Theorem subsubrg 14122

Description: A subring of a subring is a subring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subsubrg.s	|- S = ( R ↾s A )

Assertion

Ref	Expression
subsubrg	|- ( A e. (SubRing ` R ) -> ( B e. (SubRing ` S ) <-> ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) )

Proof of Theorem subsubrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgrcl 14103	. . . . 5 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> R e. Ring )
2	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> R e. Ring )
3		eqid 2207	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
4	3	subrgss 14099	. . . . . . . 8 |- ( B e. (SubRing ` S ) -> B C_ ( Base ` S ) )
5	4	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> B C_ ( Base ` S ) )
6		subsubrg.s	. . . . . . . . 9 |- S = ( R ↾s A )
7	6	subrgbas 14107	. . . . . . . 8 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> A = ( Base ` S ) )
8	7	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> A = ( Base ` S ) )
9	5, 8	sseqtrrd 3240	. . . . . 6 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> B C_ A )
10	6	oveq1i 5977	. . . . . . 7 |- ( S ↾s B ) = ( ( R ↾s A ) ↾s B )
11		ressabsg 13023	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A /\ R e. Ring ) -> ( ( R ↾s A ) ↾s B ) = ( R ↾s B ) )
12	11	3expa 1206	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) /\ R e. Ring ) -> ( ( R ↾s A ) ↾s B ) = ( R ↾s B ) )
13	1, 12	mpidan 423	. . . . . . 7 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) -> ( ( R ↾s A ) ↾s B ) = ( R ↾s B ) )
14	10, 13	eqtrid 2252	. . . . . 6 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) -> ( S ↾s B ) = ( R ↾s B ) )
15	9, 14	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> ( S ↾s B ) = ( R ↾s B ) )
16		eqid 2207	. . . . . . 7 |- ( S ↾s B ) = ( S ↾s B )
17	16	subrgring 14101	. . . . . 6 |- ( B e. (SubRing ` S ) -> ( S ↾s B ) e. Ring )
18	17	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> ( S ↾s B ) e. Ring )
19	15, 18	eqeltrrd 2285	. . . 4 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> ( R ↾s B ) e. Ring )
20		eqid 2207	. . . . . . . 8 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
21	20	subrgss 14099	. . . . . . 7 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> A C_ ( Base ` R ) )
22	21	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> A C_ ( Base ` R ) )
23	9, 22	sstrd 3211	. . . . 5 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> B C_ ( Base ` R ) )
24		eqid 2207	. . . . . . . 8 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
25	6, 24	subrg1 14108	. . . . . . 7 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> ( 1r ` R ) = ( 1r ` S ) )
26	25	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> ( 1r ` R ) = ( 1r ` S ) )
27		eqid 2207	. . . . . . . 8 |- ( 1r ` S ) = ( 1r ` S )
28	27	subrg1cl 14106	. . . . . . 7 |- ( B e. (SubRing ` S ) -> ( 1r ` S ) e. B )
29	28	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> ( 1r ` S ) e. B )
30	26, 29	eqeltrd 2284	. . . . 5 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> ( 1r ` R ) e. B )
31	23, 30	jca 306	. . . 4 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> ( B C_ ( Base ` R ) /\ ( 1r ` R ) e. B ) )
32	20, 24	issubrg 14098	. . . 4 |- ( B e. (SubRing ` R ) <-> ( ( R e. Ring /\ ( R ↾s B ) e. Ring ) /\ ( B C_ ( Base ` R ) /\ ( 1r ` R ) e. B ) ) )
33	2, 19, 31, 32	syl21anbrc 1185	. . 3 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> B e. (SubRing ` R ) )
34	33, 9	jca 306	. 2 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) )
35	6	subrgring 14101	. . . 4 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> S e. Ring )
36	35	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> S e. Ring )
37	14	adantrl 478	. . . 4 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> ( S ↾s B ) = ( R ↾s B ) )
38		eqid 2207	. . . . . 6 |- ( R ↾s B ) = ( R ↾s B )
39	38	subrgring 14101	. . . . 5 |- ( B e. (SubRing ` R ) -> ( R ↾s B ) e. Ring )
40	39	ad2antrl 490	. . . 4 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> ( R ↾s B ) e. Ring )
41	37, 40	eqeltrd 2284	. . 3 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> ( S ↾s B ) e. Ring )
42		simprr 531	. . . . 5 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> B C_ A )
43	7	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> A = ( Base ` S ) )
44	42, 43	sseqtrd 3239	. . . 4 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> B C_ ( Base ` S ) )
45	25	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> ( 1r ` R ) = ( 1r ` S ) )
46	24	subrg1cl 14106	. . . . . 6 |- ( B e. (SubRing ` R ) -> ( 1r ` R ) e. B )
47	46	ad2antrl 490	. . . . 5 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> ( 1r ` R ) e. B )
48	45, 47	eqeltrrd 2285	. . . 4 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> ( 1r ` S ) e. B )
49	44, 48	jca 306	. . 3 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> ( B C_ ( Base ` S ) /\ ( 1r ` S ) e. B ) )
50	3, 27	issubrg 14098	. . 3 |- ( B e. (SubRing ` S ) <-> ( ( S e. Ring /\ ( S ↾s B ) e. Ring ) /\ ( B C_ ( Base ` S ) /\ ( 1r ` S ) e. B ) ) )
51	36, 41, 49, 50	syl21anbrc 1185	. 2 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> B e. (SubRing ` S ) )
52	34, 51	impbida 596	1 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> ( B e. (SubRing ` S ) <-> ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2178   C_ wss 3174   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   Basecbs 12947   ↾_s cress 12948   1rcur 13836   Ringcrg 13873  SubRingcsubrg 14094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-ltxr 8147  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-sets 12954  df-iress 12955  df-plusg 13037  df-mulr 13038  df-0g 13205  df-mgm 13303  df-sgrp 13349  df-mnd 13364  df-subg 13621  df-mgp 13798  df-ur 13837  df-ring 13875  df-subrg 14096

This theorem is referenced by:  subsubrg2  14123