ( B e. (SubRing ` S ) <-> ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) )

Proof of Theorem subsubrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgrcl 14230	. . . . 5 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> R e. Ring )
2	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> R e. Ring )
3		eqid 2229	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
4	3	subrgss 14226	. . . . . . . 8 |- ( B e. (SubRing ` S ) -> B C_ ( Base ` S ) )
5	4	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> B C_ ( Base ` S ) )
6		subsubrg.s	. . . . . . . . 9 |- S = ( R ↾s A )
7	6	subrgbas 14234	. . . . . . . 8 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> A = ( Base ` S ) )
8	7	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> A = ( Base ` S ) )
9	5, 8	sseqtrrd 3264	. . . . . 6 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> B C_ A )
10	6	oveq1i 6023	. . . . . . 7 |- ( S ↾s B ) = ( ( R ↾s A ) ↾s B )
11		ressabsg 13149	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A /\ R e. Ring ) -> ( ( R ↾s A ) ↾s B ) = ( R ↾s B ) )
12	11	3expa 1227	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) /\ R e. Ring ) -> ( ( R ↾s A ) ↾s B ) = ( R ↾s B ) )
13	1, 12	mpidan 423	. . . . . . 7 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) -> ( ( R ↾s A ) ↾s B ) = ( R ↾s B ) )
14	10, 13	eqtrid 2274	. . . . . 6 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) -> ( S ↾s B ) = ( R ↾s B ) )
15	9, 14	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> ( S ↾s B ) = ( R ↾s B ) )
16		eqid 2229	. . . . . . 7 |- ( S ↾s B ) = ( S ↾s B )
17	16	subrgring 14228	. . . . . 6 |- ( B e. (SubRing ` S ) -> ( S ↾s B ) e. Ring )
18	17	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> ( S ↾s B ) e. Ring )
19	15, 18	eqeltrrd 2307	. . . 4 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> ( R ↾s B ) e. Ring )
20		eqid 2229	. . . . . . . 8 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
21	20	subrgss 14226	. . . . . . 7 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> A C_ ( Base ` R ) )
22	21	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> A C_ ( Base ` R ) )
23	9, 22	sstrd 3235	. . . . 5 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> B C_ ( Base ` R ) )
24		eqid 2229	. . . . . . . 8 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
25	6, 24	subrg1 14235	. . . . . . 7 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> ( 1r ` R ) = ( 1r ` S ) )
26	25	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> ( 1r ` R ) = ( 1r ` S ) )
27		eqid 2229	. . . . . . . 8 |- ( 1r ` S ) = ( 1r ` S )
28	27	subrg1cl 14233	. . . . . . 7 |- ( B e. (SubRing ` S ) -> ( 1r ` S ) e. B )
29	28	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> ( 1r ` S ) e. B )
30	26, 29	eqeltrd 2306	. . . . 5 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> ( 1r ` R ) e. B )
31	23, 30	jca 306	. . . 4 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> ( B C_ ( Base ` R ) /\ ( 1r ` R ) e. B ) )
32	20, 24	issubrg 14225	. . . 4 |- ( B e. (SubRing ` R ) <-> ( ( R e. Ring /\ ( R ↾s B ) e. Ring ) /\ ( B C_ ( Base ` R ) /\ ( 1r ` R ) e. B ) ) )
33	2, 19, 31, 32	syl21anbrc 1206	. . 3 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> B e. (SubRing ` R ) )
34	33, 9	jca 306	. 2 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) )
35	6	subrgring 14228	. . . 4 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> S e. Ring )
36	35	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> S e. Ring )
37	14	adantrl 478	. . . 4 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> ( S ↾s B ) = ( R ↾s B ) )
38		eqid 2229	. . . . . 6 |- ( R ↾s B ) = ( R ↾s B )
39	38	subrgring 14228	. . . . 5 |- ( B e. (SubRing ` R ) -> ( R ↾s B ) e. Ring )
40	39	ad2antrl 490	. . . 4 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> ( R ↾s B ) e. Ring )
41	37, 40	eqeltrd 2306	. . 3 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> ( S ↾s B ) e. Ring )
42		simprr 531	. . . . 5 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> B C_ A )
43	7	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> A = ( Base ` S ) )
44	42, 43	sseqtrd 3263	. . . 4 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> B C_ ( Base ` S ) )
45	25	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> ( 1r ` R ) = ( 1r ` S ) )
46	24	subrg1cl 14233	. . . . . 6 |- ( B e. (SubRing ` R ) -> ( 1r ` R ) e. B )
47	46	ad2antrl 490	. . . . 5 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> ( 1r ` R ) e. B )
48	45, 47	eqeltrrd 2307	. . . 4 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> ( 1r ` S ) e. B )
49	44, 48	jca 306	. . 3 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> ( B C_ ( Base ` S ) /\ ( 1r ` S ) e. B ) )
50	3, 27	issubrg 14225	. . 3 |- ( B e. (SubRing ` S ) <-> ( ( S e. Ring /\ ( S ↾s B ) e. Ring ) /\ ( B C_ ( Base ` S ) /\ ( 1r ` S ) e. B ) ) )
51	36, 41, 49, 50	syl21anbrc 1206	. 2 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> B e. (SubRing ` S ) )
52	34, 51	impbida 598	1 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> ( B e. (SubRing ` S ) <-> ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   C_ wss 3198   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   Basecbs 13072   ↾_s cress 13073   1rcur 13962   Ringcrg 13999  SubRingcsubrg 14221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-ltxr 8209  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-sets 13079  df-iress 13080  df-plusg 13163  df-mulr 13164  df-0g 13331  df-mgm 13429  df-sgrp 13475  df-mnd 13490  df-subg 13747  df-mgp 13924  df-ur 13963  df-ring 14001  df-subrg 14223

This theorem is referenced by:  subsubrg2  14250