ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subsubrg Unicode version

Theorem subsubrg 13304
Description: A subring of a subring is a subring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subsubrg.s  |-  S  =  ( Rs  A )
Assertion
Ref Expression
subsubrg  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( B  e.  (SubRing `  S )  <->  ( B  e.  (SubRing `  R
)  /\  B  C_  A
) ) )

Proof of Theorem subsubrg
StepHypRef Expression
1 subrgrcl 13285 . . . . 5  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  R  e.  Ring )
21adantr 276 . . . 4  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  B  e.  (SubRing `  S ) )  ->  R  e.  Ring )
3 eqid 2177 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
43subrgss 13281 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  (SubRing `  S
)  ->  B  C_  ( Base `  S ) )
54adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  B  e.  (SubRing `  S ) )  ->  B  C_  ( Base `  S ) )
6 subsubrg.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( Rs  A )
76subrgbas 13289 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A  =  ( Base `  S )
)
87adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  B  e.  (SubRing `  S ) )  ->  A  =  (
Base `  S )
)
95, 8sseqtrrd 3194 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  B  e.  (SubRing `  S ) )  ->  B  C_  A
)
106oveq1i 5882 . . . . . . 7  |-  ( Ss  B )  =  ( ( Rs  A )s  B )
11 ressabsg 12527 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  B  C_  A  /\  R  e.  Ring )  ->  ( ( Rs  A )s  B )  =  ( Rs  B ) )
12113expa 1203 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (SubRing `  R )  /\  B  C_  A )  /\  R  e.  Ring )  ->  (
( Rs  A )s  B )  =  ( Rs  B ) )
131, 12mpidan 423 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  B  C_  A
)  ->  ( ( Rs  A )s  B )  =  ( Rs  B ) )
1410, 13eqtrid 2222 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  B  C_  A
)  ->  ( Ss  B
)  =  ( Rs  B ) )
159, 14syldan 282 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  B  e.  (SubRing `  S ) )  ->  ( Ss  B )  =  ( Rs  B ) )
16 eqid 2177 . . . . . . 7  |-  ( Ss  B )  =  ( Ss  B )
1716subrgring 13283 . . . . . 6  |-  ( B  e.  (SubRing `  S
)  ->  ( Ss  B
)  e.  Ring )
1817adantl 277 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  B  e.  (SubRing `  S ) )  ->  ( Ss  B )  e.  Ring )
1915, 18eqeltrrd 2255 . . . 4  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  B  e.  (SubRing `  S ) )  ->  ( Rs  B )  e.  Ring )
20 eqid 2177 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2120subrgss 13281 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A  C_  ( Base `  R ) )
2221adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  B  e.  (SubRing `  S ) )  ->  A  C_  ( Base `  R ) )
239, 22sstrd 3165 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  B  e.  (SubRing `  S ) )  ->  B  C_  ( Base `  R ) )
24 eqid 2177 . . . . . . . 8  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
256, 24subrg1 13290 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( 1r `  R )  =  ( 1r `  S ) )
2625adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  B  e.  (SubRing `  S ) )  ->  ( 1r `  R )  =  ( 1r `  S ) )
27 eqid 2177 . . . . . . . 8  |-  ( 1r
`  S )  =  ( 1r `  S
)
2827subrg1cl 13288 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  (SubRing `  S
)  ->  ( 1r `  S )  e.  B
)
2928adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  B  e.  (SubRing `  S ) )  ->  ( 1r `  S )  e.  B
)
3026, 29eqeltrd 2254 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  B  e.  (SubRing `  S ) )  ->  ( 1r `  R )  e.  B
)
3123, 30jca 306 . . . 4  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  B  e.  (SubRing `  S ) )  ->  ( B  C_  ( Base `  R )  /\  ( 1r `  R
)  e.  B ) )
3220, 24issubrg 13280 . . . 4  |-  ( B  e.  (SubRing `  R
)  <->  ( ( R  e.  Ring  /\  ( Rs  B )  e.  Ring )  /\  ( B  C_  ( Base `  R )  /\  ( 1r `  R
)  e.  B ) ) )
332, 19, 31, 32syl21anbrc 1182 . . 3  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  B  e.  (SubRing `  S ) )  ->  B  e.  (SubRing `  R ) )
3433, 9jca 306 . 2  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  B  e.  (SubRing `  S ) )  ->  ( B  e.  (SubRing `  R )  /\  B  C_  A ) )
356subrgring 13283 . . . 4  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  S  e.  Ring )
3635adantr 276 . . 3  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  ( B  e.  (SubRing `  R )  /\  B  C_  A ) )  ->  S  e.  Ring )
3714adantrl 478 . . . 4  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  ( B  e.  (SubRing `  R )  /\  B  C_  A ) )  ->  ( Ss  B
)  =  ( Rs  B ) )
38 eqid 2177 . . . . . 6  |-  ( Rs  B )  =  ( Rs  B )
3938subrgring 13283 . . . . 5  |-  ( B  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( Rs  B
)  e.  Ring )
4039ad2antrl 490 . . . 4  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  ( B  e.  (SubRing `  R )  /\  B  C_  A ) )  ->  ( Rs  B
)  e.  Ring )
4137, 40eqeltrd 2254 . . 3  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  ( B  e.  (SubRing `  R )  /\  B  C_  A ) )  ->  ( Ss  B
)  e.  Ring )
42 simprr 531 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  ( B  e.  (SubRing `  R )  /\  B  C_  A ) )  ->  B  C_  A
)
437adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  ( B  e.  (SubRing `  R )  /\  B  C_  A ) )  ->  A  =  ( Base `  S )
)
4442, 43sseqtrd 3193 . . . 4  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  ( B  e.  (SubRing `  R )  /\  B  C_  A ) )  ->  B  C_  ( Base `  S ) )
4525adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  ( B  e.  (SubRing `  R )  /\  B  C_  A ) )  ->  ( 1r `  R )  =  ( 1r `  S ) )
4624subrg1cl 13288 . . . . . 6  |-  ( B  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( 1r `  R )  e.  B
)
4746ad2antrl 490 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  ( B  e.  (SubRing `  R )  /\  B  C_  A ) )  ->  ( 1r `  R )  e.  B
)
4845, 47eqeltrrd 2255 . . . 4  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  ( B  e.  (SubRing `  R )  /\  B  C_  A ) )  ->  ( 1r `  S )  e.  B
)
4944, 48jca 306 . . 3  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  ( B  e.  (SubRing `  R )  /\  B  C_  A ) )  ->  ( B  C_  ( Base `  S
)  /\  ( 1r `  S )  e.  B
) )
503, 27issubrg 13280 . . 3  |-  ( B  e.  (SubRing `  S
)  <->  ( ( S  e.  Ring  /\  ( Ss  B )  e.  Ring )  /\  ( B  C_  ( Base `  S )  /\  ( 1r `  S
)  e.  B ) ) )
5136, 41, 49, 50syl21anbrc 1182 . 2  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  ( B  e.  (SubRing `  R )  /\  B  C_  A ) )  ->  B  e.  (SubRing `  S ) )
5234, 51impbida 596 1  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( B  e.  (SubRing `  S )  <->  ( B  e.  (SubRing `  R
)  /\  B  C_  A
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2148    C_ wss 3129   ` cfv 5215  (class class class)co 5872   Basecbs 12454   ↾s cress 12455   1rcur 13073   Ringcrg 13110  SubRingcsubrg 13276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-addass 7910  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-ltadd 7924
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-ltxr 7993  df-inn 8916  df-2 8974  df-3 8975  df-ndx 12457  df-slot 12458  df-base 12460  df-sets 12461  df-iress 12462  df-plusg 12541  df-mulr 12542  df-0g 12695  df-mgm 12707  df-sgrp 12740  df-mnd 12750  df-subg 12961  df-mgp 13062  df-ur 13074  df-ring 13112  df-subrg 13278
This theorem is referenced by:  subsubrg2  13305
  Copyright terms: Public domain W3C validator