Theorem subsubrg 14526

Description: A subring of a subring is a subring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subsubrg.s	|- S = ( R ↾s A )

Assertion

Ref	Expression
subsubrg	|- ( A e. (SubRing ` R ) -> ( B e. (SubRing ` S ) <-> ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) )

Proof of Theorem subsubrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgrcl 14507	. . . . 5 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> R e. Ring )
2	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> R e. Ring )
3		eqid 2238	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
4	3	subrgss 14503	. . . . . . . 8 |- ( B e. (SubRing ` S ) -> B C_ ( Base ` S ) )
5	4	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> B C_ ( Base ` S ) )
6		subsubrg.s	. . . . . . . . 9 |- S = ( R ↾s A )
7	6	subrgbas 14511	. . . . . . . 8 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> A = ( Base ` S ) )
8	7	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> A = ( Base ` S ) )
9	5, 8	sseqtrrd 3287	. . . . . 6 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> B C_ A )
10	6	oveq1i 6085	. . . . . . 7 |- ( S ↾s B ) = ( ( R ↾s A ) ↾s B )
11		ressabsg 13407	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A /\ R e. Ring ) -> ( ( R ↾s A ) ↾s B ) = ( R ↾s B ) )
12	11	3expa 1234	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) /\ R e. Ring ) -> ( ( R ↾s A ) ↾s B ) = ( R ↾s B ) )
13	1, 12	mpidan 427	. . . . . . 7 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) -> ( ( R ↾s A ) ↾s B ) = ( R ↾s B ) )
14	10, 13	eqtrid 2283	. . . . . 6 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) -> ( S ↾s B ) = ( R ↾s B ) )
15	9, 14	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> ( S ↾s B ) = ( R ↾s B ) )
16		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ( S ↾s B ) = ( S ↾s B )
17	16	subrgring 14505	. . . . . 6 |- ( B e. (SubRing ` S ) -> ( S ↾s B ) e. Ring )
18	17	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> ( S ↾s B ) e. Ring )
19	15, 18	eqeltrrd 2316	. . . 4 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> ( R ↾s B ) e. Ring )
20		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
21	20	subrgss 14503	. . . . . . 7 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> A C_ ( Base ` R ) )
22	21	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> A C_ ( Base ` R ) )
23	9, 22	sstrd 3258	. . . . 5 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> B C_ ( Base ` R ) )
24		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
25	6, 24	subrg1 14512	. . . . . . 7 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> ( 1r ` R ) = ( 1r ` S ) )
26	25	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> ( 1r ` R ) = ( 1r ` S ) )
27		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- ( 1r ` S ) = ( 1r ` S )
28	27	subrg1cl 14510	. . . . . . 7 |- ( B e. (SubRing ` S ) -> ( 1r ` S ) e. B )
29	28	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> ( 1r ` S ) e. B )
30	26, 29	eqeltrd 2315	. . . . 5 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> ( 1r ` R ) e. B )
31	23, 30	jca 306	. . . 4 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> ( B C_ ( Base ` R ) /\ ( 1r ` R ) e. B ) )
32	20, 24	issubrg 14502	. . . 4 |- ( B e. (SubRing ` R ) <-> ( ( R e. Ring /\ ( R ↾s B ) e. Ring ) /\ ( B C_ ( Base ` R ) /\ ( 1r ` R ) e. B ) ) )
33	2, 19, 31, 32	syl21anbrc 1213	. . 3 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> B e. (SubRing ` R ) )
34	33, 9	jca 306	. 2 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) )
35	6	subrgring 14505	. . . 4 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> S e. Ring )
36	35	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> S e. Ring )
37	14	adantrl 482	. . . 4 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> ( S ↾s B ) = ( R ↾s B ) )
38		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( R ↾s B ) = ( R ↾s B )
39	38	subrgring 14505	. . . . 5 |- ( B e. (SubRing ` R ) -> ( R ↾s B ) e. Ring )
40	39	ad2antrl 494	. . . 4 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> ( R ↾s B ) e. Ring )
41	37, 40	eqeltrd 2315	. . 3 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> ( S ↾s B ) e. Ring )
42		simprr 537	. . . . 5 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> B C_ A )
43	7	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> A = ( Base ` S ) )
44	42, 43	sseqtrd 3286	. . . 4 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> B C_ ( Base ` S ) )
45	25	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> ( 1r ` R ) = ( 1r ` S ) )
46	24	subrg1cl 14510	. . . . . 6 |- ( B e. (SubRing ` R ) -> ( 1r ` R ) e. B )
47	46	ad2antrl 494	. . . . 5 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> ( 1r ` R ) e. B )
48	45, 47	eqeltrrd 2316	. . . 4 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> ( 1r ` S ) e. B )
49	44, 48	jca 306	. . 3 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> ( B C_ ( Base ` S ) /\ ( 1r ` S ) e. B ) )
50	3, 27	issubrg 14502	. . 3 |- ( B e. (SubRing ` S ) <-> ( ( S e. Ring /\ ( S ↾s B ) e. Ring ) /\ ( B C_ ( Base ` S ) /\ ( 1r ` S ) e. B ) ) )
51	36, 41, 49, 50	syl21anbrc 1213	. 2 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> B e. (SubRing ` S ) )
52	34, 51	impbida 604	1 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> ( B e. (SubRing ` S ) <-> ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   C_ wss 3220   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Basecbs 13330   ↾_s cress 13331   1rcur 14237   Ringcrg 14274  SubRingcsubrg 14498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-sets 13337  df-iress 13338  df-plusg 13421  df-mulr 13422  df-0g 13589  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-subg 13950  df-mgp 14195  df-ur 14238  df-ring 14276  df-subrg 14500

This theorem is referenced by:  subsubrg2  14527