Theorem subsubrg 14258

Description: A subring of a subring is a subring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subsubrg.s	|- S = ( R ↾s A )

Assertion

Ref	Expression
subsubrg	|- ( A e. (SubRing ` R ) -> ( B e. (SubRing ` S ) <-> ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) )

Proof of Theorem subsubrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgrcl 14239	. . . . 5 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> R e. Ring )
2	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> R e. Ring )
3		eqid 2231	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
4	3	subrgss 14235	. . . . . . . 8 |- ( B e. (SubRing ` S ) -> B C_ ( Base ` S ) )
5	4	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> B C_ ( Base ` S ) )
6		subsubrg.s	. . . . . . . . 9 |- S = ( R ↾s A )
7	6	subrgbas 14243	. . . . . . . 8 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> A = ( Base ` S ) )
8	7	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> A = ( Base ` S ) )
9	5, 8	sseqtrrd 3266	. . . . . 6 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> B C_ A )
10	6	oveq1i 6027	. . . . . . 7 |- ( S ↾s B ) = ( ( R ↾s A ) ↾s B )
11		ressabsg 13158	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A /\ R e. Ring ) -> ( ( R ↾s A ) ↾s B ) = ( R ↾s B ) )
12	11	3expa 1229	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) /\ R e. Ring ) -> ( ( R ↾s A ) ↾s B ) = ( R ↾s B ) )
13	1, 12	mpidan 423	. . . . . . 7 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) -> ( ( R ↾s A ) ↾s B ) = ( R ↾s B ) )
14	10, 13	eqtrid 2276	. . . . . 6 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) -> ( S ↾s B ) = ( R ↾s B ) )
15	9, 14	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> ( S ↾s B ) = ( R ↾s B ) )
16		eqid 2231	. . . . . . 7 |- ( S ↾s B ) = ( S ↾s B )
17	16	subrgring 14237	. . . . . 6 |- ( B e. (SubRing ` S ) -> ( S ↾s B ) e. Ring )
18	17	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> ( S ↾s B ) e. Ring )
19	15, 18	eqeltrrd 2309	. . . 4 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> ( R ↾s B ) e. Ring )
20		eqid 2231	. . . . . . . 8 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
21	20	subrgss 14235	. . . . . . 7 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> A C_ ( Base ` R ) )
22	21	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> A C_ ( Base ` R ) )
23	9, 22	sstrd 3237	. . . . 5 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> B C_ ( Base ` R ) )
24		eqid 2231	. . . . . . . 8 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
25	6, 24	subrg1 14244	. . . . . . 7 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> ( 1r ` R ) = ( 1r ` S ) )
26	25	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> ( 1r ` R ) = ( 1r ` S ) )
27		eqid 2231	. . . . . . . 8 |- ( 1r ` S ) = ( 1r ` S )
28	27	subrg1cl 14242	. . . . . . 7 |- ( B e. (SubRing ` S ) -> ( 1r ` S ) e. B )
29	28	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> ( 1r ` S ) e. B )
30	26, 29	eqeltrd 2308	. . . . 5 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> ( 1r ` R ) e. B )
31	23, 30	jca 306	. . . 4 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> ( B C_ ( Base ` R ) /\ ( 1r ` R ) e. B ) )
32	20, 24	issubrg 14234	. . . 4 |- ( B e. (SubRing ` R ) <-> ( ( R e. Ring /\ ( R ↾s B ) e. Ring ) /\ ( B C_ ( Base ` R ) /\ ( 1r ` R ) e. B ) ) )
33	2, 19, 31, 32	syl21anbrc 1208	. . 3 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> B e. (SubRing ` R ) )
34	33, 9	jca 306	. 2 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` S ) ) -> ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) )
35	6	subrgring 14237	. . . 4 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> S e. Ring )
36	35	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> S e. Ring )
37	14	adantrl 478	. . . 4 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> ( S ↾s B ) = ( R ↾s B ) )
38		eqid 2231	. . . . . 6 |- ( R ↾s B ) = ( R ↾s B )
39	38	subrgring 14237	. . . . 5 |- ( B e. (SubRing ` R ) -> ( R ↾s B ) e. Ring )
40	39	ad2antrl 490	. . . 4 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> ( R ↾s B ) e. Ring )
41	37, 40	eqeltrd 2308	. . 3 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> ( S ↾s B ) e. Ring )
42		simprr 533	. . . . 5 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> B C_ A )
43	7	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> A = ( Base ` S ) )
44	42, 43	sseqtrd 3265	. . . 4 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> B C_ ( Base ` S ) )
45	25	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> ( 1r ` R ) = ( 1r ` S ) )
46	24	subrg1cl 14242	. . . . . 6 |- ( B e. (SubRing ` R ) -> ( 1r ` R ) e. B )
47	46	ad2antrl 490	. . . . 5 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> ( 1r ` R ) e. B )
48	45, 47	eqeltrrd 2309	. . . 4 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> ( 1r ` S ) e. B )
49	44, 48	jca 306	. . 3 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> ( B C_ ( Base ` S ) /\ ( 1r ` S ) e. B ) )
50	3, 27	issubrg 14234	. . 3 |- ( B e. (SubRing ` S ) <-> ( ( S e. Ring /\ ( S ↾s B ) e. Ring ) /\ ( B C_ ( Base ` S ) /\ ( 1r ` S ) e. B ) ) )
51	36, 41, 49, 50	syl21anbrc 1208	. 2 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) -> B e. (SubRing ` S ) )
52	34, 51	impbida 600	1 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> ( B e. (SubRing ` S ) <-> ( B e. (SubRing ` R ) /\ B C_ A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   C_ wss 3200   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   Basecbs 13081   ↾_s cress 13082   1rcur 13971   Ringcrg 14008  SubRingcsubrg 14230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-sets 13088  df-iress 13089  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-0g 13340  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499  df-subg 13756  df-mgp 13933  df-ur 13972  df-ring 14010  df-subrg 14232

This theorem is referenced by:  subsubrg2  14259